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2026年中考数学常考考点专题之概率
一．选择题（共13小题）
1．（2025•东光县二模）随机转动如图的游戏转盘，当转盘停止转动后，指针落在“B”所示区域内的概
率是（ ）
1 5 7 3
A． B． C． D．
3 6 12 4
2．（2025•哈尔滨校级四模）中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、
车、炮”各2个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个恰好是兵或帅的概率是（ ）
1 5 3 5
A． B． C． D．
16 16 8 8
3．（2025•浙江模拟）现有4张卡片，分别写着数字2，0，2，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上
的数字恰好是2的概率为（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 4
4．（2025•河南一模）在如图所示的电路中，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，能让红灯发光的概率是
1 2 3
（ ）
1 2 3 1
A． B． C． D．
3 3 4 2
5．（2025•琼中县一模）在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相
1
同，从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为 的是（ ）
3
A．摸出白球 B．摸出红球
第1页（共23页）C．摸出黑球 D．摸出白球或红球
6．（2025•阳泉模拟）五台山不仅是世界文化景观遗产，还是国家地质公园和国家森林公园．某兴趣小组
整理了三个关于五台山的研究主题：“五台山宗教历史及文化研究”“五台山传统文化和古建筑研
究”“五台山地质结构和生态环境研究”．小新和小明分别从三个主题中随机选择一个，则在他们两
个选中的主题中，至少有一个是“五台山传统文化和古建筑研究”的概率是（ ）
1 2 4 5
A． B． C． D．
3 3 9 9
7．（2025•沈阳模拟）如图，正方形的边长为2，在0～2范围随机生成两个数作为一个点的坐标，该点
落入圆内的概率约是（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 5
8．（2025•大渡口区模拟）在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中
只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出 1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，
发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
1
9．（2025•海陵区校级三模）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出 2，3，4，5的概率仍然是 ，
6
但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（ ）
1 1 7 2
A． B． C． D．
4 6 36 9
10．（2025•沈河区校级模拟）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中
国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊
蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 24 2 12
11．（2025•博罗县一模）为激发学生对化学学科的研究兴趣，王老师计划在“空气中氧气含量的测定”
第2页（共23页）“高锰酸钾制氧气”“电解水”“木炭还原氧化铜”四个实验中随机选一个在课堂上给学生演示，则
“电解水”实验被选中的概率为（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
12．（2025•宁波模拟）甲盒子里有2个白球，乙盒子中有3个白球，丙盒子中有3个白球和1个黑球，
问随机选一个盒子，随机摸一个球，摸出黑色小球的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
7 8 9 12
13．（2025•金沙县校级一模）2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，
截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种 152个．某科学研究院为研
究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000
数n
成活总 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782
数m
成活率 94.0% 87.0% 92.3% 90.9% 90.6% 91.5% 91.4% 91.0%
m 91.3%
n
估计这一类新品种苹果树成活的概率为（ ）
A．89% B．90% C．91% D．92%
二．填空题（共7小题）
14．（2025•湖北三模）在一个不透明的盒子里装有三张无差别的卡片，分别标有数字1，2，5，现随机
抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概
率为 ．
15．（2025•莱西市校级模拟）某大型商场组织抽奖活动，抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、
蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有1个，黄球有2个，蓝球有m个，每次摇匀后
从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖．活动后的统计数据
显示共抽奖人数10万人，其中抽中一等奖的有5000人，则篮球的数量m为 ．
16．（2025•章丘区一模）如图，小南向图中4×4的正方形网格内随意放一枚棋子，使之落在阴影部分的
概率为 ．
第3页（共23页）17．（2025•宝丰县一模）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、
《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这 4部数学名著中选择2部作为校本课程“数
学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为 ．
18．（2025•祁阳市校级一模）在一个暗箱里有m个除颜色外其他完全相同的球，其中红球只有4个，每
次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的
频率为0.2．由此可以推算出m为 ．
19．（2025•中卫校级二模）一只不透明的袋子中装有若干个红球和8个白球，这些球除颜色外都相同，
将球摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大盘重复摸球试验后发现，摸到
白球的频率稳定在0.4，则袋子中有红球 个．
20．（2025•永城市模拟）河南是中原文化的发源地之一，拥有丰富的自然和人文旅游资源，现有三张正
面分别印有龙门石窟、殷墟遗址、登封“天地之中”历史建筑群的卡片，它们除正面内容不同外完全
相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，抽取的卡片是“龙门石窟”和“殷墟遗址”
的概率为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•浙江模拟）某商场为吸引顾客，举办有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸球兑
奖的机会．在两个不透明的箱子中均装有 1个红球，2个白球，它们除颜色外其余均相同．兑奖者同
时从两个箱子里各摸出1个球，根据摸出两球的颜色完成一次兑奖，兑奖规则如下表所示．
项目 两个红球 一红一白 两个白球
兑奖规则 礼金券20元 礼金券10元 谢谢惠顾
若顾客只有一次摸球兑奖的机会，请分别求出“获得礼金券20元”“获得礼金券10元”的概率．
22．（2025•扬州）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生
选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
第4页（共23页）23．（2025•腾冲市校级模拟）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒 2》，《唐探1900》，《熊出没•
重启未来》．小西和小名同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为A，《唐探
1900》表示为B．《熊出没•重启未来》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影
响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小西同学的选择为x，小安同学的选择为y．
（1）请用列表或画树状图法求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
24．（2025•莱西市校级模拟）如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，某旅游团计划将这4座凉亭全
部参观一遍，全体成员从入口处进入，先在凉亭 A集合，接下来根据地图路线自由参观，请用列表或
画树状图的方法，求成员小亮最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率．
25．（2025•滨湖区二模）明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有 A，B，C，D四个入口，
他们可随机选择一个入口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同．
（1）他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为 ．
（2）用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率．
第5页（共23页）2026年中考数学常考考点专题之概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C C A B D C B D C C
题号 12 13
答案 D C
一．选择题（共13小题）
1．（2025•东光县二模）随机转动如图的游戏转盘，当转盘停止转动后，指针落在“B”所示区域内的概
率是（ ）
1 5 7 3
A． B． C． D．
3 6 12 4
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】先求出B区域所对应的圆心角度数，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：由扇形统计图可知，A区域所对应的圆心角度数为60°，C区域所对应的圆心角度数为
30°，D区域所对应的圆心角度数为150°，
∴B区域所对应的圆心角度数为360°﹣60°﹣30°﹣150°＝120°，
120° 1
∴当转盘停止转动后，指针落在“B”所示区域内的概率是 = ．
360° 3
故选：A．
【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
2．（2025•哈尔滨校级四模）中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、
车、炮”各2个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个恰好是兵或帅的概率是（ ）
第6页（共23页）1 5 3 5
A． B． C． D．
16 16 8 8
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各
2个，
∴共有16种等可能的结果，其中恰好是兵或帅的结果有6种，
6 3
∴任取一个恰好是兵或帅的概率是 = ，
16 8
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．掌握概率公式是解题的关键．
3．（2025•浙江模拟）现有4张卡片，分别写着数字2，0，2，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上
的数字恰好是2的概率为（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 4
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵4张卡片，分别写着数字2，0，2，5，其中数字2有两张，
2 1
∴该卡片上的数字恰好是2的概率为 = ，
4 2
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．掌握概率公式是解题的关键．
4．（2025•河南一模）在如图所示的电路中，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，能让红灯发光的概率是
1 2 3
（ ）
第7页（共23页）1 2 3 1
A． B． C． D．
3 3 4 2
【考点】列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事
件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．首先根据题
意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让红灯发光的情况，再利用概率公式求解即
可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况，
2 1
∴能让红灯发光的概率为 = ．
6 3
故选：A．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握概率公式．
5．（2025•琼中县一模）在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相
1
同，从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为 的是（ ）
3
A．摸出白球 B．摸出红球
C．摸出黑球 D．摸出白球或红球
【考点】概率的意义；概率公式；随机事件．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用概率的计算公式解答即可．
【解答】解：∵袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，
∴袋中共有12个球，
第8页（共23页）3 1
∴摸出白球的概率为 = ；
12 4
4 1
摸出红球的概率为 = ；
12 3
5
摸出黑球的概率为 ；
12
7
摸出白球或红球的概率为 ．
12
故选：B．
【点评】本题主要考查了概率的意义，随机事件，概率的公式，熟练掌握概率的意义和概率的公式是
解题的关键．
6．（2025•阳泉模拟）五台山不仅是世界文化景观遗产，还是国家地质公园和国家森林公园．某兴趣小组
整理了三个关于五台山的研究主题：“五台山宗教历史及文化研究”“五台山传统文化和古建筑研
究”“五台山地质结构和生态环境研究”．小新和小明分别从三个主题中随机选择一个，则在他们两
个选中的主题中，至少有一个是“五台山传统文化和古建筑研究”的概率是（ ）
1 2 4 5
A． B． C． D．
3 3 9 9
【考点】列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及至少有一个是“五台山传统文化和古建筑研究”的结果
数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将三个主题分别记为A，B，C，
列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能的结果，其中至少有一个是“五台山传统文化和古建筑研究”的结果有：（A，B），
（B，A），（B，B），（B，C），（C，B），共5种，
5
∴至少有一个是“五台山传统文化和古建筑研究”的概率为 ．
9
故选：D．
第9页（共23页）【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
7．（2025•沈阳模拟）如图，正方形的边长为2，在0～2范围随机生成两个数作为一个点的坐标，该点
落入圆内的概率约是（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 5
【考点】几何概率．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】利用图形得到圆为正方形的内切圆，且正方形的边长为 2，圆的半径为1，然后用圆的面积与
正方形的面积比表示该点落入圆内的概率．
π×12 π
【解答】解：根据题意，该点落入圆内的概率= = ．
22 4
故选：C．
【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率＝这个事件所占有的面积与总面积之比．
8．（2025•大渡口区模拟）在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中
只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出 1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，
发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
【考点】利用频率估计概率．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关
系入手，列出方程求解．
【解答】解：根据题意得：
3
=0.2，
a
第10页（共23页）解得：a＝15，
经检验：a＝15是原分式方程的解，
答：a的值约为15；
故选：B．
【点评】本题考查利用频率估计概率，正确列出方程是本题关键．
1
9．（2025•海陵区校级三模）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出 2，3，4，5的概率仍然是 ，
6
但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（ ）
1 1 7 2
A． B． C． D．
4 6 36 9
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
1
【分析】根据这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是 ，可得掷出1和6的概率之和，即可求解．
6
1
【解答】解：∵这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是 ，
6
1 2 1
∴这个骰子掷出1和6的概率之和为1- ×4＝1- = ，
6 3 3
∵掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，
1 2 1 2 2
∴他掷出6的概率是 × = × = ．
3 1+2 3 3 9
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式以及无理数，概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（2025•沈河区校级模拟）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中
国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊
蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 24 2 12
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况，
第11页（共23页）∵“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，
∴抽到“夏至”有两种等可能的情况，
2 1
∴从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是 = ．
4 2
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
11．（2025•博罗县一模）为激发学生对化学学科的研究兴趣，王老师计划在“空气中氧气含量的测定”
“高锰酸钾制氧气”“电解水”“木炭还原氧化铜”四个实验中随机选一个在课堂上给学生演示，则
“电解水”实验被选中的概率为（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据概率的计算方法：一般的，如果在一次试验中，有n种等可能的结果，事件A包含其中
m
的有m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= ，即可得到答案．
n
【解答】解：∵共有四种实验，“电解水”实验只有1种，
1
∴“电解水”实验被选中的概率是： ．
4
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键．
12．（2025•宁波模拟）甲盒子里有2个白球，乙盒子中有3个白球，丙盒子中有3个白球和1个黑球，
问随机选一个盒子，随机摸一个球，摸出黑色小球的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
7 8 9 12
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】计算出选中丙盒子的概率和从丙盒子中摸出黑色小球的概率，再求乘积即可．
【解答】解：∵有甲、乙、丙三个盒子，且丙盒子中有3个白球和1个黑球，
1 1
∴选中丙盒子的概率为 ，从丙盒子中摸出黑色小球的概率为 ，
3 4
第12页（共23页）1 1 1
∴随机选一个盒子，随机摸一个球，摸出黑色小球的概率为 × = ．
3 4 12
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
题．
13．（2025•金沙县校级一模）2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，
截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种 152个．某科学研究院为研
究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000
数n
成活总 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782
数m
成活率 94.0% 87.0% 92.3% 90.9% 90.6% 91.5% 91.4% 91.0%
m 91.3%
n
估计这一类新品种苹果树成活的概率为（ ）
A．89% B．90% C．91% D．92%
【考点】利用频率估计概率．
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【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据表格频率接近91.0%，即可求解．
【解答】解：由表格可知，这一类新品种苹果树成活的概率为91%，
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，熟知概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为
概率的估计值是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
14．（2025•湖北三模）在一个不透明的盒子里装有三张无差别的卡片，分别标有数字1，2，5，现随机
抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概
5
率为 ．
9
【考点】列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
5
【答案】 ．
9
第13页（共23页）【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数，再利用概
率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
1 2 5
1 （1，1） （1，2） （1，5）
2 （2，1） （2，2） （2，5）
5 （5，1） （5，2） （5，5）
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果有：（1，1），（1，5），
（2，2），（5，1），（5，5），共5种，
5
∴两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率为 ．
9
5
故答案为： ．
9
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
15．（2025•莱西市校级模拟）某大型商场组织抽奖活动，抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、
蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有1个，黄球有2个，蓝球有m个，每次摇匀后
从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖．活动后的统计数据
显示共抽奖人数10万人，其中抽中一等奖的有5000人，则篮球的数量m为 1 7 ．
【考点】利用频率估计概率．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】17．
【分析】根据概率公式即可得到结论．
1
【解答】解：根据题意得，100000× =5000，
1+2+m
解得m＝17，
故答案为：17．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
16．（2025•章丘区一模）如图，小南向图中4×4的正方形网格内随意放一枚棋子，使之落在阴影部分的
1
概率为 ．
2
第14页（共23页）【考点】几何概率．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用面积公式分别表示出阴影部分和大正方形的面积，再利用面积比求概率即可．
【解答】解：阴影部分的面积为22+22＝8，
正方形面积为4×4＝16，
8 1
故该棋子落在阴影部分的概率是 = ．
16 2
1
故答案为： ．
2
【点评】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
17．（2025•宝丰县一模）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、
《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这 4部数学名著中选择2部作为校本课程“数
1
学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为 ．
2
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用画树状图法解答即可．
【解答】解：《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》分别用A、B、C、D表示，
画树状图如下：
第15页（共23页）由图可知，共有12种等可能的结果，恰好选中《周髀算经》的有6种，
6 1
∴恰好选中《周髀算经》的概率 = ．
12 2
1
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．
18．（2025•祁阳市校级一模）在一个暗箱里有m个除颜色外其他完全相同的球，其中红球只有4个，每
次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的
频率为0.2．由此可以推算出m为 2 0 ．
【考点】利用频率估计概率．
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【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】20．
【分析】由题意得出摸到红球的概率为0.2，从而得到m＝4÷0.2，计算即可得解．
【解答】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.2，
∴摸到红球的概率为0.2，
∵暗箱里有m个除颜色外其他完全相同的球，其中红球只有4个，
∴m＝4÷0.2＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握利用大量试验得到的频率可以估计事件的
概率．
19．（2025•中卫校级二模）一只不透明的袋子中装有若干个红球和8个白球，这些球除颜色外都相同，
将球摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大盘重复摸球试验后发现，摸到
白球的频率稳定在0.4，则袋子中有红球 1 2 个．
【考点】利用频率估计概率．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】先用白球的个数除以摸到白球的频率稳定值求出球的总个数，继而可得答案．
【解答】解：由题意知，袋中球的总个数约为8÷0.4＝20（个），
所以袋子中有红球20﹣8＝12（个），
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固
定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估
第16页（共23页）计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
20．（2025•永城市模拟）河南是中原文化的发源地之一，拥有丰富的自然和人文旅游资源，现有三张正
面分别印有龙门石窟、殷墟遗址、登封“天地之中”历史建筑群的卡片，它们除正面内容不同外完全
相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，抽取的卡片是“龙门石窟”和“殷墟遗址”
1
的概率为 ．
3
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1
【答案】
3
【分析】根据题意列出所有的可能情况，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：设龙门石窟、殷墟遗址、登封“天地之中”历史建筑群三张卡片分别为A、B、C，
列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能的结果，其中抽到AB的情况有1种，
1
所以概率为 ，
3
1
故答案为： ．
3
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•浙江模拟）某商场为吸引顾客，举办有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸球兑
奖的机会．在两个不透明的箱子中均装有 1个红球，2个白球，它们除颜色外其余均相同．兑奖者同
时从两个箱子里各摸出1个球，根据摸出两球的颜色完成一次兑奖，兑奖规则如下表所示．
项目 两个红球 一红一白 两个白球
兑奖规则 礼金券20元 礼金券10元 谢谢惠顾
若顾客只有一次摸球兑奖的机会，请分别求出“获得礼金券20元”“获得礼金券10元”的概率．
【考点】列表法与树状图法．
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第17页（共23页）【专题】概率及其应用；应用意识．
1 4
【答案】“获得礼金券20元”的概率为 ，“获得礼金券10元”的概率为 ．
9 9
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及摸出两个红球的结果数、摸出一红一白的结果数，再利
用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
红 白 白
红 （红， （红， （红，
红） 白） 白）
白 （白， （白， （白，
红） 白） 白）
白 （白， （白， （白，
红） 白） 白）
共有9种等可能的结果，其中摸出两个红球的结果有1种，摸出一红一白的结果有4种，
1 4
∴“获得礼金券20元”的概率为 ，“获得礼金券10元”的概率为 ．
9 9
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
22．（2025•扬州）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生
选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．
1
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是 ；
4
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1 1
【答案】（1） ；（2） ．
4 4
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以得到小明在这 4种体育活动中随机选择，选中“乒乓
球”的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
1
小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是 ，
4
1
故答案为： ；
4
（2）树状图如下所示：
第18页（共23页）由上可得，一共有16种等可能性，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的可能性有4种，
4 1
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为 = ．
16 4
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
23．（2025•腾冲市校级模拟）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒 2》，《唐探1900》，《熊出没•
重启未来》．小西和小名同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为A，《唐探
1900》表示为B．《熊出没•重启未来》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影
响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小西同学的选择为x，小安同学的选择为y．
（1）请用列表或画树状图法求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】统计与概率；数据分析观念．
【答案】（1）9种；
1
（2） ．
3
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）根据表格列出恰好选择观看同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）列表如下，
（x，y） A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
∴由表可知，（x，y）可能出现的结果为：（A，A）、（B，A）、（C，A）、（A，B）、（B，
B）、（C，B）、（A，C）、（B，C）、（C，C），它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种；
（2）由表可以看出，小西和小安两名同学选择观看同一电影的情况有3种，
即（A，A）、（B，B）、（C，C）．
第19页（共23页）3 1
∴概率P= = ．
9 3
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
24．（2025•莱西市校级模拟）如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，某旅游团计划将这4座凉亭全
部参观一遍，全体成员从入口处进入，先在凉亭 A集合，接下来根据地图路线自由参观，请用列表或
画树状图的方法，求成员小亮最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
1
【答案】 ．
2
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及成员小亮最后一次参观的凉亭为凉亭D的结果数，再利
用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中成员小亮最后一次参观的凉亭为凉亭D的结果有2种，
2 1
∴成员小亮最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为 = ．
4 2
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
第20页（共23页）题的关键．
25．（2025•滨湖区二模）明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有 A，B，C，D四个入口，
他们可随机选择一个入口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同．
1
（1）他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为 ．
4
（2）用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率．
【考点】列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中明明和文文两人选择相同入口进入植物园的结果有 4
种，再由概率公式求解即可．
1
【解答】解：（1）从B入口处进入的概率为 ，
4
1
故答案为： ；
4
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中明明和文文两人选择相同入口进入植物园的结果有4种，
4 1
∴她们两人选择相同入口进入植物园的概率为 = ．
16 4
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合
两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
第21页（共23页）考点卡片
1．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必
然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
2．概率的意义
m
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p
n
就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理
解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结
合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
3．概率公式
事件A可能出现的结果数
（1）随机事件A的概率P（A）= ．
所有可能出现的结果数
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
4．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域 G，又
区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一
点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、
第22页（共23页）体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于
几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g
的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
5．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结
果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目
m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及
三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的
枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
6．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个
频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般
通过统计频率来估计概率．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/11 10:05:44；用户：组卷1；邮箱：zyb001@xyh.com；学号：41418964
第23页（共23页）
