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真题汇总
2010-2019
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1
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(1) x---+ 0 at ,a( x) ,/3( x) :N::�Pfx� ;Jvlt ,JJ!U (:Xra'-JfrrH,1Iq:t,
*
Q) a(x) ~ f3(x) ,JJ!U a 2 (x) ~ f3 2 (x);
*
@ * a 2 ( x ) ~ /3 2 ( x) , JJ!U a ( x) ~ /3 (x ) ;
@ * a ( x) ~ f3 ( x) , JJ!U a (x ) -f3 ( x ) = o (a ( x) ) ;
@ a ( x ) -f3 ( x) = o (a ( x) ) , JJ!U a ( x) ~ f3 ( x ) ,
Jt fir H,1I a'-] ff% 7'1 ( )
(A) Q)@. (B) Q)@. (C) Q)@@. (D)@@@.
( 2 ) B � an = ✓n - ( - l ) n ( n = 1 , 2 , · · · ) , JJ!U j an f ( )
n
(A) � �j(ffi, � �lj\ffi. (B ) � �j(ffi, fi!:� �lj\ffi.
(C ) f)t� �j(ffi, � �;J\ffi. < o) r:it� �*ffi, r:it� �/J\ffi.
r-y
(3) B�J(t) i!�,� F(x, ) = (x - - t)J(t)dt,JJ!U( )
y y
aF aF a2F a 2 F_ aF aF a 2 F _ a 2 F
(A) = = (B ) = =
ax a y ' ax2 ay2 ax a y ' ax2 a y 2 •
aF _ aF a2 F a2 F_ aF _ aF a2F _ a 2 F_
(C ) = , = (D) = , =
ax
i'
a
y
ax2 ay2
,
ax a
y
ax2 ay2
( 4 ) �-+.>- I, _ - 2 ( 1 + x ) d x ,/ 2 _ - 1 l 1 n ( + 1 + x) dx, / 3 - _ 11 1 + 2x. dx, !J @ bI ' (
0 COS X O COS X O Sill X
(A)I, < 1 2 < / 3 . (B)/2 < / I < / 3 .
(C)/1 < /3 < 1 2 . (D)/ 3 < 1 2 < I,.
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0 0 0
(A ) #tEPf :i£9il!�P , Q, f1!1f A = PAQ.
(B) #tEPf:i£9il!�P,f1!1fA = PAP-'.
(C) #tEiE5t9ie�Q,fl!{fA = QAQ-'.
(D) #tEPf:i£9il!�P,f1!1fA = PAPT.
( 6) i&Jie�A = [: : � 2),b = [�],JJ!U�'i':E7Tl'itll Ax = b a'-].a'-J'trfl£1'1( )
1 b b2 4
(A) :JG.. (B) �--
�x��-�xM. �Pl--�x•.
(C) (D)
-1-T T T 2 T
(7) i&ta1 = (A,l,l) ,a2 = (1,A,l) ,a3 = (1,1,A) ,a4 = (1,A,A ) ,�a1,a2,a3 l=:ia1,a2,
a4 �1ft, !JIU A� Jlitffi:ffi:fll�( )
(A)j0,ll. (B)j,\ [A e R,A ;;6-2l.
(C)j,\ [A e R,A ;;6-1,A ;;6-2l. (D)j,\ [A e R,A ;;6-ll.
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(8)i&tllltlL?:!t:11:X - N(0,4) ,llltlL?:!t:l:Y - B (3, ,HX,Y�;ffi*,!JIUD(X -3Y+ 1 )= ( )
(A)2. (B)4. (C)6. (D)l .
O
(9) i&t llltJL�:ll:!¥JU X 1 ,X 2 ,···,X ,. ,· .. �1LfiiJ5t$, H X 1 �ffl: $Wll1-J f(x) =
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(A) (B) (C)
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(A)-0.6. (B)-0.36. (C)0. (D)0.48.
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X +2x+4
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(1 4) B�Bi§f{J(x) = { e x ' O ::;;. x ::;;. l , JJ!tlf + "' dxf + "' f(x)f(y -x)dy =
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...
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0 a{]Rl:k1�1&#iit:S: 0,#*
D(
0).
-4-2021全国硕士研究生入学统一考试
数学(三)
(科目代码：303)
一、选择题(1~10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)
(1) 当工—0时，「(J
—l)dz是工？的( ).
J 0
(A)低阶无穷小 (B)等价无穷小
(C)高阶无穷小 (D)同阶但非等价无穷小
[eJ - 1
(2) 函数 /(x ) = J -r ""在「0
处( ).
11，
工=0
(A)连续且取极大值 (B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为零 (D)可导且导数不为零
(3)设函数/(j; ) =ax — 61n x (a > 0)有两个零点，贝[j®的取值范围是( ).
a
(A)(e, +*) (B)(0,e)
((CoJ)) (6(右+呵
(4) 设函数 fCx ,y)可微，且 +1 ,ex ) = + l)2 ,j;2) = Zz'ln z ,则 d/(l,1)=( ).
(A) dr + Ay (E)cLz — djy
(dCj/) (D) -dj/
(5) 二次型/XG，工2'力3)=(工1 + ^2)2 +(S + ^3)2 —(広3 — Ml)'的正惯性指数与负惯性指
数依次为( ).
(A)2,0 (B)l,l (02,1 (D)l,2
(6)设 A (ct i , ® 3 ,a「为4阶正交矩阵』= ,k表示任意常数，则线性方程
9 u 2
组BX =0的通解X =( ).
(A)(Z 2 +。3 Ct 4 + ku ! (B)(x! + of 3 +(X 4 + ka 2
(Oct ] (x 2 + s ka 3 (D)0t] (X 2 +。3 H- kci 4
2021年数学(三)试题 第1页(共4页)⑺已知矩阵"I； 若存在下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使嘶
1 2 —5）
为对角矩阵，则P,Q可以分别取（ ）.
/I 0 0\ /I 0 1
(A) 0 1 0,0 1 3
'o 0 U ^0 0 1
/ 1 0 0\ d 0 1
(C) 2 - 1 0,0 1 3
3 2 U 'o 0 1
\一
（8）设为随机事件，且0 P(A),则 P(A | B) > P(A)
(C)若 PGA | B) > P(A | B),则 P(A | B) > P(A)
(D)若 P(A | A U B)> P(A | A U B),则 P(A) > P(E)
⑼设（Xi，Yi）,（X2，Y2），・“，（X”，Y”）为来自总体N（4，“2；看，话；°）的简单随机样本,
-^Yt,6= X-Y,则( ).
令 0 =幻一 〃2,x = — ,y=
",=1 ",=i
62 十I 兀2 时+
^2 —
2po
1 (7 2
(A)E(0) =0,D(0) (B)E(0) =0,D(0)
n n
2 十i 62
(C)E(0)工 0,D(&) (D)E(0)工 0,D(0)= -------——匕丄^
n n
1—0 字，利用来自总
（10）设总体X的概率分布为P{X=1} ,P{X =2} =P{X =3}=
2 4
体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得0的最大似然估计值为（ ）.
1 3 1 5
（A） T （B） y （C） y （D）y
二、填空题（11〜16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在题中的横线上.）
（11）若 y hcose-77，则翌 | =
ClX I x = l
——
（13）设平面区域D由曲线夕=丘sin 7tj； （0 a： £1）与z轴围成，则D绕z轴旋转所成的
旋转体的体积为________ .
（14）差分方程=t的通解为yt =________ .
x x 1 2工
2 —1
jc
(15)多项式 /(j: ) = £ ］中工3项的系数为
1 x
2 1 1
一 X
2021年数学（三）试题 第2页（共4页）（16） 甲，乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙
盒中，再从乙盒中任取一个球，令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X
与Y的相关系数为________.
三、解答题（17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（17） （本题满分10分）
_ 1 11
已知lim a arctan----（1十| | ）"存在，求a的值.
jc
■r—0 X
(18)(本题满分12分)
(T — ])2 I 2
求函数/'Cz,y)=21n|_r | +比_ 化 ”的极值.
2x
（19）（本题满分12分）
设有界区域D是圆r2+y2= 1和直线夕=工以及工轴在第一象限围成的部分，计算二重
积分""彳—y2 ）dj： dy.
D
2021年数学（三）试题 第3页（共4页）（20）（本题满分12分）
设n为正整数,y =yn （工）是微分方程xy' — （n + 1）夕=0的满足条件歹”（1）
的解.
（I ）求夕”（夂）;
（n）求级数工几（工）的收敛域及和函数.
n = 1
（21）（本题满分12分）
/2 1 0\
设矩阵A =1 2 0仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求
'1 a J
可逆矩阵P,使P~ AP为对角矩阵.
（22）（本题满分12分）
在区间（0,2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X,较长一段的长
y
度记为Y,令2=-.
（I ）求X的概率密度；
（U）求Z的概率密度；
（DI）求 E（y）.
2021年数学（三）试题 第4页（共4页）2020 年数三真题
一、选择题
(1) 设 lim
f(x)−a
=b，则 lim
sinf(x)−sina
=( )
x→a x−a x→a x−a
(A)bsina. (B)bcosa. (C)bsinf(a). (D)bcosf(a).
1
(2) 函数 f(x)= ex(cid:0)1 ln|1+x| 的第二类间断点的个数为 ( )
(ex−1)(x−2)
(A)1 个. (B)2 个. (C)3 个. (D)4 个.
(3) 设奇函数 f(x) 在 (−∞,+∞) 上具有连续导数，则 ( )
(cid:1) (cid:1)
(A) x [cosf(t)+f′(t)]dt 是奇函数. (B) x [cosf(t)+f′(t)]dt 是偶函数.
0 0
(cid:1) (cid:1)
(C) x [cosf′(t)+f(t)]dt 是奇函数. (D) x [cosf′(t)+f(t)]dt 是偶函数.
0 0
∑∞ ∑∞
(4) 设幂级数 na (x−2)n 的收敛区间为 (−2,6)，则 a (x+1)2n 的收敛区间为 ( )
n n
n=1 n=1
(A)(−2,6). (B)(−3,1). (C)(−5,3). (D)(−17,15).
(5) 设 4 阶矩阵 A=(a ) 不可逆，a 的代数余子式 A ≠ 0，(cid:11) ，(cid:11) ，(cid:11) ，(cid:11) 为矩阵 A 的列向量
ij 12 12 1 2 3 4
组，A∗ 为 A 的伴随矩阵，则方程组 A∗x=0 的通解为 ( )
(A)x=k (cid:11) +k (cid:11) +k (cid:11) ，其中 k ，k ，k 为任意常数.
1 1 2 2 3 3 1 2 3
(B)x=k (cid:11) +k (cid:11) +k (cid:11) ，其中 k ，k ，k 为任意常数.
1 1 2 2 3 4 1 2 3
(C)x=k (cid:11) +k (cid:11) +k (cid:11) ，其中 k ，k ，k 为任意常数.
1 1 2 3 3 4 1 2 3
(D)x=k (cid:11) +k (cid:11) +k (cid:11) ，其中 k ，k ，k 为任意常数.
1 2 2 3 3 4 1 2 3
(6) 设 A 为 3 阶矩阵，(cid:11)
1
，(cid:11)
2
为A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，(cid:11)
3
为 A 的属于特征值
1 0 0
−1 的特征向量，则满足 P−1AP = 0 −1 0 的可逆矩阵 P 可为 ( )
0 0 1
(A)((cid:11) +(cid:11) ,(cid:11) ,−(cid:11) ). (B)((cid:11) +(cid:11) ,(cid:11) ,−(cid:11) ).
1 3 2 3 1 2 2 3
(C)((cid:11) +(cid:11) ,−(cid:11) ,(cid:11) ). (D)((cid:11) +(cid:11) ,−(cid:11) ,(cid:11) ).
1 3 3 2 1 2 3 2
(7) 设A，B，C 为三个随机事件，且P(A)=P(B)=P(C)= 1，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)= 1 ，
4 12
则 A，B，C 中恰有一个事件发生的概率为 ( )
(A)3. (B)2. (C)1. (D) 5 .
4 3 2 12
(8) 设随机变量 (X,Y) 服从二维正态分布 N(0,0;1,4;−1)，则下列随机变量中服从标准正态分布且与
2
X 独立的是 ( )
√ √ √ √
(A) 5(X+Y). (B) 5(X−Y). (C) 3(X+Y). (D) 3(X−Y).
5 5 3 3
1二、填空题
(9) 设 z =arctan[xy+sin(x+y)]，则 dz| = .
(0;(cid:25))
(10) 曲线 x+y+e2xy =0 在 (0,−1) 处的切线方程为 .
(11) 设某厂家某产品的产量为 Q，成本 C(Q) = 100+13Q，设产品的单价为 P，需求量 Q(P) =
800 −2，则该厂家获得最大利润时的产量为 .
P+3 { (cid:12) }
(cid:12)
(12) 设平面区域 D = (x,y)(cid:12)x ≤y ≤ 1 ,0≤x≤1 ，则 D 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积
2 1+x2
为 . (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) a 0 −1 1 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) 0 a 1 −1 (cid:12) (cid:12)
(13) 行列式 (cid:12) (cid:12)= .
(cid:12)−1 1 a 0 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 −1 0 a (cid:12)
(14) 设随机变量 X 的概率分布为 P{X = k} = 1 ,k = 1,2,3,···，Y 表示 X 被 3 除的余数，则
2k
E(Y)= .
三、解答题
( )
(15) 已知 a，b 为常数，若 1+ 1 n−e 与 b 在 n→+∞ 时是等价无穷小，求 a，b.
n na
(16) 求函数 f(x,y)=x3+8y3−xy 的极值.
(17) 设函数 y =f(x) 满足 y′′+2y′+5y =0，f(0)=1，f′(0)=−1.
(I) 求 f(x) 的表达式.
(cid:1) ∑∞
(II) 设 a =
+∞
f(x)dx，求 a .
n n(cid:25) n
n=1 √ (cid:3)
(18) 设 D ={(x,y)|x2+y2 ≤1,y ≥0}，连续函数 f(x,y) 满足 f(x,y)=y 1−x2+x f(x,y)dxdy，
(cid:3) D
求 xf(x,y)dxdy.
D
(19) 设函数 f(x) 在区间 [0,2] 上具有连续导数，f(0)=f(2)=0，M = max |f(x)|. 证明：
x∈[0;2]
(I) 存在 ξ ∈(0,2)，使 |f′(ξ)|≥M.
(II) 若对任意 x∈(0,2)，|f′(ξ)|≤M，则 M =0. ( ) ( )
x y
(20) 设二次型 f(x ,x ) = x2−4x x +4x2 经过正交变换 1 = Q 1 化为二次型 g(y ,y ) =
1 2 1 1 2 2 1 2
x y
2 2
ay2+4y y +by2，其中 a≥b.
1 1 2 2
(I) 求 a，b 的值.
(II) 求正交矩阵 Q.
(21) 设 A 为 2 阶矩阵，P =((cid:11),A(cid:11))，其中 (cid:11) 是非零向量且不是 A 的特征向量.
(I) 证明 P 为可逆矩阵.
(II) 若 A2(cid:11)+A(cid:11)−6(cid:11)=0，求 P−1AP，并判断 A 是否相似于对角矩阵.
√
(22) 设二维随机变量 (X,Y) 在区域 D ={(x,y)|00, 1, X +Y >0,
Z = Z =
1 2
0, X −Y ≤0. 0, X+Y ≤0.
(I) 求二维随机变量 (Z ,Z ) 的概率分布.
1 2(II) 求 Z 与 Z 的相关系数.
1 2
(23) 设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为
1−e −( (cid:18) t)m , t≥0,
F(t)=
0, 其他.
其中 θ，m 为参数且均大于零.
(I) 求概率 P{T >t} 与 P{T >s+t|T >s}，其中 s>0，t>0.
(II) 任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 t ，t ，···，t ，若 m 已知，求 θ 的
1 2 n
最大似然估计值 θ^.2019年全国硕士研究生招生考试试题
一
-、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有 项符合题目要
求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
X k ）
(1)当 --+O时，若x -tan x与x 是同阶无穷小，则k = (
（D）4
(A)l. (B)2. (C)3.
X 5 - )
(2)已知方程 5x + k = 0有3个不同的实根，则k的取值范围是（
(A)(-oo,- 4). (8) (4, + oo).
(C)j-4,4!. (D)(-4,4).
元 元
(3)已知微分方程y"+ ay'+ by = ce 的通解为y= (C1 +C2x)尸+e ，则a、b、c依次为（ ）
(A)1 , 0, 1. (B) 1, 0 ,2 . (C) 2,1 , 3. (D) 2,1 , 4.
I
(4)若 nun 绝对收敛，三五n 条件收敛，则（ ）
n=l n=I
00 00
(A)L U nVn 条件收敛． (B)Lunvn 绝对收敛．
n=1 n=l
(C) L (un + vJ收敛. (D) L (Un + vJ发散．
(5)设A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程组Ax= 0的基础解系中只有2个向量，则
r(A *) = ( )
(A)O. (B)l. (C)2. (D)3.
2
(6)设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵．若A +A = 2E, 且IAI = 4,则
T
二次型x Ax的规范形为( )
(A) Yi + y; + y;. (B) Yi + y; -y; ·
(C) Yi -y; -Y�. (D) -Yi -y; -Y�.
(7)设A,B为随机事件，则P(A) = P(B)的充分必要条件是（ ）
(A)P(A U B) = P(A) + P(B). (B)P(AB) = P(A)P(B).
(C)P(AB) = P(BA). (D) P( AB) = P (A B) .
Y P1 Ix - YI
(8)设随机变散X与 相互独立，且都服从正态分布N(µ,, 矿），则 < If ( )
(A)与µ尤关，而与矿有关 (B)与µ有关，而与矿无关
(C)与µ,, 矿都有关 (D)与µ,, 矿都无关
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）
!
(9 ) 吧 [
1 � 2
+
2 � 3
+ … +
n(n
1
+1)r
=
31T
2)
(10)曲线y= xsin x + 2cos x (- 卫 < X < — 的拐点坐标为
2
=『八飞了d
汀
(11)已知函数 f (x) t,则 f x (x)dx = .
— —
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A B A A
(12)以P 、P 分别表示A、B两个商品的价格 ，设商品A的需求函数Q =500-P P 凡+2PJ,则
A AA AA
当p = 10, 凡=20时， 商品A的需求量对自身价格的弹性'YJ ('YJ >0)=
1 0 - 1 0
(13)已知矩阵A=[ - J b=(J 若线性方程组Ax=b有无穷多解，则a=
� : �
矿
< X <
0 2,
(14)设随机变散X的概率密度为f(x)=
\
了 F(x)为X的分布函数，E(X)为X的
I 0, 其他，
>
数学期望，则Pj F(X) E(X)- 1 =
三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
l
(15) (本题满分10分）
X
， >0 ,
已知函数f(x)= 亡x X 求J'(x)'并求f(x)的极值
xe + 1, ::S; 0.
(16) (本题满分10分） 2
a g
f 、
＋
2
设函数f(U, V)具有2阶连续偏导数， 函数g(X, y) = xy - (X + y, X -y). 求—
如
心 五
十
a垃r ay 2 •
(17) (本题满分10分）
臼
1
设函数y(x)是微分方程y'- xy = e 满足条件y(l)=�的 特解
2五
(I)求y(x);
(II)设平面区域D= l(x,y) 11�x�2,0�y�y(x)f, 求D绕x轴旋转所得旋转体
的体积
— 2 —
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-x
求曲线y = e sin x (x ;:: 0)与x轴之间图形的面积
(19)(本题满分L 10分）
1
n 了
a X '\
n
设 = 厅二 dx(n = 0, 1, 2,···).
l
(I)证明数列冈 n 单调递减，且an = n n - + 2 l a n -2 (n = 2'3'. . .) ;
、
. —a 兰
(II) 求nh->ma:> n-1
a
(20)(本题满分11分）
[J [:J
勹
«
已知向扯绢I
:
1 =
也 也 [ ) + J
与
Il : P
1 =
[ �J P,
=
[
a 1
P, P
= 若向量组I与II等价，求a的取值，并将 皿四归a, 线性表示．
[) J
+
— 3 —
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