文档内容
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2) -B提高练
一、选择题
1．如图所示,连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有( )个.
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】A
【详解】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32（个）；
第二类，有两条公共边的三角形共有8（个）．由分类加法计数原理知，共有32+8＝40（个）．
2．（2021·山东菏泽高二期末）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工
厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ）
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
【答案】C
【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有 种情况，
其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有
种方案；则符合条件的有 种．
3．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是 ，为遵守当地某月 日至
日，共 天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通
行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不
同的用车方案种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 日至 日，分别为 ，有 天奇数日， 天偶数日，
第一步安排奇数日出行，每天都有 种选择，共有 种，
第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选 天安排甲的车，另外一天安排其它车，有种，
第二类，不安排甲的车，每天都有 种选择，共有 种，共计 ，
根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有 .故选D.
4．（2021·张家口市宣化第一中学高三月考）用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的
四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为 ，有公共边的三角形为同色，
先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为 ，
所以所求概率为 ．
5．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、
龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一
个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三位同
学对选取的礼物都满意，则选法有( )
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
【答案】A
【详解】①若甲同学选择牛，则乙同学有 种选择，丙同学有 种选择，选法种数为 ，
②若甲同学选择马，则乙同学有 种选择，丙同学有 种选择，选法种数为 ，综上，共有选法为 种．
6.（2021·山东菏泽高二期末）已知 三边 ， ， 的长都是整数， ，如果 ，
则符合条件的三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意， 可取的值为1、2、3、…25，
根据三角形的三边关系，有 ，
当 时，有25≤ ＜26，则 ＝25，有1种情况，
当 时，有25≤ ＜27，则 ＝25、26，有2种情况，
当 时，有25≤ ＜28，则 ＝25、26、27，有3种情况，
当 时，有25≤ ＜29，则 ＝25、26、27、28，有4种情况，
…
当 时，有有25≤ ＜50，则 ＝25、26、27、28…49，有25种情况，
则符合条件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝ ．
二、填空题
7．（2021·三亚华侨学校高二开学考试）某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个
班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不
同年级，有_______种不同的选法．
【答案】
【详解】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级，
2个班为高一和高二各一个班有 ，2个班为高二和高三各一个班有 ，
8×6=48
2个班为高三和高一各一个班有 ，
所以不同的选法共有 .
8．现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中
至少取一张，共可组成不同的币值种数是_______种 .
【答案】1535
【详解】除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一
张和取二张3种情况，再减去这些人民币全不取的1种情况，所以共有 种．
9．（2021·浙江温州市浙鳌高级中学高二期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀
算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只
涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
【答案】1560
【详解】解：分4步进行分析：
①，对于区域 ，有6种颜色可选；
②，对于区域 ，与 区域相邻，有5种颜色可选；
③，对于区域 ，与 、 区域相邻，有4种颜色可选；
④，对于区域 、 ，若 与 颜色相同， 区域有4种颜色可选，
若 与 颜色不相同， 区域有3种颜色可选， 区域有3种颜色可选，
则区域 、 有 种选择，
则不同的涂色方案有 种.10．（2021·山东菏泽高二期末）从集合 中任意选择三个不同的数，使得这三个数
组成等差数列，这样的等差数列有____________个
【答案】98
【详解】当公差为 时，数列可以是： ， ， ，…… ，共13种情况.
当公差为 时，数列可以是： ， ， ，…… ，共11种情况.
当公差为 时，数列可以是： ， ， ，…… ，共9种情况.
当公差为 时，数列可以是： ， ， ，…… ，共7种情况.
当公差为 时，数列可以是： ， ， ， ， ，共5种情况.
当公差为 时，数列可以是： ， ， ，共3种情况.
当公差为 时，数列可以是： ，共1种情况.
总的情况是 .
又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，所以这样的等差数列共有 个.
三、解答题
11．（2021·全国高三专题练）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的
数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：
乘坐站数 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9
票价（元） 2 3 4
现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各
自在每个站下地铁的可能性是相同的.
（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？
（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的概率.
【详解】
（1）小华、小李两人共付费5元，所以小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站
数有1，2，3三种选择，付费3元的乘坐站数有4，5，6三种选择，所以小华、小李下地铁的方案共有 种；
（2）小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元，
付费4元的乘坐站数也有7，8，9三种选择，因此小华、小李下地铁的方案共有
种；其中小华比小李先下地铁的方案共有 种；因此小华比小李先
下地铁的概率为
12．用 这六个数字，完成下面两个小题．
（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被 整除的且百位数字不是 的不同的五位数；
（2）若直线方程 中的 可以从已知的六个数字中任取 个不同的数字，则直线方程
表示的不同直线共有多少条？
【详解】（1）当末位数字是 时，百位数字不是 ， 第一步，放百位有4种方法，
第二步，放剩余的三个位置有 种，则共有 个；
当末位数字是 ，首位数字是 时，共有 个；
当末位数字是 时，首位数字是 或 或 时，共有 个；
故共有 个．
（2） 中有一个取 时，有 条； 都不取 时，有 条；
与 重复； ，与 重复．
故共有 条．
