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2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学（必修+选修Ⅱ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12小题，每小题5分，
共60分）．
1．复数 等于（ ）
A． B． C．1 D．
2 ． 已 知 全 集 ， 集 合 ， ， 则 集 合
中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3． 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 等于
（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知 是等差数列， ， ，则该数列前10项和 等于（ ）
A．64 B．100 C．110 D．120
5．直线 与圆 相切，则实数 等于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．“ ”是“对任意的正数 ， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数 ， 是 的反函数，若 （ ），则
的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．10
8．双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为 的直线交双
曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第1页 | 共11页9．如图， 到 的距离分别是 和 ， 与 所成的角
分别是 和 ， 在 内的射影分别是 和 ，若 ，则（ ）
A． B．
A
C． D． a B
b
l
10．已知实数 满足 如果目标函数 的最小值为 ，则实数 等于（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
11．定义在 上的函数 满足 （ ）， ，则
等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定
原信息为 （ ），传输信息为 ，其中 ，
运算规则为： ， ， ， ，例如原信息为111，则传输信息为01111．传
输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．
13． ，则 ．
14．长方体 的各顶点都在球 的球面上，其中 ． 两点
的球面距离记为 ， 两点的球面距离记为 ，则 的值为 ．
15．关于平面向量 ．有下列三个命题：
①若 ，则 ．②若 ， ，则 ．
③非零向量 和 满足 ，则 与 的夹角为 ．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、
乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．
（用数字作答）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）
17．（本小题满分12分）
已知函数 ．
第2页 | 共11页（Ⅰ）求函数 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由．
18．（本小题满分12分）
某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第 次击中目标得 分，3
次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）该射手的得分记为 ，求随机变量 的分布列及数学期望．
19．（本小题满分12分）
三棱锥被平行于底面 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 ， ， 平
面 ， ， ， ， ， ．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
A 1 C 1
B
（Ⅱ）求二面角 的大小． 1
A
C
B D
20．（本小题满分12分）
已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，过 作 轴的垂
线交 于点 ．
（Ⅰ）证明：抛物线 在点 处的切线与 平行；
（Ⅱ）是否存在实数 使 ，若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）
第3页 | 共11页已知函数 （ 且 ， ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是
．
（Ⅰ）求函数 的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数 的极大值 和极小值 ，并求 时 的取值范围．
22．（本小题满分14分）
已知数列 的首项 ， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的 ， ， ；
（Ⅲ）证明： ．
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案
一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A
8．B 9．D 10．B 11．C 12．C
二、13．1 14． 15．② 16．96
三、17．解：（Ⅰ） ．
的最小正周期 ．
第4页 | 共11页当 时， 取得最小值 ；当 时， 取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．又 ．
．
．
函数 是偶函数．
18．（Ⅰ）设该射手第 次击中目标的事件为 ，则 ，
．
（Ⅱ） 可能取的值为0，1，2，3． 的分布列为
0 1 2 3
0.008 0.032 0.16 0.8
.
19．解法一：（Ⅰ） 平面 平面 ，
．在 中， ，
， ，又 ，
， ，即 ．
又 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ．
（Ⅱ）如图，作 交 于 点，连接 ，
由已知得 平面 ．
A C
1 1
B
1
E
A
第5页 | 共11页 C
F
B D
（第 19 题，解法
一）是 在面 内的射影．
由三垂线定理知 ，
为二面角 的平面角．
过 作 交 于 点，
则 ， ，
．
在 中， ．
在 中， ．
z
， A 1 C 1
B
1
即二面角 为 ． A
y
C
B D
解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
x
则 ， （第19题，解法二）
， ．
点坐标为 ．
， ．
， ， ， ，又 ，
平面 ，又 平面 ， 平面 平面 ．
（Ⅱ） 平面 ，取 为平面 的法向量，
设平面 的法向量为 ，则 ．
第6页 | 共11页，
如图，可取 ，则 ，
，
即二面角 为 ．
20．解法一：（Ⅰ）如图，设 ， ，把 代入 得 ，
y
由韦达定理得 ， ， A
M
2
， 点的坐标为 ．
B 1
N x
O
1
设抛物线在点 处的切线 的方程为 ，
将 代入上式得 ，
直线 与抛物线 相切，
， ．
即 ．
（Ⅱ）假设存在实数 ，使 ，则 ，又 是 的中点，
．
由（Ⅰ）知
．
轴， ．
第7页 | 共11页又
．
，解得 ．
即存在 ，使 ．
解法二：（Ⅰ）如图，设 ，把 代入 得
．由韦达定理得 ．
， 点的坐标为 ． ， ，
抛物线在点 处的切线 的斜率为 ， ．
（Ⅱ）假设存在实数 ，使 ．
由（Ⅰ）知 ，则
，
第8页 | 共11页， ，解得 ．
即存在 ，使 ．
21．解：（Ⅰ） ，由题意知 ，
即得 ，（*） ， ．
由 得 ，
由韦达定理知另一个极值点为 （或 ）．
（Ⅱ）由（*）式得 ，即 ．
当 时， ；当 时， ．
（i）当 时， 在 和 内是减函数，在 内是增函数．
，
，
由 及 ，解得 ．
（ii）当 时， 在 和 内是增函数，在 内是减函数．
，
恒成立．
综上可知，所求 的取值范围为 ．
22．解法一：（Ⅰ） ， ， ，
又 ， 是以 为首项， 为公比的等比数列．
第9页 | 共11页， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
， 原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的 ，有
．
取 ，
则 ．
原不等式成立．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设 ，
第10页 | 共11页则
，
当 时， ；当 时， ，
当 时， 取得最大值 ．
原不等式成立．
（Ⅲ）同解法一．
B卷选择题答案：
1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D
8．C 9．C 10．B 11．B 12．D
第11页 | 共11页
