4.5.1 函数的零点与方程的解
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
求函数的零点及零点区间 1,2,3,4,6
判断函数零点个数 5,7,10
函数零点的应用 8,9,11,12,13
基础巩固
1.函数y=4x-2的零点是( )
(A)2 (B)(-2,0) (C)（ ,0） (D)
【答案】D
【解析】令y=4x-2=0,得x= .所以函数y=4x-2的零点为 .故选D.
2.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
【答案】A
【解析】因为B,C,D项函数的图象均与x轴有交点,所以函数均有零点,A项的图象与x轴没有交点,
故函数没有零点,故选A.
3.函数f(x)=ln x+x2+a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数a的取值范围是( )
(A)(-e2,0) (B)(-e2,1) (C)(1,e) (D)(1,e2)
【答案】A
【解析】因为f(x)在其定义域内是增函数,且f(x)有唯一的零点在(1,e)内,
所以{ f (1)=a<0, 解得-e2<a<0.故选A.
f (e)=e2+a>0,
4.函数f(x)=πx+logx的零点所在区间为( )
21 1 1 1 1 1
(A)[ , ] (B)[ , ] (C)[0, ] (D)[ ,1]
4 2 8 4 8 2
【答案】A
1 π 1 1 π 1
【解析】因为f( )= +log <0,f( )= +log >0,
2 2
4 4 4 2 2 2
1 1 1 1
所以f( )·f( )<0,故函数f(x)=πx+logx的零点所在区间为[ , ].故选A.
2
4 2 4 2
5.函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内零点的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【答案】C
【解析】由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞).
由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x-2|-ln x=0的根.
令y=|x-2|,y=ln x(x>0),在一个坐标系中画出两个函数的图象.
1 2
由图得,两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点.
6.函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是( )
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
【答案】B
2a
【解析】由根与系数的关系得方程f(x)=0的两根x,x 满足x+x=- =-2,所以方程的另一个根为
1 2 1 2
a
1.故选B.
7.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 .
【答案】2
【解析】因为a>0,所以a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图所示,
所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.
即方程|x2-2x|=a2+1(a>0)有两个解.
8.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.19
【答案】m的取值范围是(- ,0).
13
【解析】令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.
{ m>0, { m<0,
依题意得 或
f (4)<0 f (4)>0,
{ m>0, { m<0, 19
即 或 解得- <m<0.
26m+38<0 26m+38>0, 13
19
即m的取值范围是(- ,0).
13
能力提升
9.如果关于x的方程2x+1-a=0有实数根,则a的取值范围是( )
(A)[2,+∞) (B)(-1,2]
(C)(-2,1] (D)(0,+∞)
【答案】D
【解析】由方程2x+1-a=0变形为a=2x+1,因为2x+1>0,所以a>0.
1
10.已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0<x≤1时,f(x)=√x- ,则函数f(x)在
2
(-2,2]上零点的个数是( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
【答案】B
1 1 1
【解析】法一 由√x- =0,解得x= ,所以f( )=0.
2 4 4
1 1 7
因为f(2-x)=f(x),所以f( )=f(2- )=f( )=0.
4 4 4
1 1
因为f(x)是奇函数,f(- )=-f（ ）=0,f(0)=0,f(2)=f(0)=0,
4 4
7 1 1 7
所以f(x)在(-2,2]上零点为- ,- ,0, , ,2,共6个.
4 4 4 4
法二 依题意,作出函数f(x)的图象,如图所示.
由图象可知,f(x)的图象在(-2,2]内与x轴的交点有6个.
所以f(x)在(-2,2]上的零点有6个.11.已知函数f(x)={|x|,x≤m, 其中m>0.
x2-2mx+4m,x>m,
若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .
【答案】(3,+∞)
【解析】作出f(x)的大致图象(图略).
当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,
所以要使方程f(x)=b有三个不同的根,则4m-m2<m,即m2-3m>0.
又m>0,解得m>3.
12.已知函数f(x)={(x-2a)(a-x),x≤1,
√x+a-1,x>1.
(1)若a=0,x∈[0,4],求f(x)的值域;
(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a的取值范围.
【答案】(1) [-1,1] (2)a的取值范围是(-∞,0).
【解析】(1)若a=0,则f(x)={-x2,x≤1,
√x-1,x>1,
当x∈[0,1]时,f(x)=-x2是减函数.所以-1≤f(x)≤0;
当x∈(1,4]时,f(x)=√x-1是增函数.所以0<f(x)≤1.
于是当x∈[0,4]时,f(x)的值域为[-1,1].
(2)由(x-2a)(a-x)=0解得x=a或x=2a.
由√x+a-1=0解得x=(1-a)2.
{ a≤1,
因为f(x)恰有三个零点,所以 解得a<0.
2a≤1,
(1-a)2>0,
所以实数a的取值范围是(-∞,0).
素养达成
13.已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b有四个零点,求实数b的取值范围是.
【答案】(-4,-3).
【解析】令f(x)-x+b=0,
所以b=x-|x(x+3)|,
作出y=x-|x(x+3)|的图象,
要使函数y=f(x)-x+b有四个零点,则y=x-|x(x+3)|与y=b的图象有四个不同的交点,所以-4<b<-3.
