文档内容
六安一中 2024 届高三年级第二次月考
数学试卷
时间：120分钟
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. “ 是第一象限角”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案.
【详解】若 是第一象限角，则 ，无法得到 一定属于 ，充分性不成
立，
若 ，则 一定是第一象限角，必要性成立，
所以“ 是第一象限角”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
2. 已知 中， ， ， ，则 的面积是（ ）
A. B. C. 6 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦定理求出 ，再求出 ，然后用面积公式即可.【详解】 ，
.
故选：A.
3. 函数 的图象最有可能是以下的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数奇偶性排除CD，代入特殊点，排除A，选出正确答案.
【详解】 定义域为 ，关于原点对称，又
，所以 是奇函数，故排除CD，又，故排除A选项，B正确.
故选：B
4. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为
了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰
姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物 ，高约为 ，在它们之间的地面上的点Q（B，
Q，D三点共线）处测得 处、泰姬陵顶端 处的仰角分别是 和 ，在 处测得泰姬陵顶端 处的
仰角为 ，则估算泰姬陵的高度 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设可得 ，应用正弦定理求得 ，进而求
.
【详解】由题设 且 ，在 测得泰姬陵顶端 处仰角为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，故 .
故选：A5. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型
是函数 ，则 在区间 上零点的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦的二倍角公式变形解方程可得.
【详解】 ，
或 ，又 ，∴ ， 或 ，
故选：C．
6. 若 是函数 的一个极值点，则 的极大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对函数 求导，由已知 ，先求出 ，再令 ，并判断函数 在其左
右两边的单调性，从而确定极大值点，然后带入原函数即可完成求解.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
令 ，解得 或 ，
所以当 ， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
当 ， ， 单调递增，所以 的极大值为 ．
故选：D．
7. 已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.
【详解】由题意， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因 为在 上单调递增，所以 ，
所以在 时， ，
所以 .
故选：B
8. 设 是函数 的导函数，当 时， ，则（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】利用三角函数公式化简已知，再构造函数 ，利用函数单调性依次判断选项.
【详解】 ，
设 在 单调递增，
，所以A错误；
，
所以 ，所以B正确；
，所以C错误；
，
，所以D错误.
故选：B
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知函数 的最小正周期为 ，则（ ）
A.B. 直线 是 图象的一条对称轴
C. 在 上单调递增
D. 将 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，可得到 的图象
【答案】AB
【解析】
【分析】根据辅助角公式和函数的最小正周期可得 ，然后利用
的性质可得.
【详解】 ，
因 最小正周期为 ， ，故 ，得 ，
故 ，
选项A：
，故A正确；
选项B：
的对称轴为 ， ，
即 ， ，
当 时， ，故B正确；
选项C：令 ， ，
得 ， ，
故 的单调递减区间为 ， ，
当 时， 的单调递减区间为 ，故C错误；
选项D：
将 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，可得到 ，
故D错误
故选：AB
10. 已知 ， ， ，下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得 ，进而可判断A，根据和差角公司以及二倍角
公式即可代入求解BCD.
【详解】由于 且 ，所以 ，
又 ， ，故 或 ，当 时， 显然不满足，故 ，所以
，故A错误，
对于B， ，故B正确，
对于C, ，故C错误，
对于D，由B可知 ，所以
，故D正确，
故选：BD
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 对称
C. 有3个零点
D. 是奇函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据 与 的关系, 再由奇偶性的定义判来判断D，根据图象平移的关系即可判断
BA，对于C，可以直接求出 的零点，从而判断其正确与否.
【详解】 的定义域为 ， 的定义域为 ，
且 ，记 ，则有 ，
故 为奇函数，选项D正确；
由于 为奇函数，图象关于原点对称，故 的图象关于点 对称，B正确，A错误
令 ，则有 ，即 或 ，
解得 或 ，即 ， 或 ，
故 有3个零点，选项C正确．
故选：BCD
12. 在 ABC中，已知a＝2b，且 ，则（ ）
△
A. a，c，b成等比数列
B.
C. 若a＝4，则
D. A，B，C成等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得 ，再结合条件 ，再依次判断选项即可
得到答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，即 .
对选项A，因为 ，所以 、 、 成等比数列，故A正确；
对选项B，因为 ， ，即 ，所以 ，即 ，故B正确；
对选项C，若 ，则 ， ，
则 ，
因为 ，所以 .
故 ，故C正确.
对选项D，若 、 、 成等差数列，则 .
又因为 ，则 .
因为 ，设 ， ， ， ，
则 ，故D错误.
故选：ABC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. “圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面
如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为 ，墙壁截面 为矩形，且 ，则扇
形 的面积是__________.【答案】 ##
【解析】
【分析】计算 ，再利用扇形的面积公式求解.
【详解】由题意可知，圆 的半径为 ，即 ，
又 ，所以 为正三角形，∴ ，
所以扇形 的面积是 .
故答案为：
14. 已知 是第三象限角， 是 终边上的一点，若 ，则 ______.
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】利用三角函数的定义求出 的值，再利用二倍角公式求解即可.
【详解】因为 是 终边上的一点，所以 ,
则 解得 ，
又因为 是第三象限角，所以 即 ，从而 .
所以 .
从而 .故答案为：
15. 已知函数 在区间 内恰有4个零点，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出 的范围，结合 的图像即可
【详解】因为 ，所以 ，
若 在 内恰有4个零点，则 ，解得 .
故答案为：
16. 已知 是定义在R上的偶函数，当 时， ，则不等式 的解集
是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数判断当 时， 的单调性，结合偶函数解不等式.
【详解】当 时， ， ，
则 在 上单调递增，
因为 是定义在R上的偶函数，则 在 上单调递减，
若 ，即 ，
可得 ，解得 ，所以不等式 的解集是 .
故答案为： .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. （1）已知 ，且 ，求 的值；
（2）化简 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）确定 得到 ，再根据三角恒等变换计算得到答案.
（2）根据二倍角公式和同角三角函数关系结合正弦的和差公式化简即可.
【详解】（1） 平方得 ，故 ，
，则 ， ，
.
（2）原式18. 已知函数 的图像相邻对称轴之间的距离是 ，若将 的图
像向右平移 个单位，所得函数 为奇函数.
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）设函数 的零点为 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）易得 ，由平移变换得到 ，根据 为奇函数，
求得 ，从而 ，再由 ，令 ，利用二次函数的性质
求解；
（2）由函数 的零点为 ，得到 ，再由，利用二倍角公式求解.
【小问1详解】
解：因为函数 的图像相邻对称轴之间的距离是 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
当将 的图像向右平移 个单位，得到函数 ，
因为 为奇函数，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
则 ；
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 .
【小问2详解】
因为函数 的零点为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
.
19. 已知在 中，角 所对的边分别是 ，且
（1）求 的大小；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简，再由正余弦定理即可得解；
（2）由正弦定理，可将 化为三角函数，再由三角函数的值域求范围即可.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，
整理得 ，由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
【小问2详解】
因 ，
为所以 ，又 ，所以 ；
所以
又因为 ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立），
可得 ，即 的取值范围是 .
20. 已知函数
（1）求函数 在区间 上的单调递减区间；
（2）将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原
来的 倍（纵坐标不变），再向上平移 个单位，得到函数 的图象.当 时，方程
恰有三个不相等的实数根 、 、 ，求实数 的取值范围和
的值.
【答案】（1）
（2） ，【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 的解析式为 ，由 求出
的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求出函数 在区间 上的单调递减区间；
（2）利用三角函数图象变换可得出 ，令 ， ，
则函数 与函数 在 时的图象有三个交点，数形结合可得出实数 的取值范围，再利
用正弦型函数的对称性可求得 的值.
【小问1详解】
解：
，
因 ，则 ，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 可得 ，
即函数 在区间 上的单调递减区间为 .
【小问2详解】
解：将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，可得到函数 的图象，
再把所得图象上每一个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），可得到函数 的图象，
再将所得图象向上平移 个单位，可得到函数 的图象，
当 时， ，令 ，
则 ，令 ，
令 ，可得 ，其中 ，
作出函数 与函数 在 时的图象如下图所示：
由图可知，当 时，函数 与函数 在 时的图象有三个交点，
设 ，其中 ，则点 与点 关于直线 对称，点 与点 关于直线 对称，
所以， ， ，则 ，
.
所以， ，解得
21. 记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若点 在 边上，且 ， ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理化简可得出 ，可求出 的值，再结合角 的取值范围可求
得角 的值；
（2）求出 、 的值，设 ，则 ，分别在 和 中，利用正
弦定理结合等式的性质可得出 、 的等式，即可求得 的值，即为所求.
【小问1详解】
解：因为 ，
由余弦定理可得 ，
化简可得 ，由余弦定理可得 ，
因为 ，所以， .
【小问2详解】解：因 ，则 为锐角，所以， ，
为
因为 ，所以， ，
所以， ，
设 ，则 ，
在 和 中，由正弦定理得 ， ，
因为 ，上面两个等式相除可得 ，
得 ，即 ，
所以， .
22. 已知函数 ，
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 ， ， 是方程 的两个实数根，证明： ．【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数的单调性与导数正负的关系即可求解；
（2）根据已知条件构造 ，利用导数法研究函数的单调性和最值，进而得出 ，
的范围，再构造函数 ，利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即
可求解.
【小问1详解】
由题可知 的定义域为 ，
.
令 ，则 的两根分别为 ， ．
当 或 时， ；
当 时， ；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ．
【小问2详解】
原方程可化为 ，
设 ，则 ， ．
令 ，得 ．∵ 在上， ，在 上， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，且当 ， 趋向于0时， 趋向于 ，当 趋向于 时， 趋向于 ．
则 在 和 上分别有一个零点 ， ，
不妨设 ，∵ ，∴ ，
设 ，则
，
．
当 时， ，
∴ 在 上单调递增，而 ，
∴当 时， ， ，即 ．
∵ ，
∴ ．
∵ 在 上单调递减，
∴ ，即 ．
