考研数学历年真题(1998-2007)年数学一公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_真题集（仅是真题，可以直接打印的）

2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前 的字母填在题后括号内) (1)当x0时,与 x 等价的无穷小量是（ ） 1x (A)1e x (B)ln (C) 1 x 1 (D)1cos x 1 x 1 (2)曲线 y  ln(1ex),渐近线的条数为（ ） x (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (3)如图,连续函数 y  f(x)在区间[3,2],[2,3]上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周, x 设F(x) f(t)dt.则下列结论正确的是（ ） 0 3 5 (A)F(3) F(2) (B)F(3) F(2) 4 4 3 5 (C)F(3) F(2) (D)F(3) F(2) 4 4 (4)设函数 f(x)在x0处连续,下列命题错误的是（ ） f(x) f(x) f(x) (A)若lim 存在,则 f(0)0 (B)若lim 存在,则 f(0)0 x0 x x0 x f(x) f(x) f(x) (C)若lim 存在,则 f(0)0 (D)若lim 存在,则 f(0)0 x0 x x0 x (5)设函数 f(x)在(0, +)上具有二阶导数,且 f "(x)0, 令u  f (n)1,2,,n,则下列结论正确的是（ ） n (A)若u u ,则{u }必收敛 (B)若u u ,则{u }必发散 1 2 n 1 2 n (C)若u u ,则{u }必收敛 (D)若u u ,则{u }必发散 1 2 n 1 2 n (6)设曲线L: f(x,y)1( f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,为L上从点 M 到N 的一段弧,则下列小于零的是（ ） (A) (x,y)dx (B) f(x,y)dy (C) f(x,y)ds (D) f ' (x,y)dxf ' (x,y)dy     x y (7)设向量组α ,α ,α 线性无关,则下列向量组线形相关的是（ ） 1 2 3 (A)α α α α α α (B)α α α α α α , , , , 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 (C)α 2α ,α 2α ,α 2α (D)α 2α ,α 2α ,α 2α 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 1 1 1 0 0     (8)设矩阵A 1 2 1 ,B 0 1 0 ,则A与B（ ）          1 1 2  0 0 0 (A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p  0 p1 ,则此人第4次射击恰好第2次命中目标 的概率为（ ） (A)3p(1 p)2 (B)6p(1 p)2 (C)3p2(1 p)2 (D)6p2(1 p)2 (10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且 X 与Y 不相关, f (x), f (y)分别表示 X,Y 的概率密度,则在Y  y X Y 的条件下,X 的条件概率密度 f (x| y)为（ ） X |Y f (x) X (A) f (x) (B) f (y) (C) f (x) f (y) (D) X Y X Y f (y) Y 二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) 2 1 1 (11) ex dx=_______. 1 x3 z (12)设 f(u,v)为二元可微函数,z  f(xy,yx),则 =______. x (13)二阶常系数非齐次线性方程 y''4y'3y 2e2x的通解为 y =____________. (14)设曲面 :|x|| y||z|1,则 (x| y|)ds=_____________.  0 1 0 0   0 0 1 0 (15)设矩阵A   ,则A3的秩为________. 0 0 0 1   0 0 0 0 1 (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于 的概率为________. 2 三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分11分) 求函数 f(x,y) x2 2y2 x2y2在区域D {(x,y)|x2 y2 4,y 0}上的最大值和最小值. 2(18)(本题满分10分) y2 计算曲面积分I xzdydz2zydzdx3xydxdy,其中 为曲面z 1x2 (0 z 1)的上侧. 4  (19)(本题满分11分) 设函数 f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值, f(a) g(a), f(b) g(b), 证明:存在(a,b),使得 f() g(). (20)(本题满分10分)  设幂级数 a xn 在(,)内收敛,其和函数 y(x)满足 y2xy4y 0,y(0)0,y(0)1. n n0 2 (1)证明:a  a ,n1,2,. n2 n1 n (2)求y(x)的表达式. (21)(本题满分11分)  x x x 0 1 2 3  设线性方程组 x 2x ax 0 ,与方程 x 2x x a1,有公共解,求a的值及所有公共解. 1 2 3 1 2 3  x 4x a2x 0 1 2 3 (22)(本题满分11分) 设3阶实对称矩阵A的特征向量值 1, 2, 2.α (1,1,1)T 是A的属于特征值的一个特征向量, 1 2 3 1 1 3记BA54A3E,其中E为3阶单位矩阵. (1)验证α 是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. 1 (2)求矩阵B. (23)(本题满分11分) 2x y,0 x1,0 y1 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)  0,其他 (1)求P{X 2Y}. (2)求Z  X Y 的概率密度 fz(z). (24)(本题满分11分)  1 ,0 x  2   1 设总体X 的概率密度为 f(x;) , x1 2(1)   0,其他   其中参数 未知，X ,X ,X 是来自总体x的简单随机样本,X 是样本均值 1 2 n (1)求参数的矩估计量ˆ. (2)判断4X2是否为2的无偏估计量,并说明理由. 42006 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) xln(1x) (1)lim  . x0 1cosx y(1x) (2)微分方程 y 的通解是 . x (3)设是锥面z  x2  y2 (0 z1)的下侧,则xdydz2ydzdx3(z1)dxdy .  (4)点(2,1,0)到平面3x4y5z 0的距离d = .  2 1 (5)设矩阵A   ,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA B2E,则 B = . 1 2 (6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P  max{X,Y}1 = . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) (7)设函数 y  f(x)具有二阶导数,且 f(x)0, f(x)0,x为自变量x在x 处的增量,y与dy分别为 f(x) 0 在点x 处对应的增量与微分,若x0,则（ ） 0 (A)0dxy (B)0ydy (C)ydy0 (D)dyy0  1 (8)设 f(x, y)为连续函数,则 4d f(rcos,rsin)rdr等于（ ） 0 0 2 1x2 2 1x2 (A) 2 dx f(x, y)dy (B) 2 dx f(x, y)dy 0 x 0 0 2 1y2 2 1y2 (C) 2 dy f(x, y)dx (D) 2 dy f(x, y)dx 0 y 0 0  (9)若级数a 收敛,则级数（ ） n n1   (A) a 收敛 (B)(1)na 收敛 n n n1 n1   a a (C)a a 收敛 (D) n n1 收敛 n n1 2 n1 n1 (10)设 f(x, y)与(x, y)均为可微函数,且1(x, y)0.已知(x , y )是 f(x, y)在约束条件(x, y)0下的一个 y 0 0 极值点,下列选项正确的是（ ） 5(A)若 f(x , y ) 0,则 f(x , y )0 (B)若 f(x , y ) 0,则 f(x , y )0 x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0 (C)若 f(x , y ) 0,则 f(x , y )0 (D)若 f(x , y ) 0,则 f(x , y )0 x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0 (11)设α ,α ,,α ,均为n维列向量,A是mn矩阵,下列选项正确的是（ ） 1 2 s (A)若α ,α ,,α ,线性相关,则Aα ,Aα ,, Aα , 线性相关 1 2 s 1 2 s (B)若α ,α ,,α ,线性相关,则Aα ,Aα ,, Aα , 线性无关 1 2 s 1 2 s (C)若α ,α ,,α ,线性无关,则Aα ,Aα ,, Aα , 线性相关 1 2 s 1 2 s (D)若α ,α ,,α ,线性无关,则Aα ,Aα ,, Aα , 线性无关. 1 2 s 1 2 s 1 1 0   (12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记P  0 1 0 ,     0 0 1 则（ ） (A)CP1AP (B)CPAP1 (C)CPTAP (D)CPAPT (13)设A,B为随机事件,且P(B)0,P(A|B)1,则必有（ ） (A)P(AB) P(A) (B)P(AB) P(B) (C)P(AB) P(A) (D)P(AB) P(B) (14)设随机变量X 服从正态分布N(,2),Y 服从正态分布N(,2), 1 1 2 2 且P{| X |1} P{|Y  |1},则必有（ ） 1 2 (A)  (B)  (C)  (D)  1 2 1 2 1 2 1 2 三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=  x,y  x2  y2 1,x0  ,计算二重积分I   1xy dxdy. 1x2  y2 D (16)(本题满分12分) 设数列 x 满足0 x ,x sinx  n1,2,... . n 1 1 n 61  x x2 求:(1)证明limx 存在,并求该极限. (2)计算lim n1 n . x n x x  n (17)(本题满分12分) x 将函数 f  x  展开成x的幂级数. 2xx2 (18)(本题满分12分)   2z 2z 设函数 f  u 在 0,内具有二阶导数,且 z  f x2  y2 满足等式  0. x2 y2 f u  (1)验证 f u  0. u (2)若 f  1 0, f 1 1,求函数 f(u)的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面D   x,y  y 0  内,函数 f  x,y 是有连续偏导数,且对任意的t 0都有 . 证明: 对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 yf(x,y)dxxf(x,y)dy 0. L 7(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解, (1)证明方程组系数矩阵A的秩r  A 2； (2)求a,b的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α 1,2,1 T ,α  0,1,1 T 是线性方程组Ax0的两个 1 2 解. (1)求A的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQA. (22)(本题满分9分) 设随机变量 X 的概率密度为 为二维随机变量(X,Y)的分布函 数. (1)求Y 的概率密度 f  y . Y  1  (2)F  ,4.  2  (23)(本题满分9分) 设总体X 的概率密度为 其中是未知参数(01),X ,X ...,X 为来自总体X 的 ， 1 2 n 简单随机样本,记N 为样本值x ,x ...,x 中小于1的个数,求的最大似然估计 1 2 n 82005 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) x2 (1)曲线 y  的斜渐近线方程为 _____________. 2x1 1 (2)微分方程xy2y  xlnx满足 y(1)   的解为____________. 9 x2 y2 z2 u (3)设函数u(x,y,z) 1   ,单位向量 ,则 =.________. 6 12 18 n (1,2,3) (4)设是由锥面 z  x2  y2 与半球面 z  R2  x2  y2 围成的空间区域, 是的整个边界的外侧,则 xdydz ydzdx zdxdy ____________.  (5)设α ,α ,α 均为 3 维列向量,记矩阵A(α ,α ,α ),B(α α α ,α 2α 4α ,α 3α 9α ) ,如果 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A 1,那么 B  . (6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从1,2,,X 中任取一个数,记为Y , 则P{Y  2}=____________. 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) (7)设函数 f(x)  limn 1 x 3n ,则 f(x)在(,)内（ ） n (A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 (8)设F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数,"M  N"表示"M 的充分必要条件是N",则必有（ ） (A)F(x)是偶函数 f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数 f(x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数 f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数 f(x)是单调函数 xy (9)设函数u(x,y) (x y)(x y) (t)dt , 其中函数具有二阶导数, 具有一阶导数,则必有（ ） xy 2u 2u 2u 2u 2u 2u 2u 2u (A)   (B)  (C)  (D)  x2 y2 x2 y2 xy y2 xy x2 (10)设有三元方程xyzln yexz 1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程（ ） (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z  z(x,y) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x(y,z)和z  z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y  y(x,z)和z  z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x(y,z)和 y  y(x,z) 9(11)设,是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α ,α ,则α ,A(α α )线性无关的充分必要 1 2 1 2 1 1 2 条件是（ ） (A)  0 (B)  0 (C)  0 (D) 0 1 2 1 2 (12)设A为n(n2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则（ ） (A)交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行与第2行得B* (C)交换A*的第1列与第2列得B* (D)交换A*的第1行与第2行得B* (13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X  0}与{X Y 1}相互独立,则（ ） (A)a0.2,b0.3 (B)a0.4,b0.1 (C)a0.3,b0.2 (D)a0.1,b0.4 (14)设X ,X ,,X (n 2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X 为样本均值,S2为样本方差,则（ ） 1 2 n (A)nX ~ N(0,1) (B)nS2 ~2(n) (n1)X (n1)X2 (C) ~ t(n1) (D) 1 ~ F(1,n1) S n X2 i i2 三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设D {(x,y)x2  y2  2,x  0,y  0},[1 x2  y2]表示不超过1 x2  y2的最大整数. 计算二重积分 xy[1 x2  y2]dxdy. D (16)(本题满分12分)  1 求幂级数(1)n1(1 )x2n 的收敛区间与和函数 f(x). n(2n1) n1 (17)(本题满分11分) 10如图,曲线C的方程为 y  f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l 与l 分 1 2 别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数 f(x)具有三 3 阶连续导数,计算定积分 (x2  x)f(x)dx. 0 (18)(本题满分12分) 已知函数 f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)0, f(1)1. 证明: (1)存在(0,1), 使得 f() 1. (2)存在两个不同的点,(0,1),使得 f ()f () 1. (19)(本题满分12分) (y)dx2xydy 设函数(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分 的值恒 L 2x2  y4 为同一常数. (y)dx2xydy (1)证明:对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有 0. C 2x2  y4 (2)求函数(y)的表达式. (20)(本题满分9分) 已知二次型 f(x ,x ,x )  (1a)x2 (1a)x2 2x2 2(1a)x x 的秩为2. 1 2 3 1 2 3 1 2 (1)求a的值； (2)求正交变换xQy,把 f(x ,x ,x )化成标准形. 1 2 3 (3)求方程 f(x ,x ,x )=0的解. 1 2 3 11(21)(本题满分9分) 1 2 3   已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B 2 4 6 (k为常数),且ABO,求线性方程    3 6 k  组Ax0的通解. (22)(本题满分9分) 1 0 x1,0 y2x 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y) 0 其它 求:(1)(X,Y)的边缘概率密度 f (x), f (y). X Y (2)Z  2X Y 的概率密度 f (z). Z (23)(本题满分9分) 设X ,X ,,X (n  2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X 为样本均值,记Y  X  X,i 1,2,,n. 1 2 n i i 求:(1)Y 的方差DY ,i 1,2,,n. i i (2)Y 与Y 的协方差Cov(Y,Y ). 1 n 1 n 122004 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线 y lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为__________ . (2)已知 f(ex) xex,且 f(1)0,则 f(x)=__________ . (3)设L为正向圆周x2  y2  2在第一象限中的部分,则曲线积分 xdy 2ydx 的值为__________. L d2y dy (4)欧拉方程x2 4x 2y 0(x 0)的通解为__________ . dx2 dx 2 1 0   (5)设矩阵 A 1 2 0 ,矩阵 B 满足 ABA* 2BA*E ,其中 A* 为 A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵,则    0 0 1  B =__________ . (6)设随机变量X 服从参数为的指数分布,则P{X  DX}= __________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) x x2 x (7)把x 0时的无穷小量  cost2dt,  tan tdt,  sint3dt,使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 0 0 0 则正确的排列次序是（ ） (A),, (B),, (C),, (D),, (8)设函数 f(x)连续,且 f (0)  0,则存在0,使得（ ） (A) f(x)在(0,)内单调增加 (B) f(x)在(,0)内单调减少 (C)对任意的x(0,)有 f(x) f(0) (D)对任意的x(,0)有 f(x) f(0)  (9)设a 为正项级数,下列结论中正确的是（ ） n n1  (A)若limna =0,则级数a 收敛 n n n n1  (B)若存在非零常数,使得limna ,则级数a 发散 n n n n1  (C)若级数a 收敛,则limn2a 0 n n n n1  (D)若级数a 发散, 则存在非零常数,使得limna  n n n n1 13t t (10)设 f(x)为连续函数,F(t)   dy f(x)dx,则F(2)等于（ ） 1 y (A)2f(2) (B) f(2) (C)f(2) (D) 0 (11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ C的可逆矩 阵Q为（ ） 0 1 0 0 1 0     (A) 1 0 0 (B) 1 0 1      1 0 1   0 0 1  0 1 0 0 1 1     (C) 1 0 0 (D) 1 0 0      0 1 1   0 0 1  (12)设A,B为满足ABO的任意两个非零矩阵,则必有（ ） (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (13)设随机变量 X 服从正态分布N(0,1),对给定的(01),数u 满足P{X u },若P{X  x},   则x等于（ ） (A)u (B)u (C)u (D) u   1 1 1 2 2 2 1 n (14)设随机变量X ,X ,,X (n 1)独立同分布,且其方差为2  0. 令Y  X ,则（ ） 1 2 n n i i1 2 (A)Cov(X ,Y)  (B)Cov(X ,Y)2 1 n 1 n2 n1 (C)D(X Y)  2 (D)D(X Y)  2 1 n 1 n 三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分) 4 设eabe2,证明ln2bln2a (ba). e2 14(16)(本题满分11分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速 并停下. 现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的 速度成正比(比例系数为k  6.0106). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? (注:kg表示千克,km/h表示千米/小时) (17)(本题满分12分) 计算曲面积分I 2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy,其中是曲面z 1x2  y2(z 0)的上侧.  (18)(本题满分11分)  设有方程xn nx10,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根x ,并证明当1时,级数x收敛. n n n1 (19)(本题满分12分) 设z  z(x,y)是由x2 6xy10y2 2yzz2 180确定的函数,求z  z(x,y)的极值点和极值. (20)(本题满分9分)  (1a)x x x 0, 1 2 n  2x (2a)x 2x 0, 设有齐次线性方程组 1 2 n (n2) ,    nx nx (na)x  0, 1 2 n 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. 15(21)(本题满分9分)  1 2 3   设矩阵A 1 4 3 的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.     1 a 5   (22)(本题满分9分) 1 1 1 设A,B为随机事件,且P(A) ,P(B| A) ,P(A|B) ,令 4 3 2 1, A发生, 1, B发生, X   Y   0,A不发生; 0,B不发生. 求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数 . XY (23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为  1 1 ,x 1, F(x,)   x x 1,   0, 其中未知参数1,X ,X ,,X 为来自总体X 的简单随机样本, 1 2 n 求:(1)的矩估计量. (2)的最大似然估计量 162003 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) 1 (1)lim(cosx)ln(1x2) = . x0 (2)曲面z  x2  y2与平面2x4yz 0平行的切平面的方程是 .  (3)设x2  a cosnx( x ),则a = . n 2 n0 1  1  1 1 (4)从R2的基α   ,α   到基β   ,β   的过渡矩阵为 . 1 0 2 1 1 1 2 2 6x 0 x y1 (5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y) ,则P{X Y 1} . 0 其它 (6)已知一批零件的长度 X (单位:cm)服从正态分布N(,1),从中随机地抽取 16个零件,得到长度的平均值为 40 (cm),则的置信度为0.95的置信区间是 . (注:标准正态分布函数值(1.96) 0.975,(1.645) 0.95.) 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)设函数 f(x)在(,)内连续,其导函数的图形如图所示,则 f(x)有（ ） (A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点 (2)设{a },{b },{c }均为非负数列,且lima 0,limb 1,limc  ,则必有 n n n n n n n n n (A)a b 对任意n成立 (B)b c 对任意n成立 n n n n (C)极限lima c 不存在 (D)极限limb c 不存在 n n n n n n f(x,y) xy (3)已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且 lim 1,则 x0,y0 (x2  y2)2 (A)点(0,0)不是 f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是 f(x,y)的极大值点 (C)点(0,0)是 f(x,y)的极小值点 (D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点 (4)设向量组I:α ,α ,,α 可由向量组II:β ,β ,,β 线性表示,则（ ） 1 2 r 1 2 s (A)当r  s时,向量组II必线性相关 (B)当r  s时,向量组II必线性相关 (C)当r  s时,向量组I必线性相关 (D)当r  s时,向量组I必线性相关 17(5)设有齐次线性方程组Ax0和Bx0,其中A,B均为mn矩阵,现有4个命题: ① 若Ax0的解均是Bx0的解,则秩(A)秩(B) ② 若秩(A)秩(B),则Ax0的解均是Bx0的解 ③ 若Ax0与Bx0同解,则秩(A)秩(B) ④ 若秩(A)秩(B), 则Ax0与Bx0同解 以上命题中正确的是（ ） (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ 1 (6)设随机变量X ~ t(n)(n 1),Y  ,则（ ） X2 (A)Y ~2(n) (B)Y ~2(n1) (C)Y ~ F(n,1) (D)Y ~ F(1,n) 三、(本题满分10分) 过坐标原点作曲线 y lnx的切线,该切线与曲线 y lnx及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A. (2)求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V . 四、(本题满分12分) 12x  (1)n 将函数 f(x) arctan 展开成x的幂级数,并求级数 的和. 12x 2n1 n0 五 、(本题满分10分) 已知平面区域D {(x,y)0 x,0 y },L为D的正向边界.试证: (1) xesinydy yesinxdx xesinydy yesinxdx. L L 18(2) xesinydy yesinxdx22. L 六 、(本题满分10分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻 力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k.k 0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要 求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r 1).问 (1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m表示长度单位米.) 七 、(本题满分12分) 设函数 y  y(x)在(,)内具有二阶导数,且y 0,x  x(y)是y  y(x)的反函数. d2x dx (1)试将x x(y)所满足的微分方程 (ysinx)( )3  0变换为 y  y(x)满足的微分方程. dy2 dy 3 (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)  0,y(0)  的解. 2 八 、(本题满分12分) 设函数 f(x)连续且恒大于零,  f(x2  y2  z2)dv  f(x2  y2)d F(t)  (t) ,G(t)  D(t) ,  f(x2  y2)d  t f(x2)dx 1 D(t) 其中(t) {(x,y,z)x2  y2  z2 t2},D(t) {(x,y)x2  y2 t2}. (1)讨论F(t)在区间(0,)内的单调性. 192 (2)证明当t 0时,F(t)  G(t).  九 、(本题满分10分) 3 2 2 0 1 0     设矩阵A 2 3 2 ,P  1 0 1 ,BP1A*P ,求B2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩      2 2 3   0 0 1  阵,E为3阶单位矩阵. 十 、(本题满分8分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l : ax2by3c 0 , l : bx2cy3a 0 , l : 1 2 3 cx2ay3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为abc 0. 十一 、(本题满分10分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中 任取3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数X的数学期望； (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为 2e2(x) x f(x) 0 x0 其中0是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本X ,X ,,X ,记ˆ  min(X ,X ,,X ). 1 2 n 1 2 n (1)求总体X 的分布函数F(x).(2)求统计量ˆ的分布函数F (x).(3)如果用ˆ作为的估计量,讨论它是否具 ˆ 有无偏性. 202002 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)  dx = _____________. e xln2 x (2)已知函数 y  y(x)由方程ey6xy x2 10,则 y(0) =_____________. 1 (3)微分方程yy y2 0满足初始条件 y| 1,y|  的特解是_____________. x0 x0 2 (4)已知实二次型 f (x ,x ,x )  a(x2  x2  x2) 4x x  4x x  4x x 经正交变换 x Py 可化为标准型 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f  6y2,则a=_____________. 1 1 (5)设随机变量 X 服从正态分布 N（，2）（0), 且二次方程 y2 4y X  0 无实根的概率为 ,则 2 =_____________.  二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)考虑二元函数 的四条性质: f (x, y) ① f (x, y) 在点(x ,y )处连续, ② f (x, y) 在点(x ,y )处的两个偏导数连续, 0 0 0 0 ③ f (x, y) 在点(x ,y )处可微, ④ f (x, y) 在点(x ,y )处的两个偏导数存在. 0 0 0 0 若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有:（ ） (A)②③① (B)③②① (C)③④① (D)③①④  1 1 (2)设u 0（n1,2,3,）,且 lim n 1 ,则级数(1)n1(  )（ ） n nu n n1 u n u n1 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性根据所给条件不能判定. (3)设函数y  f(x)在（0，）内有界且可导,则（ ） (A)当 lim f(x)0时,必有 lim f(x)0 (B)当 lim f (x)存在时,必有 lim f(x)0 x x x x (C) 当 lim f(x)0时,必有 lim f(x)0 (D) 当 lim f(x)存在时,必有 lim f(x)0. x0 x0 x0 x0 (4)设有三张不同平面,其方程为a xa ya z b,i 1,2,3,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的 i1 i2 i3 i 秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为（ ） (5)设 X 和X 是相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为 f (x)和f (x) ,分布函数分别为 1 2 1 2 21F（x）和F（x）,则（ ） 1 2 (A) f（x） f (x)必为某一随机变量的概率密度 (B) f（x）f (x)必为某一随机变量的概率密度 1 2 1 2 (C)F（x）F (x)必为某一随机变量的分布函数 (D) F（x）F (x)必为某一随机变量的分布函数. 1 2 1 2 三、(本题满分6分) 设函数 f (x) 在 x  0 的某邻域具有一阶连续导数,且 f(0)0, f(0)0,若af(h)bf(2h) f(0)在h0时 是比h高阶的无穷小，,试求 a,b 的值. 四、(本题满分7分) 已知两曲线 y  f (x) 与y   arctanx et2 dt 在点 (0,0) 处的切线相同.写出此切线的方程,并求极限limnf ( 2 ). 0 n n 五、(本题满分7分) 计算二重积分 emax{x2,y2}dxdy ,其中 D  {( x, y) | 0  x  1,0  y  1} . D 六、(本题满分8分) 设函数 在（，）内具有一阶连续导数, 是上半平面( >0)内的有向分段光滑曲线,起点为( ),终 f (x) L y a,b 点为( ). c,d 1 x 记I   [1 y2f(xy)]dx [y2f(xy)1]dy,, L y y2 (1)证明曲线积分 与路径 无关. I L (2)当 ab  cd 时,求 I 的值. 22七、(本题满分7分) x3 63 93 xn3 (1)验证函数 y(x)1   L L(   x   )满足微分方程 y y y ex. 3! 6! 9! (3n)!  x3n (2)利用（2）的结果求幂级数 的和函数. (3n)! n0 八、(本题满分7分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D {(x, y)| x2  y2  xy  75},小 山的高度函数为 h(x,y)  75  x2  y2  xy . (1)设M(x ,y )为区域 D 上一点,问 h(x,y) 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向的方向导数 0 0 的最大值为g(x ,y ),写出g(x ,y )的表达式. 0 0 0 0 (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在 的 D 边界线上找出使(1)中 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置. g(x, y) 九、(本题满分6分) 已知四阶方阵A (α ,α ,α ,α ), α ,α ,α ,α 均为四维列向量,其中α ,α ,α 线性无关,α 2α α .若 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 βα α α α ,求线性方程组 Ax  β 的通解. 1 2 3 4 十、(本题满分8分) 设 为同阶方阵, A,B (1)若 相似,证明 的特征多项式相等. A,B A,B 23(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. A,B 十一、(本题满分7分) 1 x  cos , 0 x  设维随机变量X的概率密度为 f(x)2 2 对X独立地重复观察４次,用Y表示观察值大于 的 3   0, 其他. 次数,求Y2的数学期望. 十一、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为 1 其中（0 )是未知参数,利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3, 2 求的矩估计值和最大似然估计值. 242001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)设 y ex(C sinxC cosx) (C ,C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为 1 2 1 2 _____________. (2)设r  x2  y2  z2 ,则div(gradr) =_____________. (1,2,2) 0 1y (3)交换二次积分的积分次序: dy f(x,y)dx＝_____________. 1 2 (4)设矩阵A满足A2  A4E 0,其中E为单位矩阵,则(AE)1=_____________. (5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计P{X E(X)  2}_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) y O x (1)设函数 f(x)在定义域内可导,y  f(x)的图形如右图所示, 则 y  f (x) 的图 形为 (2)设 f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且 f (0,0) 3, f (0,0) 1,则 x y (A) d | 3dxdy. z (0,0) (B) 曲面z  f(x,y)在点(0,0, f(0,0))处的法向量为{3,1,1}. z  f(x,y) (C) 曲线 在点(0,0, f(0,0))处的切向量为{1,0,3}.  y  0 z  f(x,y) (D) 曲线 在点(0,0, f(0,0))处的切向量为{3,0,1}.  y  0 25(3)设 f(0)  0,则 f(x)在x=0处可导的充要条件为 1 1 (A) lim f(1cosh) 存在. (B) lim f(1eh)存在. h0 h2 h0 h 1 1 (C) lim f(hsinh)存在. (D) lim [f(2h) f(h)]存在. h0 h2 h0 h 1 1 1 1 4 0 0 0     1 1 1 1 0 0 0 0 (4)设A   ,B    ,则A与B 1 1 1 1 0 0 0 0     1 1 1 1 0 0 0 0 (A) 合同且相似. (B) 合同但不相似. (C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似. (5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于 1 (A)-1. (B) 0. (C) . (D) 1. 2 三、(本题满分6分) arctanex 求 dx. e2x 四、(本题满分6分) f f 设函数z  f(x,y)在点(1,1)处可微,且 f(1,1)1, | 2, | 3,(x) f(x, x (1,1) y (1,1) d f(x,x)).求 3(x) . dx x1 五、(本题满分8分) 1x2 arctanx, x0,  (1)n 设 f(x)= x 将 f(x)展开成x的幂级数,并求级数 的和.  1, x0, n1 14n2 26六、(本题满分7分) 计算I   (y2  z2)dx(2z2  x2)dy(3x2  y2)dz,其中L是平面x y z  2与柱面 x  y 1的交线, L 从z轴正向看去,L为逆时针方向. 七、(本题满分7分) 设 y  f(x) f(x)在(1,1)内具有二阶连续导数且 f (x)  0,试证: (1)对于(1,1)内的任一x0,存在惟一的(x)(0,1),使 f(x)= f(0)+xf ((x)x)成立; 1 (2)lim(x)  . x0 2 八、(本题满分8分) 2(x2  y2) 设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z  h(t) (设长度单位为厘米, h(t) 时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多 少小时? 九、(本题满分6分) 设, ,, 为线性方程组Ax0的一个基础解系, t t , t t,, 1 2 s 1 1 1 2 2 2 1 2 2 3  t t,其中t ,t 为实常数.试问t ,t 满足什么条件时,, ,, 也为Ax0的一个基础解系. s 1 s 2 1 1 2 1 2 1 2 s 27十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x 3Ax2A2x. (1)记P=（x,Ax,A2x）,求3阶矩阵B,使A PBP1; (2)计算行列式 A E . 十一、(本题满分7分) 设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为 p(0 p1), 且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求: (1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率; (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布. 十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布N(,2)(0),从该总体中抽取简单随机样本X ,X ,,X (n2),其样本均 1 2 2n 1 2n n 值为X  X ,求统计量Y  (X  X 2X)2 的数学期望E(Y). 2n i i ni i1 i1 282000 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 1 (1) 2xx2dx=_____________. 0 (2)曲面x2 2y2 3z2 21在点（1，2,2）的法线方程为_____________. (3)微分方程xy3y0的通解为_____________. 1 2 1  x  1 1      (4)已知方程组 2 3 a2 x  3 无解,则a=_____________.   2    1 a 2    x    0  3 1 (5)设两个相互独立的事件 A和B都不发生的概率为 , A发生B不发生的概率与B发生 A不发生的概率相等,则 9 P(A)=_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)设 f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且 f(x)g(x) f(x)g(x)0,则当a xb时,有（ ） (A) f(x)g(b) f(b)g(x) (B) f(x)g(a) f(a)g(x) (C) f(x)g(x) f(b)g(b) (D) f(x)g(x) f(a)g(a) (2)设S:x2  y2 z2 a2(z 0),S 为S在第一卦限中的部分,则有（ ） 1 (A)xdS 4xdS (B) ydS 4xdS S S S S 1 1 (C)zdS 4xdS (D)xyzdS 4xyzdS S S S S 1 1  (3)设级数u 收敛,则必收敛的级数为（ ） n n1  u  (A) (1)n n (B) u2 n n n1 n1   (C) (u u ) (D) (u u ) 2n1 2n n n1 n1 n1 (4)设n维列向量组α ,,α (mn)线性无关,则n维列向量组β ,,β 线性无关的充分必要条件为（ ） 1 m 1 m (A)向量组α ,,α 可由向量组β ,,β 线性表示 1 m 1 m (B)向量组β ,,β 可由向量组α ,,α 线性表示 1 m 1 m (C)向量组α ,,α 与向量组β ,,β 等价 1 m 1 m 29(D)矩阵A (α ,,α )与矩阵B(β ,,β )等价 1 m 1 m (5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量 X Y 与  X Y 不相关的充分必要条件为（ ） (A)E(X) E(Y) (B)E(X2)[E(X)]2 E(Y2)[E(Y)]2 (C)E(X2)E(Y2) (D)E(X2)[E(X)]2 E(Y2)[E(Y)]2 三、(本题满分6分)  1  2ex sinx 求lim  . x0 4 |x|  1ex  四、(本题满分5分) x x 2z 设z  f (xy, )g( ) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求 . y y xy 五、(本题满分6分) xdyydx 计算曲线积分I   ,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(R 1),取逆时针方向. L 4x2  y2 六、(本题满分7分) 设对于半空间x0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有 xf(x)dydzxyf(x)dzdxe2x zdxdy 0,其中函数 S f(x)在(0,)内具有连续的一阶导数,且lim f(x)1,求 f(x). x0 30七、(本题满分6分)  1 xn 求幂级数 的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. 3n (2)n n n1 八、(本题满分7分) 设有一半径为R的球体,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P 距离的平方成正比(比 0 0 例常数k 0),求球体的重心位置. 九、(本题满分6分)   设函数 f(x) 在[0,]上连续,且 f(x)dx0, f(x)cosxdx0.试证:在(0,) 内至少存在两个不同的点 0 0 ,,使 f() f()0. 1 2 1 2 十、(本题满分6分) 1 0 0 0   0 1 0 0 设矩阵A的伴随矩阵A*    ,且ABA1 BA13E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B. 1 0 1 0   0 3 0 8 十一、(本题满分8分) 1 某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 熟练工支援其他生产部门,其缺额由招 6 312 收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非 5 x  熟练工所占百分比分别为x 和 y ,记成向量 n . n n y  n x  x  x  x  (1)求 n1 与 n 的关系式并写成矩阵形式: n1  A n . y  y  y  y  n1 n n1 n 4 1 (2)验证η   ,η   是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. 1 1 2  1  1 x   2  x  (3)当 1  时,求 n1 . y  1 y  1   n1 2 十二、(本题满分8分) 某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0 p1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检 修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为 X ,求X 的数学期望E(X)和方差D(X). 十三、(本题满分6分) 2e2(x) x 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 f(x;) ,其中0为未知参数.又设x ,x ,,x 是 0 x 1 2 n X 的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值. 321999 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 1 1 (1)lim(  )=_____________. x0 x2 xtanx d x (2)  sin(xt)2dt=_____________. dx 0 (3)y4y e2x的通解为 y=_____________. (4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 _____________. 1 (5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件:ABC ,P(A) P(B) P(C) , 2 9 且已知P(ABC) ,则P(A)=_____________. 16 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)设 f(x)是连续函数,F(x)是 f(x)的原函数,则（ ） (A)当 f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 (B)当 f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数 (C)当 f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数 (D)当 f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数 1cosx  x0 (2)设 f(x) x ,其中g(x)是有界函数,则 f(x)在x0处（ ）  x2g(x) x 0 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续 (C)连续,但不可导 (D)可导 x 0 x1  a  (3)设 f(x) 1 ,S(x) 0 a cosnx, x,其中 22x  x1 2 n1 n  2 1 5 a 2 f(x)cosnxdx (n0,1,2,),则S( )等于（ ） n 0 2 1 1 (A) (B) 2 2 3 3 (C) (D) 4 4 (4)设A是mn矩阵,B是nm矩阵,则（ ） (A)当mn时,必有行列式|AB|0 (B)当mn时,必有行列式|AB|0 (C)当nm时,必有行列式|AB|0 (D)当nm时,必有行列式|AB|0 33(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则（ ） 1 1 (A)P{X Y 0} (B)P{X Y 1} 2 2 1 1 (C)P{X Y 0} (D)P{X Y 1} 2 2 三、(本题满分6分) 设 y  y(x),z  z(x)是由方程z  xf(x y)和F(x,y,z)0所确定的函数,其中 f 和F 分别具有一阶连续导 dz 数和一阶连续偏导数,求 . dx 四、(本题满分5分) 求 I  (exsin yb(x y))dx(excosyax)dy, 其 中 a,b 为 正 的 常 数 , L 为 从 点 A(2a,0) 沿 曲 线 L y  2axx2 到点O(0,0)的弧. 五、(本题满分6分) 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0,y(0)1.过曲线 y  y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴 的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S ,区间[0,x]上以 y  y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S ,并 1 2 设2S S 恒为1,求曲线 y  y(x)的方程. 1 2 六、(本题满分7分) 试证:当x0时,(x2 1)lnx(x1)2. 34七、(本题满分6分) 为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知 井深 30m,抓斗自重 400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为 3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗 提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上 方的缆绳长度忽略不计.) 八、(本题满分7分) x2 y2 设 S 为椭球面  z2 1的上半部分,点 P(x,y,z)S,为 S 在点 P 处的切平面,(x,y,z) 为点 2 2 z O(0,0,0)到平面的距离,求 dS. (x,y,z) S 九、(本题满分7分)  设a  4tann xdx: n 0  1 (1)求 (a a )的值. n n n2 n1 35 a (2)试证:对任意的常数0,级数 n 收敛. n n1 十、(本题满分8分)  a 1 c    设矩阵A  5 b 3 ,其行列式|A|1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值,属于的一个特征向量   0 0  1c 0 a  为α (1,1,1)T,求a,b,c和的值. 0 十一、(本题满分6分) 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为mn实矩阵,BT 为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件 是B的秩r(B)n. 十二、(本题满分8分) 设随机变量 X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于 X 和关于Y 的边缘分布率中 的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y y y y P(X  x ) p 1 2 3 i i 1 x 1 8 1 x 2 8 1 P(Y  y ) p 1 i j 6 十三、(本题满分6分) 6x  (x) 0< x 设总体X 的概率密度为 f(x)3 ,X ,X ,,X 是取自总体X 的简单随机样本 1 2 n  0 其它 (1)求的矩估计量ˆ . (2)求ˆ的方差D(ˆ ). 361998 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 1x  1x 2 (1)lim =_____________. x0 x2 1 2z (2)设z  f(xy) y(x y), f,具有二阶连续导数,则 =_____________. x xy x2 y2 (3)设l为椭圆  1,其周长记为a,则(2xy3x2 4y2)ds=_____________. 4 3 t (4)设A为n阶矩阵, A 0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则(A*)2 E必有特征值 _____________. 1 (5)设平面区域D由曲线 y  及直线 y 0,x1,xe2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则 x (X,Y)关于X 的边缘概率密度在x2处的值为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) d x (1)设 f(x)连续,则  tf(x2 t2)dt=（ ） dx 0 (A)xf(x2) (B)xf(x2) (C)2xf(x2) (D)2xf(x2) (2)函数 f(x)(x2 x2) x3x 不可导点的个数是（ ） (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 yx (3)已知函数 y  y(x)在任意点 x处的增量y  ,且当x0时,是x 的高阶无穷小, y(0),则 1x2 y(1)等于（ ）   (A)2 (B) (C)e4 (D)e4 a b c   1 1 1  xa yb zc xa yb zc (4)设矩阵 a b c 是满秩的,则直线 3  3  3 与直线 1  1  1 （ ）  2 2 2 a a b b c c a a b b c c  a b c   1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 3 3 3 (A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合 (D)异面 (5)设A,B是两个随机事件,且0 P(A)1,P(B)0,P(B| A) P(B| A), 则必有 (A)P(A|B) P(A|B) (B)P(A|B) P(A|B) (C)P(AB) P(A)P(B) (D)P(AB) P(A)P(B) 37三、(本题满分5分) x1 y z1 求直线l:   在平面:x y2z10上的投影直线l 的方程,并求l 绕 y轴旋转一周所成曲面 1 1 1 0 0 的方程. 四、(本题满分6分) 确定常数,使在右半平面x0上的向量A(x,y)2xy(x4 y2)ix2(x4 y2)j 为某二元函数u(x,y)的 梯度,并求u(x,y). 五、(本题满分6分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数 关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m,体积为B,海水密度为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k 0).试建立 y 与v所满足的微分方 程,并求出函数关系式 y  y(v). 六、(本题满分7分) axdydz(za)2dxdy 计算 ,其中为下半平面z  a2 x2  y2 的上侧,a为大于零的常数. (x2  y2 z2)12  七、(本题满分6分)   2  sin sin  n n sin 求lim   . x  n1 n 1 n 1   2 n 38八、（本题满分5分）   1 设正向数列{a }单调减少,且(1)na 发散,试问级数( )n 是否收敛?并说明理由. n n a 1 n1 n1 n 九、（本题满分6分） 设 y  f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证存在x (0,1),使得在区间[0,x ]上以 f(x )为高的矩形面积,等于在区间[x ,1]上以 y  f(x)为曲边 0 0 0 0 的曲边梯形面积. 2f(x) (2)又设 f(x)在区间(0,1)内可导,且 f(x) ,证明(1)中的x 是唯一的. x 0 十、（本题满分6分） x      已知二次曲面方程x2 ay2 z2 2bxy2xz2yz 4可以经过正交变换 y P  化为椭圆柱面方程      z      2 42 4,求a,b的值和正交矩阵P. 十一、（本题满分4分） 设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx0有解向量α,且Ak1α 0. 证明:向量组α,Aα,,Ak1α是线性无关的. 十二、（本题满分5分） 已知方程组 39a x a x a x 0 11 1 12 2 1,2n 2n a x a x a x 0 (Ⅰ) 21 1 22 2 2,2n 2n  a x a x a x 0 n1 1 n2 2 n,2n 2n 的一个基础解析为(b ,b ,,b )T,(b ,b ,,b )T,,(b ,b ,,b )T.试写出线性方程组 11 12 1,2n 21 22 2,2n n1 n2 n,2n b y b y b y 0 11 1 12 2 1,2n 2n b y b y b y 0 (Ⅱ) 21 1 22 2 2,2n 2n  b y b y b y 0 n1 1 n2 2 n,2n 2n 的通解,并说明理由. 十三、（本题满分6分） 1 设两个随机变量X,Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为 的正态分布,求随机变量 X Y 的方差. 2 十四、（本题满分4分） 从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问 样本容量n至少应取多大? z 1  t2 附:标准正态分布表 (x)  e 2 dt  2 z 1.28 1.645 1.96 2.33 (x) 0.900 0.950 0.975 0.990 十五、（本题满分4分） 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问 在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:t分布表 P{t(n)t (n)} p p 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 40