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2026年中考数学常考考点专题之函数基础知识
一．选择题（共12小题）
1．（2025•湖北三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E从点B出发，沿BC以每秒1
个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿CD以每秒1个单位长度的速度运动到点D．
在此过程中△AEF的面积y与运动时间t的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025•朝阳县二模）如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发，沿折线 A﹣D﹣C 向点C匀速运动，
过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q．设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y
关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（ ）
A．4 B．2√13 C．8 D．2√15
3．（2025•合肥二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，其中甲先出发1h，如图是甲、乙行驶路程y甲
（km），y乙 （km）与时间x（h）变化的图象，下列说法不正确的是（ ）
第1页（共48页）A．乙车开始行驶时，甲车在乙车前60km处
B．乙车的平均速度是80km/h
C．在距离A城240km处，乙车追上甲车
D．乙车比甲车早20min到B城
4．（2025•郑州二模）下列四幅图分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情景分别是（ ）
①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额y与通话时间x的关系；
②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间x与行驶速度y之间的关系；
③一名学生推出实心球，实心球的行进高度y与水平距离x之间的关系；
④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，
于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离y与所用时间x之间的关系．
A．②③①④ B．①④③② C．②③④① D．②①③④
5．（2025•锡林郭勒盟三模）下面的三个问题中都有两个变量：
①某地手机通话费为a元/min，某人手机话费卡中共有b元，此后话费卡中的余额y与手机通话的时
间x；
②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量y与排水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个等腰三角形，等腰三角形的面积y与腰长x，其中，变量y与变量x之间
的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
第2页（共48页）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2025•汝南县三模）如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，动点P从点A出发沿A→B的方向以
1cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以2cm/s的速度运动．当点Q到达点
B时，点P，Q同时停止运动．设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），下列能大致反映y
与x之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
第3页（共48页）D．
7．（2025•龙沙区三模）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出
发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x
的函数图象如图2，则AC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
8．（2025•徐州模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝16，BC＝8，动点P以每秒4个单位的速度从点
A沿线段AB向B点运动，同时动点Q以每秒6个单位的速度从点B出发沿B﹣C﹣D的方向运动，当
点Q到达点D时，P、Q同时停止运动，若记△PQA的面积为y，运动时间为x，则下列图象中能大致
表示y与x之间函数关系图象的是（ ）
A． B．
第4页（共48页）C． D．
9．（2025•芜湖三模）在平面直角坐标系中，点A（3，n），点B（﹣3，n），点C（4，n+2）在同一个
函数图象上，则该函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
ax
10．（2025•襄城县一模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数y=
的图象，输入了一组a，b的
(x-b) 2
值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
11．（2025•怀远县二模）物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将
实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法错误的是（ ）
第5页（共48页）A．实验开始时，冰块的温度为﹣4℃
B．加热2min后，冰块开始熔化
C．冰块熔化过程持续了8min
D．冰块熔化后，继续加热，温度计读数在一定范围内每分钟增加1℃
12．（2025•庐阳区一模）如图，已知菱形ABCD的边长为3，点E从点A处出发，以每秒1个单位长度
的速度，顺着菱形的边顺时针运动一周（A→B→C→D→A）后停止，设y为点E运动t秒后△AOE的
面积，当A、O、E三点共线时y＝0．那么，y关于t的函数的图象大致为（ ）
A．
B．
第6页（共48页）C．
D．
二．填空题（共8小题）
x
13．（2025•城西区校级三模）函数y= +(x-3) 0 中，自变量x的取值范围是 ．
√x-2
1
14．（2025•祁阳市校级一模）已知函数f(x)= ，其中f（a）表示当x＝a时对应的函数值，如
x(x+1)
1 1 1
f(1)= ，f(2)= ，f(a)= ，则 f（1）+（2）+f（3）+…+f（2025）＝
1×2 2×3 a(a+1)
．
15．（2025•上城区校级三模）一辆无人快递车派送社区快递，中途暂停充电一次，充电后比充电前每小
时多派送10件快递．派送件数y（件）与派送时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则中途充电
时长为 小时．
16．（2025•湖北模拟）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为3，则输出的y的值为﹣
16．若输入的x的值为1，则输出的y的值为 ．
第7页（共48页）1
17．（2025•洪山区模拟）为了研究函数y= 的性质，小杨同学用描点法画它的图象，列出
x2-2|x|-4
了下列表格：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
1 … ﹣1 1 1 1 1 1 ﹣1 …
y= - - - - -
x2-2|x|-4 4 5 4 5 4
下列五个结论：
①该函数图象是一个轴对称图形；②该函数图象在x轴下方；③该函数没有最高点；④当x＞1时，
y 随 x 的增大而增大；⑤若将该函数图象关于 x 轴对称，则对称后的图象函数解析式是
1
y=
．
-x2+2|x|+4
其中正确的结论是 （填写序号）．
18．（2025•榆阳区校级三模）如图所示的大长方形是由9个相同的小长方形无重叠、无缝隙地组成，若
设小长方形的长为x，宽为y，则y与x的关系可表示为 ．
19．（2025•临渭区模拟）我国古代数学著作《周髀算经》中提到，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊
蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种（按顺序排列）这十二个节气中，在同一地点测量每个节
气正午时刻同一根标杆的影长，发现每个节气与它后一个节气的影长的差近似为定值，若立春当日的
影长约为10.5尺，设这个定值为x尺，惊蛰当日的影长约为y尺（这里的尺是我国古代长度单位），
则y与x的关系可以表示为 ．
2x2+4x+5
20．（2025•武昌区模拟）利用所学函数知识研究函数y= 的性质，下列五个结论：
x2+2x+2
11
①点(1， )在该函数图象上；
5
②该函数的自变量x的取值为任意实数；
第8页（共48页）③该函数图象有最高点；
④若（a，y ）和（a+1，y ）是该函数图象上的两点，当a＜﹣1时，y ＜y ；
1 2 1 2
1
⑤若将该函数图象向右平移1个单位，向上平移2个单位，则平移后的图象的函数解析式是y= ．
x2+1
其中正确的结论是 （填写序号）．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•开州区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，连接BD，动点E从B到A以每秒1个
单位/秒运动，到A停止运动，运动过程中，连接 CE交DB于F，用x表示E运动时间（0＜x＜6）
△BCE面积y 线段CF与EF的比值为y ．
1 2
（1）直接写出y ，y 函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
1 2
（2）在给出的平面直角坐标系中画出 y ，y 的函数图象，并写出函数 y ，y 的一条性质：
1 2 1 2
．
（3）根据函数图象，直接写出当y ≤y ＜4时，x的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2）．
2 1
22．（2025•息县模拟）如图，等腰直角三角形ABC的三个顶点坐标A（1，3），B（3，1），C（3，
k
3），反比例函数y= (x＞0)的图象经过点C．
x
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的两个点，再画出反比例函数位于第一象限的图象．
（3）若将等腰直角三角形ABC向上平移m个单位，再向右平移n个单位后，顶点A、B的对应点恰好
都在反比例函数的图象上，请直接写出满足条件的m，n的值．
第9页（共48页）23．（2025•西安模拟）我国新能源汽车发展迅猛，2024年11月产销量再创历史新高，前11个月国内累
计销量超1000万辆，与此同时，公共充电桩建设也快速推进，截至2024年11月底，累计建成充电桩
1235.2万台，技术的发展越来越改善着人们的生活．图 1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横
截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平
距离x（单位：m）近似满足二次函数y＝﹣0.02x2+bx+c的图象，支柱AO＝1.6m，最外端点B的坐标
为（6，2.68）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长CD＝4m、高DE＝2.2m的矩形，判
断此纯电货车能否完全停到车棚内，并说明理由．
（3）为确保在车棚内能容纳长5m、高2.5m的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面
积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱OA的方式进行改造，则抬起的高度至少需要大于多少米？
24．（2025•番禺区校级三模）请根据以下素材，探索完成任务．
买新能源车到底划不划算
素材1 某中学数学兴趣小组对市场上配置相近的A款燃油车和
B款新能源车对比调查．其中A、B两款车的有关数据
如下：
购车费 购置 年均保 年均保 预计10
用/万元 税/万元 养费 险费 年后的
第10页（共48页）用/万元 用/万元 车价/万
元
A款燃 30 3.0 0.20 0.80 9.6
油
B取加 36 0 0.10 1.0 4.0
能
素材2 总费用（以使用10年为例）＝购车费用﹣预计10年后
的车价+购置税+保养费用+保险费用+油费或电费
素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多1.2元，当油
费和电费均为400元时，新能源车的行驶路程是燃油车
的4倍
问题解决
任务1 A款燃油车每公里油费是多少元；
任务2 设平均每年的行驶路程为x万公里，A款燃油车使用年
的总费用为y 万元，B款新能源车使用10年的总费用
A
为y 万元，分别求出y 和y 关于x的表达式；
B A B
任务3 每年行驶里程至少为多少万公里时，购买B款新能源车
更划算（以使用10年为例）．
25．（2025•北碚区校级三模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点P以每秒1个单位长度从
1
点A出发，沿着A→C→D运动，当点P到达D点时停止运动，动点Q以每秒 个单位长度从点A出发，
2
沿A→D方向运动，P、Q两点同时停止运动，点E为直线AC上的动点，满足2S ＝S ，设点
△AEQ △ABC
P，Q的运动时间均为x秒，记△BCP的面积为y ，点E到直线AD的距离为y ．
1 2
（1）请直接写出y ，y 关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
1 2
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y ，y 的图象，并写出函数y 的一条性质；
1 2 1
（3）结合函数图象，请直接写出当y ＞y 时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过
1 2
第11页（共48页）0.2）
第12页（共48页）2026年中考数学常考考点专题之函数基础知识
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D A A B A B C A C
题号 12
答案 A
一．选择题（共12小题）
1．（2025•湖北三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E从点B出发，沿BC以每秒1
个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿CD以每秒1个单位长度的速度运动到点D．
在此过程中△AEF的面积y与运动时间t的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．
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【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】C
【分析】过点A作AT⊥EF于T，连接AC，可证明△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝∠ACB＝60°，
AC＝BC＝CD＝AD，再证明△ACD 是等边三角形，得到∠ACF＝∠ABE，证明△ABE≌△ACF
（SAS），得到 AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，则可证明△AEF 是等边三角形，进而可求出
第13页（共48页）1 √3
S = AT⋅EF= AE2，当t＝0时，AE＝AB＝2，则S =√3，当t＝2时，AE＝AC＝2，则
△AEF 2 4 △AEF
，据此可得答案．
S =√3
△AEF
【解答】解：过点A作AT⊥EF于T，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC＝CD＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACF＝∠ABE＝60°，
由题意可知BE＝CF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
1 1
∴AE＝EF，ET= EF= AE，
2 2
√3
∴AT=√AE2+ET2= AE，
2
1 √3
∴S = AT•EF= AE2，
△AEF 2 4
当t＝0时，AE＝AB＝2，则S =√3，
△AEF
当t＝2时，AE＝AC＝2，则S =√3，
△AEF
故选：C．
【点评】本题主要考查了动点函数图象分析，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全
第14页（共48页）等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．（2025•朝阳县二模）如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发，沿折线 A﹣D﹣C 向点C匀速运动，
过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q．设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y
关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（ ）
A．4 B．2√13 C．8 D．2√15
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】函数及其图象；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】点Q运动到点B处时，AQ为4，即AB为4，当点P运动到点D处时，路程AP为8，即AD
为8，证明△ADC∽△CDQ，求出CQ、BQ，在Rt△ABQ中利用勾股定理求出AQ即可．
【解答】解：由图2得，当点Q运动到点B处时，AQ为4，即AB为4，
如图，当点P运动到点D处时，路程AP为8，即AD为8，
∵AC⊥PQ，
∴△ADC∽△CDQ，
∴AD：CD＝CD：CQ，即8：4＝4：CQ，∴CQ＝2，
∴BQ＝6，
在Rt△ABQ中，AQ=√42+62=2√13，
∴m＝2√13．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
第15页（共48页）3．（2025•合肥二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，其中甲先出发1h，如图是甲、乙行驶路程y甲
（km），y乙 （km）与时间x（h）变化的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．乙车开始行驶时，甲车在乙车前60km处
B．乙车的平均速度是80km/h
C．在距离A城240km处，乙车追上甲车
D．乙车比甲车早20min到B城
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】先分别确定函数解析式，利用解析式，结合函数图象判断即可．
【解答】解：设甲的解析式为y＝kx+b，
{4k+b=300
根据题意，得 ，
-k+b=0
{k=60
解得 ，
b=60
故甲的解析式为y＝60x+60，
∴甲车的速度为60km/h，
∵甲先出发1h，
∴乙车开始行驶时，甲车在乙车前60km/h×1h＝60km处，
故A正确，不符合题意；
当x＝3时，y＝60x+60＝240，
240
故乙车的速度为 =80(km/h)，
3
故B正确，不符合题意；
根据图象，得到乙车出发3小时追上甲车，
故在距离A城240km处，乙车追上甲车正确，
故C正确，不符合题意；
第16页（共48页）300
根据图象，乙车 =3.75(h)到达目的地，
80
故乙车比甲车早4﹣3.75＝0.25h＝15min到B城
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，一次函数解析式，正确确定解析式，获取函数图象信息是解题的关键．
4．（2025•郑州二模）下列四幅图分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情景分别是（ ）
①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额y与通话时间x的关系；
②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间x与行驶速度y之间的关系；
③一名学生推出实心球，实心球的行进高度y与水平距离x之间的关系；
④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，
于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离y与所用时间x之间的关系．
A．②③①④ B．①④③② C．②③④① D．②①③④
【考点】函数的图象；常量与变量．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】A
【分析】根据图象信息逐一判断即可．
【解答】解：①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额 y与通话时间x的最大而减小，
对应的是图象3；
②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间 x与行驶速度y之间成反比例
关系，对应的是图象1；
③一名学生推出实心球，实心球的行进高度 y与水平距离x之间的图象是一条抛物线，对应的是图象
2；
④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，
于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离y与所用时间x之间的变化为：返回时y随x的增大而增
大，加速返回学校y随x的增大而减小，对应的是图象是4．
故顺序为②③①④．
故选：A．
第17页（共48页）【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定
的生活经验．
5．（2025•锡林郭勒盟三模）下面的三个问题中都有两个变量：
①某地手机通话费为a元/min，某人手机话费卡中共有b元，此后话费卡中的余额y与手机通话的时
间x；
②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量y与排水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个等腰三角形，等腰三角形的面积y与腰长x，其中，变量y与变量x之间
的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】函数的图象；三角形三边关系；函数关系式．
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【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】A
【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意
即可判定．
【解答】解：①话费卡中的余额y随手机通话时间x的增大而减小，
故①可以利用该图象表示，符合题意；
②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量y随排水时间x的增大而减小，
故②可以利用该图象表示，符合题意；
③设绳子的长为L，腰长x，则另一边长为L﹣2x，
1 √ L-2x
则等腰三角形的面积为：y= （L﹣2x）• x2-( ) 2，
2 2
故③不可以利用该图象表示，不符合题意．
故可以利用该图象表示的有：①②．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
6．（2025•汝南县三模）如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，动点P从点A出发沿A→B的方向以
第18页（共48页）1cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以2cm/s的速度运动．当点Q到达点
B时，点P，Q同时停止运动．设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），下列能大致反映y
与x之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
第19页（共48页）D．
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】B
【分析】根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答．
【解答】解：①当点Q在CD上时，
3
有DQ＝2t，AP＝t，0≤t≤ ，
2
1 3 3
∴y= ×3t= t（0≤t≤ ）．
2 2 2
此时y与x之间的函数为一次函数．
②当点Q在CB上时，
3
有BC+CQ＝2t，AP＝t， ＜t＜3，
2
∴DQ＝6﹣2t，
1 3
∴y= t⋅(6-2t)=-t2+3t（ ＜t＜3）．
2 2
此时y为二次函数．
第20页（共48页）3 3
∴符合当0≤t≤ 时，图象为一次函数；当 ＜t＜3时，图象为二次函数．
2 2
故选：B．
【点评】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键．
7．（2025•龙沙区三模）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出
发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x
的函数图象如图2，则AC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】A
【分析】先根据AB＝BC结合图2得出AB=√13，进而利用勾股定理得，AD2+BD2＝13，再由运动结
1
合△AMD的面积的变化，得出点M和点B重合时，△AMD的面积最大，其值为3，即 AD⋅BD=3，
2
进而建立方程组求解，即可得出结论．
【解答】解：由图2知，AB+BC=2√13，
∵AB＝BC，
∴AB=√13，
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝13①，
设点M到AC的距离为h，
1
∴S = AD⋅h，
△ADM 2
∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，
∴当点M运动到点B时，△AMD的面积最大，即h＝BD，
第21页（共48页）由图2知，△AMD的面积最大为3，
1
∴ AD⋅BD=3，
2
∴AD•BD＝6②，
①+2×②得，AD2+BD2+2AD•BD＝13+2×6＝25，
∴（AD+BD）2＝25，
∴AD+BD＝5（负值舍去），
∴BD＝5﹣AD③，
将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，
∴AD＝3或AD＝2，
∵AD＞BD，
∴AD＝3，
∴AC＝2AD＝6，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出AB=√13和点M和点B重合
时，△AMD的面积为3是解本题的关键．
8．（2025•徐州模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝16，BC＝8，动点P以每秒4个单位的速度从点
A沿线段AB向B点运动，同时动点Q以每秒6个单位的速度从点B出发沿B﹣C﹣D的方向运动，当
点Q到达点D时，P、Q同时停止运动，若记△PQA的面积为y，运动时间为x，则下列图象中能大致
表示y与x之间函数关系图象的是（ ）
A． B．
第22页（共48页）C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】B
【分析】根据题意，分两种情况：（1）当动点Q在BC边上运动时；（2）当动点Q在CD边上运动
时；然后根据三角形的面积的求法，分类讨论，求出y与x之间函数关系式，进而判断出y与x之间函
数关系图象的是哪个即可．
【解答】解：（1）如图1，当动点Q在BC边上运动时，
4
∵8÷6= （秒），
3
4
∴动点Q从点B运动到点C向右的时间是 秒，
3
∵AP＝4x，BQ＝6x，
4
∴y＝4x×6x÷2＝12x2（0＜x≤ ），
3
∴抛物线开口向上；
（2）如图2，当动点Q在CD边上运动时，
第23页（共48页）4 8
∵（16+8）÷6＝4（秒），4- = （秒），
3 3
8
∴动点Q从点C运动到点D需要的时间是 秒，此时△PQA的底边PA增加，高不变（即为BC的长），
3
∵AP＝4x，BC＝8，
4
∴y＝4x×8÷2＝16x（ ＜x≤4），单调递增．
3
∴能大致表示y与x之间函数关系图象的是：
．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，考查了函数解析式的求法，以及分类讨论思想的
应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握三角形的面积公式．
9．（2025•芜湖三模）在平面直角坐标系中，点A（3，n），点B（﹣3，n），点C（4，n+2）在同一个
函数图象上，则该函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
第24页（共48页）【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】C
【分析】由点A（3，n），点B（﹣3，n），点C（4，n+2）在同一个函数图象上，可得A与B关于y
轴对称；当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【解答】解：∵A（3，n），点B（﹣3，n），
∴A与B关于y轴对称，
即这个函数图象关于y轴对称，故选项A、D不符合题意；
∵A（3，n），点C（4，n+2）
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意，选项B不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
ax
10．（2025•襄城县一模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数y=
的图象，输入了一组a，b的
(x-b) 2
值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；几何直观；应用意识．
【答案】A
【分析】由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断b的正负，由x＞0时的函数图象判断a的正负．
ax
【解答】解：∵y=
，
(x-b) 2
∴x的取值范围是x≠b，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
第25页（共48页）∴b＞0，
由图可知，当x＞0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x＞0时，y＜0，
又∵当x＞0时，（x﹣b）2＞0，
∴a＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的图象与系数之间的关系，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键．
11．（2025•怀远县二模）物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将
实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．实验开始时，冰块的温度为﹣4℃
B．加热2min后，冰块开始熔化
C．冰块熔化过程持续了8min
D．冰块熔化后，继续加热，温度计读数在一定范围内每分钟增加1℃
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】C
【分析】由题意直接结合函数图象逐一进行判断即可．
【解答】解：实验开始时，冰块的温度为﹣4℃，故选项A不符合题意；
加热2min后，冰块开始熔化，故选项B不符合题意；
冰块熔化过程持续了8﹣2＝6（min），故选项C符合题意；
温度计读数每分钟增加1℃，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象的识别与分析，正确识别函数图象是解答本题的关键．
12．（2025•庐阳区一模）如图，已知菱形ABCD的边长为3，点E从点A处出发，以每秒1个单位长度
第26页（共48页）的速度，顺着菱形的边顺时针运动一周（A→B→C→D→A）后停止，设y为点E运动t秒后△AOE的
面积，当A、O、E三点共线时y＝0．那么，y关于t的函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象；一次函数的图象；一次函数的性质；菱形的性质．
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【专题】函数及其图象；几何直观；推理能力．
【答案】A
第27页（共48页）【分析】根据菱形的性质，可得 AB＝BC＝CD＝AD＝3，OA＝OC，∠BAO＝∠BCO＝∠DAO＝
∠DCO，∠AOB＝∠COD＝∠AOD＝∠COB＝90°，过点E作AC的垂线，垂足为点M，设∠BAO＝
∠BCO＝∠DAO＝∠DCO＝ ，根据三角函数可得AO＝AB•cos∠BAO＝3cos ＝OC，结合点E走的路
程为t，在分别分析0≤t＜3，α3≤t＜6，6≤t＜9，9≤t≤12四种情况时，y关于t的α函数的大致图象，即可求
解．
【解答】解：已知菱形ABCD的边长为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，OA＝OC，∠BAO＝∠BCO＝∠DAO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD＝∠AOD＝
∠COB＝90°，
∠AOB＝∠COD＝∠AOD＝∠COB＝90°，如图，过点E作AC的垂线，垂足为点M，
设∠BAO＝∠BCO＝∠DAO＝∠DCO＝ ，
∴AO＝AB•cos∠BAO＝3cos ＝OC， α
∵点E从点A处出发，以每α秒1个单位长度的速度，顺着菱形的边顺时针运动一周，
∴点E走的路程为t，
当0≤t＜3时，点E在AB上运动，AE＝t，
∴EM＝AE•sin ＝t•sin ，
OαA⋅EMα 3cosα⋅t⋅sinα 3cosα⋅sinα
∴y＝S = = = t，
△AOE 2 2 2
∵cos •sin ＞0，
∴当α0≤t＜α3时，y关于t的函数的图象大致为上升的直线；
当3≤t＜6时，点E在BC上运动，CE＝6﹣t，
∴EM＝CEsin ＝（6﹣t）sin ，
OαA⋅EM 3coαsα⋅(6-t)sinα 3cosα⋅sinα 6cosα⋅sinα
∴y＝S = = =- t+ ，
△AOE 2 2 2 2
∵cos •sin ＞0，
∴当α3≤t＜α6时，y关于t的函数的图象大致为下降的直线；
同理可得：当6≤t＜9时，y关于t的函数的图象大致为上升的直线；当9≤t≤12时，y关于t的函数的图
象大致为下降的直线；
第28页（共48页）故选：A．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，一次函数的图象与性质，菱形的性质，解答本题的关键是弄
清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二．填空题（共8小题）
x
13．（2025•城西区校级三模）函数y= +(x-3) 0 中，自变量x的取值范围是 x ＞ 2 且 x ≠ 3 ．
√x-2
【考点】函数自变量的取值范围；零指数幂．
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【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】x＞2且x≠3．
【分析】根据分有意义的条件和二次根式有意义的条件可得：x＞2，根据0指数幂有意义的条件，可
得x≠3．
【解答】解：根据题意可知，x﹣2＞0且x﹣3≠0，
解得：x＞2且x≠3．
故答案为：x＞2且x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，零指数幂，掌握相应的运算法则是关键．
1
14．（2025•祁阳市校级一模）已知函数f(x)= ，其中f（a）表示当x＝a时对应的函数值，如
x(x+1)
1 1 1 2025
f(1)= ，f(2)= ，f(a)= ，则 f（1）+（2）+f（3）+…+f（2025）＝
1×2 2×3 a(a+1) 2026
．
【考点】函数值．
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【专题】规律型；函数及其图象；运算能力．
2025
【答案】 ．
2026
【分析】根据函数的特点写出所求的式子，根据规律进行化简求解．
【解答】解：由条件可知f（1）+（2）+f（3）+…+f（2025）
1 1 1 1
= + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 2025×(2025+1)
1 1 1 1 1 1 1
=1- + - + - +⋯+ -
2 2 3 3 4 2025 2026
1
=1-
2026
2025
= ，
2026
第29页（共48页）2025
故答案为： ．
2026
【点评】此题主要考查分式中的规律类题型，解题的关键是发现规律，进行简便求解．
15．（2025•上城区校级三模）一辆无人快递车派送社区快递，中途暂停充电一次，充电后比充电前每小
时多派送10件快递．派送件数y（件）与派送时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则中途充电
时长为 1 小时．
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】1．
120
【分析】先求出充电前每小时派 = 30（件），可得充电后每小时派40件，再求出充电后派送快递
4
数量所用时间，即可求出中途充电时长．
120
【解答】解：由题意可知，充电前每小时派 = 30（件），
4
则充电后每小时派：30+10＝40（件），
320-120
=5，
40
中途充电时长为：10﹣5﹣4＝1（小时），
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的图形，利用数形结合的方法是解题的关键．
16．（2025•湖北模拟）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为3，则输出的y的值为﹣
16．若输入的x的值为1，则输出的y的值为 0 ．
【考点】函数值．
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第30页（共48页）【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】0．
【分析】根据题意得到﹣2×32+k＝﹣16，求出k＝2，继而得到y＝5﹣2×1﹣3＝6，即可得到答案．
【解答】解：根据题意可知，当输入值为3时，
∵3＞2，
∴﹣2×32+k＝﹣16，
解得：k＝2，
当x＝1时，y＝5﹣2×1﹣3＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了函数值，掌握运算法则是关键．
1
17．（2025•洪山区模拟）为了研究函数y= 的性质，小杨同学用描点法画它的图象，列出
x2-2|x|-4
了下列表格：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
1 … ﹣1 1 1 1 1 1 ﹣1 …
y= - - - - -
x2-2|x|-4 4 5 4 5 4
下列五个结论：
①该函数图象是一个轴对称图形；②该函数图象在x轴下方；③该函数没有最高点；④当x＞1时，
y 随 x 的增大而增大；⑤若将该函数图象关于 x 轴对称，则对称后的图象函数解析式是
1
y=
．
-x2+2|x|+4
其中正确的结论是 ①③⑤ （填写序号）．
【考点】函数的表示方法；轴对称图形；关于x轴、y轴对称的点的坐标；函数关系式；函数的图象．
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【专题】函数及其图象．
【答案】①③⑤．
【分析】直接根据表格数据可判定①；
举反例可以判定②；
根据表格数据可以判定③和④；
根据关于坐标轴对称的特点可判定⑤．
【解答】解：①通过表格数据可知该函数是一个对称轴为 x＝0的轴对称图形，即①正确；
第31页（共48页）1 1
②当x＝5时，y= = ＞0，故该函数图象不一定在x轴下方，即②错误；
52-2×5-4 11
1
③由结论②的分析可知，当x＝5时，y= ＞0，而表格中的y值均为负数，说明函数没有最高点，
11
即③正确；
1 1
④当x＞1时，由表格可知- ＞- ＞-1，即y随x的增大而减小，故④错误；
5 4
⑤ 若 将 该 函 数 图 象 关 于 x 轴 对 称 ， 则 纵 坐 标 变 为 原 来 的 相 反 数 ， 即
1 1
y=- =
，故⑤正确，
x2-2|x|-4 -x2+2|x|-4
综上，正确的为①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【点评】本题主要考查了函数的表示、反例法、轴对称的性质、函数的性质等知识点，灵活运用相关
知识成为解题的关键．
18．（2025•榆阳区校级三模）如图所示的大长方形是由9个相同的小长方形无重叠、无缝隙地组成，若
2
设小长方形的长为x，宽为y，则y与x的关系可表示为 y= x ．
5
【考点】函数关系式．
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【专题】函数及其图象；推理能力．
2
【答案】y= x．
5
【分析】根据图示，运用代数式计算即可．
2
【解答】解：根据图示可列函数关系式为：y= x，
5
2
故答案为：y= x．
5
【点评】本题考查了代数式的运用．熟练掌握该知识点是关键．
19．（2025•临渭区模拟）我国古代数学著作《周髀算经》中提到，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊
蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种（按顺序排列）这十二个节气中，在同一地点测量每个节
第32页（共48页）气正午时刻同一根标杆的影长，发现每个节气与它后一个节气的影长的差近似为定值，若立春当日的
影长约为10.5尺，设这个定值为x尺，惊蛰当日的影长约为y尺（这里的尺是我国古代长度单位），
则y与x的关系可以表示为 y ＝ 10.5﹣ 2 x ．
【考点】函数关系式．
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【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】y＝10.5﹣2x．
【分析】根据变量的变化规律计算即可．
【解答】解：y与x的关系可以表示为y＝10.5﹣2x．
故答案为：y＝10.5﹣2x．
【点评】本题考查函数关系式，根据变量的变化规律求出y与x的函数关系式是解题的关键．
2x2+4x+5
20．（2025•武昌区模拟）利用所学函数知识研究函数y= 的性质，下列五个结论：
x2+2x+2
11
①点(1， )在该函数图象上；
5
②该函数的自变量x的取值为任意实数；
③该函数图象有最高点；
④若（a，y ）和（a+1，y ）是该函数图象上的两点，当a＜﹣1时，y ＜y ；
1 2 1 2
1
⑤若将该函数图象向右平移1个单位，向上平移2个单位，则平移后的图象的函数解析式是y= ．
x2+1
其中正确的结论是 ①②③ （填写序号）．
【考点】函数的图象；函数关系式．
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【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】①②③．
1 1 11
【 分 析 】 把 x ＝ 1 代 入 y=2+ ， 得 y=2+ = ， 故 ① 符 合 题 意 ； 结 合
(x+1) 2+1 22+1 5
1
y=2+
，则该函数的自变量x的取值为任意实数；运用数形结合思想得当 x＝﹣1时，则 y
(x+1) 2+1
＝2+1＝3，此时y最大，即该函数图象有最高点；当﹣2＜a＜﹣1时，不能判定（a，y ）和（a+1，
1
y ）与对称轴的距离，无法判断y ，y 的大小关系；结合函数图象的平移规则即可作答．
2 1 2
2x2+4x+5 1
【解答】解：依题意，y= =2+ 函数图象如下：
x2+2x+2 (x+1) 2+1
第33页（共48页）1 1 11
把x＝1代入y=2+ ，得y=2+ = ，
(x+1) 2+1 22+1 5
11
∴点(1， )在该函数图象上；
5
故①符合题意；
1
y=2+
，
(x+1) 2+1
∴该函数的自变量x的取值为任意实数；
故②符合题意；
观察函数图象，当x＝﹣1时，则y＝2+1＝3，此时y最大，即该函数图象有最高点；
故③符合题意；
若（a，y ）和（a+1，y ）是该函数图象上的两点，当﹣2＜a＜﹣1时，不能判定（a，y ）和（a+1，
1 2 1
y ）与对称轴的距离，无法判断y ，y 的大小关系；
2 1 2
故④不符合题意，
1
若将该函数图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，则平移后的图象的函数解析式是y= ，
x2+1
故⑤不符合题意，
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了函数的图象，函数关系式，解答本题的关键是熟练掌握函数的图象定义．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•开州区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，连接BD，动点E从B到A以每秒1个
单位/秒运动，到A停止运动，运动过程中，连接 CE交DB于F，用x表示E运动时间（0＜x＜6）
△BCE面积y 线段CF与EF的比值为y ．
1 2
第34页（共48页）（1）直接写出y ，y 函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
1 2
（2）在给出的平面直角坐标系中画出y ，y 的函数图象，并写出函数y ，y 的一条性质： 当 0 ＜ x ＜
1 2 1 2
6 时， y 随 x 的增大而增大，当 0 ＜ x ＜ 6 时， y 随 x 的增大而减小 ．
1 2
（3）根据函数图象，直接写出当y ≤y ＜4时，x的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2）．
2 1
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】函数及其图象；推理能力．
3 6
【答案】（1）y = x(0＜x＜6)1，y = (0＜x＜6)；
1 2 2 x
（2）图见解析；当0＜x＜6时，y 随x的增大而增大，当0＜x＜6时，y 随x的增大而减小；
1 2
（3）2≤x＜2.7．
【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）画出函数图象，结合函数图象写出函数的一条性质即可；
（3）结合函数图象，写出x的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据题意得：BE＝x，则 AE＝6﹣x，
矩形ABCD中，∵AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝3，AB∥CD，
1 3
∴△BEF∽△DCF，y =S = BE×BC= x，
1 △BCE 2 2
CD CF 6 6
∴ = = ，即y = ，
BE EF x 2 x
3 6
∴y ，y 函数关系式分别为y = x(0＜x＜6)1，y = (0＜x＜6)；
1 2 1 2 2 x
第35页（共48页）3
（2）根据题意得：函数y = x(0＜x＜6)的图象过点（0，0），（2，3），（6，9），
1 2
6
函数y = (0＜x＜6)的图象过点（1，6），（2，3），（3，2），（6，1），
2 x
画出函数图象，如图，
函数y ，y 的一条性质：
1 2
当0＜x＜6时，y 随x的增大而增大，
1
当0＜x＜6时，y 随x的增大而减小；
2
故答案为：当0＜x＜6时，y 随x的增大而增大，当0＜x＜6时，y 随x的增大而减小；
1 2
（3）观察图象得：两函数图象交于点（2，3），
3
对于y = x(0＜x＜6)，
1 2
8
当y ＝4时，x= ≈2.7，
1 3
观察图象得：当2≤x＜2.7时，y ≤y ＜4，
2 1
即当y ≤y ＜4时，x的取值范围为2≤x＜2.7．
2 1
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析
式，画动点问题的函数图象，能运用数形结合的思想解答是解题的关键．
22．（2025•息县模拟）如图，等腰直角三角形ABC的三个顶点坐标A（1，3），B（3，1），C（3，
k
3），反比例函数y= (x＞0)的图象经过点C．
x
（1）求这个反比例函数的表达式．
第36页（共48页）（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的两个点，再画出反比例函数位于第一象限的图象．
（3）若将等腰直角三角形ABC向上平移m个单位，再向右平移n个单位后，顶点A、B的对应点恰好
都在反比例函数的图象上，请直接写出满足条件的m，n的值．
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
9
【答案】（1）反比例函数解析式为y= ；
x
（2）见解答；
（3）m=n=-2+√10．
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）根据描点法即可作图；
（3）先表示出平移后的顶点A、B的对应点，再代入反比例函数解析式即可求解．
k
【解答】解：（1）反比例函数y= (x＞0)的图象经过点C（3，3），
x
∴k＝3×3＝9，
9
∴反比例函数解析式为y= ；
x
9 9
（2）如图，描出M(2， )，N(4， )两点，
2 4
图象如图所示：
第37页（共48页）（3）∵A（1，3），B（3，1），向上平移m个单位，再向右平移n个单位后，顶点A、B的对应点分
9
别为 （1+n，3+m），（3+n，1+m），将点 （1+n，3+m），（3+n，1+m） 代入y= ，
x
{(1+n)(3+m)=9①
则： ，
(3+n)(1+m)=9②
由①﹣②得m＝n，将m＝n代入①，整理得：n2+4n﹣6＝0，解得：n=-2+√10或n=-2-√10
（舍），
∴m=n=-2+√10．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，待定系数法求函数解析式，熟练掌握各知识点并灵活运用是
解题的关键．
23．（2025•西安模拟）我国新能源汽车发展迅猛，2024年11月产销量再创历史新高，前11个月国内累
计销量超1000万辆，与此同时，公共充电桩建设也快速推进，截至2024年11月底，累计建成充电桩
1235.2万台，技术的发展越来越改善着人们的生活．图 1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横
截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平
距离x（单位：m）近似满足二次函数y＝﹣0.02x2+bx+c的图象，支柱AO＝1.6m，最外端点B的坐标
为（6，2.68）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长CD＝4m、高DE＝2.2m的矩形，判
断此纯电货车能否完全停到车棚内，并说明理由．
（3）为确保在车棚内能容纳长5m、高2.5m的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面
第38页（共48页）积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱OA的方式进行改造，则抬起的高度至少需要大于多少米？
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】函数及其图象．
【答案】（1）y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6；（2）不能，理由见解析；（3）支柱OA抬高的高度至少需要大
于0.62米．
【分析】（1）由题意可知，A（0，1.6），B（6，2.68），利用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得OC＝2m，进而求出x＝2时的函数值，与货车的高度比较即可；
（3）设支柱OA抬高的高度为m米，则改造后棚顶横截面的解析式，由题意可知当x＝1时，y ≥2.5，
1
进而求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意可知，A（0，1.6），B（6，2.68），
{ c=1.6
则 ，
-0.02×62+6b+c=2.68
{b=0.3
解得： ，
c=1.6
∴该二次函数的表达式为y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6；
（2）不能，理由如下：
由题意可知，OD＝6m，CD＝4m，DE＝CF＝2.2m，
则OC＝2m，
当x＝2时，y＝﹣0.02×22+0.3×2+1.6＝2.12，
∵2.12m＜2.2m，
∴此纯电货车不能完全停到车棚内；
（3）设支柱OA抬高的高度为m米，则改造后棚顶横截面的解析式为y =-0.02x2+0.3x+1.6+m，
1
∵要求改造后车棚内能容纳长5m、高2.5m的车辆进入充电，
第39页（共48页）∴当x＝1时，y ≥2.5，
1
∴y =-0.02×12+0.3×1+1.6+m=1.88+m≥2.5，
1
解得：m≥0.62，
即支柱OA抬高的高度至少需要大于0.62米．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，二次函数的平移，掌握二次函数的
图象和性质是解题关键．
24．（2025•番禺区校级三模）请根据以下素材，探索完成任务．
买新能源车到底划不划算
素材1 某中学数学兴趣小组对市场上配置相近的A款燃油车和
B款新能源车对比调查．其中A、B两款车的有关数据
如下：
购车费 购置 年均保 年均保 预计10
用/万元 税/万元 养费 险费 年后的
用/万元 用/万元 车价/万
元
A款燃 30 3.0 0.20 0.80 9.6
油
B取加 36 0 0.10 1.0 4.0
能
素材2 总费用（以使用10年为例）＝购车费用﹣预计10年后
的车价+购置税+保养费用+保险费用+油费或电费
素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多1.2元，当油
费和电费均为400元时，新能源车的行驶路程是燃油车
的4倍
问题解决
任务1 A款燃油车每公里油费是多少元；
任务2 设平均每年的行驶路程为x万公里，A款燃油车使用年
的总费用为y 万元，B款新能源车使用10年的总费用
A
为y 万元，分别求出y 和y 关于x的表达式；
B A B
任务3 每年行驶里程至少为多少万公里时，购买B款新能源车
更划算（以使用10年为例）．
【考点】函数关系式．
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【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】（1）A款燃油车平均每公里油费用为1.6元；
（2）y ＝16x+33.4；y ＝4x+43；
A B
（3）每年行驶里程至少为0.8万公里，购买B款新能源车更划算．
第40页（共48页）【分析】（1）由这两款车的平均每公里的行驶费用间的关系，可得出A款燃油车平均每公里的加油费
用为（x+1.2）元，利用可行驶的总路程＝加油费（充电费）÷A款燃油车平均每公里的加油费用（B款
新能源车平均每公里的充电费用），结合充电费和加油费均为400元时新能源车可行驶的总路程是燃
油车的4倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B款新能源车平均每公里的充电费用，
再将其代入（x+1.2）中，即可求出A款燃油车平均每公里的加油费用；
（2）根据使用燃油车10年的总费用＝购车费用﹣预计10年后的车价+购置税+保养费用×10+保险费用
×10+10×1.6x，使用新能源车10年的总费用＝购车费用﹣预计10年后的车价+购置税+保养费用×10+保
险费用×10+10×0.4x，化简表达式，即可求解；
（3）要使购买B款新能源车更划算，即y ＜y ，可以得到一元一次不等式，解之即可得出结论．
B A
【解答】解：（1）设B款新能源车平均每公里的充电费用为x元，根据题意可得：
400 400
=4× ，
x x+1.2
解得x＝0.4，
经检验，x＝0.4是原分式方程的解且符合题意，
∴x+1.2＝1.6（元），
答：A款燃油车平均每公里油费用为1.6元；
（2）由条件可得y ＝30﹣9.6+3+0.2×10+0.8×10+10×1.6x＝16x+33.4，
A
y ＝36﹣4+0.1×10+1×10+10×0.4x＝4x+43；
B
（3）要使购买B款新能源车更划算，即y ＜y ，
B A
即4x+43＜16x+33.4，
解得x＞0.8，
答：当每年行驶里程至少为0.8万公里，购买B款新能源车更划算．
【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正
确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
25．（2025•北碚区校级三模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点P以每秒1个单位长度从
1
点A出发，沿着A→C→D运动，当点P到达D点时停止运动，动点Q以每秒 个单位长度从点A出发，
2
沿A→D方向运动，P、Q两点同时停止运动，点E为直线AC上的动点，满足2S ＝S ，设点
△AEQ △ABC
P，Q的运动时间均为x秒，记△BCP的面积为y ，点E到直线AD的距离为y ．
1 2
第41页（共48页）（1）请直接写出y ，y 关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
1 2
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y ，y 的图象，并写出函数y 的一条性质；
1 2 1
（3）结合函数图象，请直接写出当y ＞y 时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过
1 2
0.2）
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】函数及其图象；推理能力．
{ 6
6- x(0≤x≤5) 12
【答案】（1）y = 5 ；y = (0＜x≤8)；
1 2 x
2x-10(5＜x≤8)
（2）图见解析；当0≤x≤5时，y随x的增大而增大，当5＜x≤8时，y随x的增大而减小；
（3）6＜x≤8．
6
【分析】（1）根据矩形的性质可以求出AC＝5，当0＜x≤5时，点P在AC上运动时，y =6- x，当
1 5
1 12
5＜x≤8时，y ＝2x﹣10，2S ＝S 时，可得：2× x y =6，可得：y = (0＜x≤8)；
1 △AEQ △ABC 4 2 2 x
（2）根据函数解析式画出函数图象即可；
（3）由函数图象可知，当6＜x≤8时，y ＞y ．
1 2
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝4，
∴AC=√AD2+DC2=√32+42=5，
当0＜x≤5时，作PF⊥BC于点F，如图所示，
第42页（共48页）∵AP＝x，
∴CP＝5﹣x，BC＝4，
AB PF
∵sin∠ACB= = ，
AC CP
3 PF
∴ = ，
5 5-x
3 3
∴PF= (5-x)=3- x，
5 5
1 1 3 6
∴y = BC×PF= ×4×(3- x)=6- x；
1 2 2 5 5
当5＜x≤8时，如图所示，
∴CP＝x﹣5，
1
∴y = BC×PC=2x-10；
1 2
{ 6
6- x(0≤x≤5)
综上所述，y = 5 ；
1
2x-10(5＜x≤8)
1
∵S = AB×AC=6，
△ABC 2
1 1
∴S = AQ⋅y = x y ，
△AEQ 2 2 4 2
∵2S ＝S ，
△AEQ △ABC
1
∴2× x y =6，
4 2
第43页（共48页）12
∴y = (0＜x≤8)；
2 x
（2）画函数图象，如图所示，
当0≤x≤5时，y随x的增大而增大，当5＜x≤8时，y随x的增大而减小；
（3）由图象可知，当6＜x≤8时，y ＞y ．
1 2
【点评】本题考查了分类讨论，函数的图象及性质，掌握函数的图象及性质是解题的关键．
第44页（共48页）考点卡片
1．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
2．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是
否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如 是常量．
3．函数关系式 π
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y
的函数．
4．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
5．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相
应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
第45页（共48页）6．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些
点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所
对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点 P（x，y）的x、y
的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式
这个点就不在函数的图象上．．
7．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题
还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
8．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析
式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之
亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
9．一次函数的图象
b
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（- ，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
k
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的
横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函
数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，
就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
10．一次函数的性质
第46页（共48页）一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当
b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
11．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短
的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，
容易忽略．
12．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
13．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c2-b2，b=√c2-a2及c=√a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
14．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
第47页（共48页）1
②菱形面积= ab．（a、b是两条对角线的长度）
2
15．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫
做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对
称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
16．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/11 9:20:00；用户：组卷1；邮箱：zyb001@xyh.com；学号：41418964
第48页（共48页）
