(172)--第七章《参数估计》答案解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

第七章 参数估计
7-1 基础过关
1.【答案】（1）
5
6
,
5
6
1 n 1 n
；（2） X ， X ；（3）
n i n i
i1 i1
n
n
i
1
r
x
i
【解析】（1）① x 
1
3
(1  2  1 ) 
4
3
， E X  1  2  2  2 (1  )  3  (1  ) 2  3  2     
令 E X  x ，即 3  2 
4
3
 ，解得 
5
6
 .
② L ( )  2  2  2 ( 1  )  2 5 ( 1  )        ，所以 l n L ( )  l n 2  5 l n  l n (1  )    ，令
d l n
d
L ( ) 5
1
1
0

  
 


5
ˆ
，解得 .
6
（2）① E X  x ，即 ˆ x
1
n
n
i 1
X
i
   

②记 x
1
, x
2
,  , x
n
为 X
1
, X
2
,  , X
n
的样本值
L ( )  
n
i 1
P { X  x }i  
n
i 1
x ei
x
i

!
 
 ，
l n L ( ) 
n
i
1
[ x
i
l n   l n ( x
i
! ) ] 
n
i
1
x
i
 l n  n 
n
i
1
l n ( x
i
! )     
令
 l n

L ( )

1 n
i
1
x
i
 n  0

，解得：
 
ˆ 
1
n
n
i
1
x
i
 ，所以的最大似然估计量为
1 n
 ˆ  X .
n i
i1
n n
（3）L(p)PX  xCr1pr(1 p)x i r
i x1
i
i1 i1l n L ( p ) 

n
i
1
n
i
1
[ l
l n
n
C
r  1 C
xi1
r  1 
xi1

n
r
r
l n
l n
p
p


(

x
i
n
i

1
x
r
i
)

l n
n
(1
r


l n
p )
(1
]
 p )
lnL(p) nr 1  n 
令    x nr  0，解得：
p p 1 p i  i1
ˆp 
r
x

n
n i
1
r
x
i
.
2.【答案】（1）
1
n
n
i 1
x
i
x
1
  

 ， c  x
1
；
（2） ˆ
1
n
n
i 1
( X
i
X ) 2   

 ， ˆc  X 
1
n
n
i
1
( X
i
 X ) 2
n n 1
【解析】（1）L(,c) f(x ) e(x i c)/,x c,i 1,2n
i  i
i1 i1
l n L ( , c )
n
i 1
l n
x
i
c
n l n
1 n
i 1
x
i
n c , x
i
c   
 
 


 
 
  






令
 

l
l
n
n
L

L

(
(
c
,
,
c
c
)
)




n
1

( 
1
n
2
)


n
i
n
1
x

i

0
n c

 0

  
，

 
所以 l n L ( , c )  为关于c的单调递增函数，所以 c  x
1
，所以  x  x
1

1
n
n
i
1
x
i
 x
1
 .
tc
u
 1 
（2）EX  t e(tc)/dt   (uc)eudu (2)cc
c  0
tc
u
 1  
EX2  t2 e(tc)/dt   (uc)2eudu  (2u2 2cuc2)eudu
c  0 0
2(3)2c(2)c2 22 2cc2 2 (c)2所以 D X  E X 2  ( E X ) 2  2  ，
令
 E
D
X
X


X
1
n
n
i
1
( X
i
 X ) 2
c X

，即 1 n ，解得：
2  (X X)2
  n i
i1
ˆ
1
n
n
i 1
( X
i
X ) 2   

 ，
ˆc  X 
1
n
n
i
1
( X
i
 X ) 2 .
3.【答案】（1） ˆu  n 
n
i 1
x
i
；（2） ˆ  1  

2 
1
n
n
i
1
x
i

 ；（3） ˆ 
m
3
n
n
i
1
x
i
 1 
【解析】（1）记 x
1
, x
2
,  x
n
为 X
1
, X
2
,  , X
n
的样本值， L ( )  
n
i 1
f ( x
i
)  
n
i 1
x
i
 1   
l n L ( ) 
n
i
1
[ l n  (  1 ) l n x
i
]  n l n  (  1 )
n
i
1
l n x
i
     ，令
 l n

L ( )

n

n
i
1
l n x
i
 0

 
解得： ˆ  
n
i
1
n
l n x
i
 ，所以 ˆu  e
n
i1 ln
n
xi
 n x
1
x
2
x
n
 n 
n
i 1
x
i
.
（若 g ( x ) 具有单值反函数，且是的最大似然估计，则 g ( )  是g()的最大似然估
计）
（2）  P { X  2 }  p
 X 
1
 2 

 1   ( 2  )

   ，记 x
1
, x
2
,  x
n
为
X ,X , ,X 的样本值，
1 2 n
L ( )  
n
i 1
f ( x
i
)  
n
i 1
1
2 π
e
 ( x i
2
2) 
 ，
n  1 (x )2  1 1 n
lnL() ln  i nln  (x )2 ，
i1 2π 2  2π 2 i1 i
令
 l n

L ( )

n
i
1
( x
i
 ) 
n
i
1
x
i
 n  0

  ，解得

ˆ 
1
n
n
i
1
x
i
 ，所以ˆ  1  

2 
1
n
n
i
1
x
i

 .
（3）因为 
1
3
( 1  )   ，所以  3  1
n n
  ，L()PX  xCx ix i(1)mx i
i m
i1 i1
n
lnL()[lnCx i x ln(mx )ln(1)]
m i i
i1
n n  n 
lnCx i x ln  mnx  ln(1)
m i i
 
i1 i1 i1
令
l n L ( )
n
i 1
x
i
1
1
m n
n
i 1
x
i
0

  




 


 


 ，解得： ˆ 
x
m

m
1
n
n
i
1
x
i
 .
所以 ˆ 
m
3
n
n
i
1
x
i
 1  .
4.【答案】（1） c 
2 ( n
1
 1 )
；（2） c 
1
n
【解析】
 n1  n1 n1
E c(X  X )2 cE(X2 2X X  X2)c(EX2 2EX X EX2)
 i1 i  i1 i i1 i i1 i i1 i
 
i1 i1 i1
n1
c[2EX2 2(EX)2]2(n1)cDX 2(n1)c2 2
i1
所以 c 
2 ( n
1
 1 )
（2） E [ ( X ) 2 c S 2 ] E ( X ) 2 c E S 2 D X ( E X ) 2 c E S 2
1
n
2 2 c 2 2              
1
所以c  .
n
5.【答案】请参照详解
【解析】（1）记x ,x ,,x 为X ,X ,,X 样本值．
1 2 n 1 2 nL ( )
n
i 1
f ( x
i
)
n
i 1
1
x
1
i
, 0 x
i
1

 

 

 


 
n  1  1  n
lnL()  ln lnx  nln  1  lnx ，
  i    i
i1 i1
x
(1 )
 0 , x
(n )
 1
令
l n L ( ) n 1
2
n
i 1
l n x
i
0

  


   

 ，解得 ˆ
1
n
n
i 1
l n x
i
   

1 n
即的最大似然估计量为 ˆ  lnX .
n i
i1
（2）
1 n 1 n
E Elnx  ElnxElnx
n i n
i1 i1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
 lnx x  dx lnxdx xlnx  x dx
0  0 0
0
1
1
x 
0
故
ˆ
是无偏估计.
6.【答案】（1） T
1
, T
3
是的无偏估计量；（2） T
3
比 T
1
更有效.
【解析】（1） E T
1
1
6
( E X
1
E X
2
)
1
3
( E X
3
E X
4
)
1
6
( )
1
3
( )              
E T
2
1
5
( E X
1
2 E X
2
3 E X
3
4 E X
4
)
1
5
( 2 3 4 ) 2              
1 1
ET  (EX EX EX EX ) ()
3 4 1 2 3 4 4
所以 T
1
, T
3
为的无偏估计量
1 1 1 1 5
（2）DT  (DX DX ) (DX DX ) (2 2) (2 2) 2
1 36 1 2 9 3 4 36 9 18
1 1 1
DT  (DX DX DX DX ) (2 2 2 2) 2 ，所以DT DT
3 16 1 2 3 4 16 4 3 1T 比
3
T
1
更有效.
7.【答案】请参照详解
【解析】（1） E 2 E ( ˆ ) 2 D ˆ ( E ˆ ) 2 D ˆ 2 2              ，所以 ˆ 不是2的无偏估计.
（2）①记x ,x ,,x 为X ,X ,,X 样本值
1 2 n 1 2 n
L ( )
n
i 1
f ( x
i
)
n
i 1
1 1 n
, x
(n )
 
 
 

 


 
 ，所以 L ( )  为的单减函数，故
ˆ
 x max{x ,x ,,x }
(n) 1 2 n
所以的最大似然估计量为 X
(n )
 m a x { X
1
, X
2
,  , X
n
}
②由 f ( x ) 
 1
0
,
,
0 
e
x
l s

e
, 
 可知其分布函数为 F ( x )
0 ,
x
1 ,
,
x
0
x
0
x 



 



F (x) P  X  x   P  maxX ,X , ,X  x   PX  x,X  x, X  x
(n) (n) 1 2 n 1 2 n
 P{X  x}P{X  x}, ,P{X  x}(P{X  x})n
1 2 n
 0, x0

n
 x
 Fn(x)

, 0 x

 1, x

nxn1
 , 0 x
f (x) F (x) n
X X
(n) (n)

 0. else
所以 E ˆ
0
x n x n
n
1 d x n
n n
1
1
x n 1
0
n
n
1
    
 
     

 

 ˆ ，故不是的无偏估计.7-2 基础真题
1.【答案】（1） 2 X ；（2）
5
2
n

【解析】（1） E X  
 
 
x f ( x ) d x  
0
6 x 2
3
(  x ) d x 
2
  1 n
 . 记X  X ，由
 n i
i1
2
 X

，
得的矩估计量为  2 X  .
（2）由于 E ( X 2 )  
 
 
x 2 f ( x ) d x  
0
6 3 x
3
(  x ) d x 
3
1 0
2  
 ，

32  2 2
DX  E(X2)(EX)2      .
10 2 20
所以  2 X  的方差为 D  D ( 2 X )  4 D X 
4
n
D X 
5
2
n

 .
2.【答案】
1
n
n
i
1
X
i
 1 或 X  1
 
【解析】EX  xf(x;)dx xe(x)dx1. 根据矩估计量的定义，满足
 0
E X  X 的
ˆ
即为的矩估计量，因此
ˆ
= X  1 .
3.【答案】
n
i
1
n
X
i

【解析】由题设，对于总体X 的简单随机样本 X
1
, X
2
, , X
n
，其观测值为x , ,x ，当
1 n
x
i
 0 , i  1 , 2 , , n
n
xa n
i
时，似然函数为L(x ,x , ,x ;)(a)ne i1 Xa1 ，
1 2 n i
i1
n n
对似然函数两边取对数，可得lnLnln(a)lnXa1Xa.
i i
i1 i1
dlnL n n n
又因  Xa 0. 则的最大似然估计值 ˆ  . 故的最大似然估计量
d  i n
i1 xa
i
i1为
ˆ
n
i 1
n
X ai
 


.
4.【答案】矩估计量为 
2
1
X


X
1
 ，最大似然估计量为   1 
n
i
1
n
l n X
i

【解析】总体 X
 1 1
的数学期望为EX  xf(x)dx (1)x1dx .
 0 2
设 X 
1
n
n
i
1
X
i
为样本均值. 由


1
2
 X

，解得未知参数的矩估计量为


2
1
X


X
1
 .
设 x
1
， x
2
，…， x
n
是相应于样本 X
1
， X
2
，…， X
n
的样本值，则似然函数为
L
(
0 ,
n
n 1 ) x , 0
i
i 1
x
i
1 ( i 1 , 2 , , n )









其

他 .
 
当 0  x
i
 1 ( i  1 , 2 , , n ) 时， L  0 ，且
l n L  n l n (  1 ) 
n
i
1
l n x
i
dlnL n n
  ，  lnx
d 1 i
i1
令
d ( l
d
n L )
 0
n
. 解得的最大似然估计值为1 ，从而得的最大似然估计
 n
lnx
i
i1
量为   1 
n
i
1
n
l n X
i
 .
5.【答案】
ˆ
 m i n { x
1
, x
2
, , x
n
} 
【解析】似然函数为
  n 
2nexp2(x ), x (i1,2, ,n)
L() L(x ,x , ,x ;)  i  i
1 2 n i1

0, 其他.当x (i1,2, ,n)时，
i
L ( )  0
n
 ，取对数，得lnL()nln22(x )，
i
i1
因为
d [ l n
d
L ( ) ]
 2 n  0

，所以

L ( )  单调增加.
由于必须满足  x
i
( i  1 , 2 , , n )  ，因此当取 x
1
, x
2
, , x
n
中的最小值时， L ( )  取最
大值，所以的最大似然估计值为
ˆ
 m i n { x
1
, x
2
, , x
n
}  .
1 1
6.【答案】矩估计值 ；最大似然估计值为 (7 13)
4 12
【解析】EX 02 12(1)223(12)34.
x 
1
8
( 3  1  3  0  3  1  2  3 )  2 ，令 E X  x ，即 3  4  2  ，得的矩估计值
1
 .
4
对于给定的样本值，似然函数为
L()2[2(1)]22(12)4 46(1)2(12)4
，
lnL()ln46ln2ln(1)4ln(12)，
d[lnL()] 6 2 8 628242
    .
d  1 12 (1)(12)
令
d [ l n
d
L ( ) ]
 0
 1
，解得  (7 13). 取“+”时，
 1,2 12 1
1
2
( 7  1 3 ) 
1
2
，不合题
1 1
意；取“−”时，0 (7 13) 合乎题意，故的最大似然估计值为
12 2
1
 (7 13).
12
7.【答案】（Ⅰ） 
X
X
 1
n
 ；（Ⅱ）
n
ln X
i
i1【解析】X 的概率密度为 f ( x ; ) 

x
0 ,
 1
, x 
x
1

,
1 ,

 
（Ⅰ）由于 E X  
 
 
x f ( x ; ) d x  

1

x 
x  1
d x 
 1
 
 ，由
   1
 X

，解得

X X
 ，所以参数的矩估计量 .
X 1 X 1
（Ⅱ）似然函数为 L ( )
n
i 1
f ( x
i
; )
( x
1
x
2
n
x
n
) 1

 

 



.
n
取对数得lnL()nln(1)lnx
，
i
i1
两边对求导，得
d [ l n
d
L ( ) ]

n

n
i
1
l n x
i

.
 
令
d [ l n
d
L ( ) ]
 0

，可得


n
i
1
n
l n x
i
 ，故的最大似然估计量 
n
i
1
n
l n X
i
 .
8.【答案】（Ⅰ）=
3
2
 X
N
；（Ⅱ）
n
【解析】
（Ⅰ）由于 E X
+
x f ( x ; ) d x
1
0
x d x
2
1
( 1 ) x d x
1
2
+
3
2
( 1 )
3
2
       



         .
3 3 3
令  X ，解得  X ，所以参数的矩估计为=  X .
2 2 2
（Ⅱ）似然函数为 L ( )
n
i 1
f ( x
i
; ) N (1 ) n N      

   ，取对数，得
l n L ( )  N l n  ( n  N ) l n ( 1  )    ，
d[lnL()] N nN
两边对求导，得   .
d  1令
d [ l n
d
L ( ) ]
 0

，得


N
n
 ，所以的最大似然估计为 
N
n
 .
9.【答案】（Ⅰ） F ( x ) 
 1
0

,
 2 ( x  e ) , x
x


,
.
 
；（2）

F
ˆM
( x )
2
0
n
,
e 2 n ( x ) , x ,  


  
其

他 .
（Ⅲ）不具有无偏性（数三： E
ˆ
M
1
2 n
    ）
x
1e2(x),x,
【解析】（Ⅰ）X 的分布函数F(x) f(t)dt 
 0, x.
（Ⅱ）统计量
ˆ
M
 的分布函数：
F
ˆM
( x ) P
1
1
{
P
[ 1

x }
X
1
F ( x
P
x
) ]

,
n
m
X
i
2
n
1
0

,
X , X
1 2
x , , X
2 n ( x e
,
n
, X
x
) , x
x

n

1
,
.
x 
P 
1
X
1
P 
x
m

i
P
n


X
X
2
1
, X
x
2

, ,
P
X

n
X

n
x 
x 


 














 



  






 
 
   

（Ⅲ） ˆ
M
 的概率密度为 f ( x )  F  ( x ) 
 2
0
n
,
e  2 n ( x  ) , x
其

他
,
.
 
 
因为 E ˆ
M
x f
ˆM
( x ) d x 2 n x e 2 n ( x )d x
2
1
n
   
 
   
 
         ˆ ，所以 作为的估计量
M
不具有无偏性.
10.【答案】（Ⅰ）
M
2 X
1
2
   ；（2） 4 X
2
不是 2  的无偏估计量
【解析】（Ⅰ） E X = 
+ 
 
x f ( x ; ) d x  
0 2
x
d x  
1
2 (1
x
 )
d x 
1
4

2
 
 .
  
令X  EX ，即 X 
1
4

2

，得的矩估计量为
M
2 X
1
2
   .
（Ⅱ）因为
2 2 1 1 1  2 4 1
E(4X )4E(X )4[DX (EX)2]4 DX 

 

 DX  2
 n 4 2   n 4又 D X  0 ，  0
2 2
 ，所以E(4X )2，即E(4X )2，因此 4 X
2
不是 2  的无偏估
计量.
11.【答案】C
【解析】根据题设，可得 E ( S 2 )  E

n
1
 1
n
i
1
( X
i
 X ) 2

 D ( X )  2  ，
但 E S  （若 E S  ，则 ( E S ) 2  2  ， D S  E S 2  ( E S ) 2  0 ），故选项（A）错误.
对于选项（D），若总体为正态总体，则 X 与 S 2 独立，但题设中的总体未必是正态总体，
故选项（D）错误.
对于选项（B）和选项（C），根据辛钦大数定律和依概率收敛的定义可知，样本标准差 S
是总体标准差的相合估计量，而不是最大似然估计量，故选项（B）错误，而选项
（C）正确.7-3 拓展拔高
1.【答案】D
【解析】依题设， X
1
, X
2
, , X
n
相互独立， E ( X 2 ) 是总体X 的二阶原点矩，其矩估计
1 n
就是样本的二阶原点矩，即E(X2) X2，显然可排除选项（A），（B）.
n i
i1
由
n n n n
(X X)2 (X2 2X X  X2)X2 2X X nX2
i i i i i
i1 i1 i1 i1
n n
X2 2X nX nX2 X2 nX2
i i
i1 i1
可知，
1
n
n
i
1
( X
i
 X ) 2  X 2 
1
n
 n
i
1
X 2i  n X 2

 X 2 
1
n
n
i
1
X 2i ，故答案选（D）.
2.【答案】矩估计量：
 ˆ1
ˆ
2


X
X


3
3
B
B
2
2

（

B
2

1
n
n
i
1
( X
i
 X ) 2 ），
最大似然估计量：
ˆ1
 m1

i n
i n
{ X }i  ，
ˆ
2
 m1

ai xn { X }i 
【解析】先求矩估计： E ( X )  1

2
2
 
， D ( X ) 
(
2

1 2
1
) 2  
，
E(X) X

令 1 n ，即
D(X) (X X)2  B   n i 2
i1

1
2


2
1


2
2
X ,
3 B 2
 
，解得：
 
 ˆ1
ˆ 2


X
X


3
3
B
B
2
2


再求最大似然估计：
 1
 ,   x,
f(x;,)  1 2
1 2 2 1

0, 其他.
 1
 ,   x (i1,2, ,n),
似然函数为L(x ,x , ,x ;,)( )n 1 i 2
1 2 n 1 2 2 1

0, 其他.lnL(,)nln( )，
1 2 2 1 

1
l n L (
1
,
2
) 
2
n

1
 0   ，
  


2
l n L 
1
,
2
  
2
n

1
 0   ，而
   1
 m1

i n
i n
{ x }i  ，
2
 m1

ai xn { x }i  . 因为lnL(,)是
1 2 1
的单调增函数，是
2
 的单调减函数，所以 ˆ1  m1

i n
i n
{ X }i  ， ˆ
2
 m1

ai xn { X }i  .
3.【答案】
n
i
1
n
X ai
【解析】
 n

x
i
a
L() f(x )f(x ) f(x ) nan(x x x )a1e i1 , x 0,x 0,,x 0
1 2 n 1 2 n 1 2 n
 0, 其他
n n
lnL()nlnnlna(a1)lnx xa ，令
i i
i1 i1
d
d
l n L ( ) 
n

n
i
1
x ai  0  ，得参
 
数的最大似然估计量为
ˆ

n
i
1
n
X ai
 .
4.【答案】C
【解析】由于X U[,]，因此 X 的概率密度为 f ( x ; ) 2
0
1
,
,
.
x ,  
  


其 他
 
n  1  n
似然函数为L()f(x;)
 
( x ,x , ,x )，显然
i 2 1 2 n
i1
L ( )  关于单调
减少，由于 x ,x ,,x 等价于|x |,|x |, ,|x |，即max{|x |}. 因此
1 2 n 1 2 n i
1in
取满足条件   x
1
, x
2
,   , x
n
  的最小值时，L()取最大值，故的最大似然估计量
为max{| X |}. 故答案选（C）.
i
1in
5.【答案】（1） pˆ  X ， pˆ  X ；
1 2（2）是无偏估计，证明略（数一）； E X 
1
n
n
i
1
E X
i

1
n
n
i
1
p  p （数三）
【解析】（1）由题意得，矩估计值为 x  p ，则矩估计量为 pˆ  X .
1
似然函数为 L ( p )  p
n
i1 xi
( 1  p )
n 
n
i1 xi
 p n x ( 1  p ) n  n x
两边取对数，得： l n L ( p )  n x l n p  n ( 1  x ) l n ( 1  p )
dlnL(p) nx n(1x)
令   0，解得
dp p 1 p
p  x ，故最大似然估计量为 pˆ  X .
2
（2）由于 ˆp
1
 ˆp
2
 X ， E X 
1
n
n
i
1
E X
i

1
n
n
i
1
p  p ，即相应的估计量都为无偏估计
量（数一）.
6.【答案】B
【解析】设总体 X 的分布函数为 F ( x ) ，概率密度为 f ( x ) ， X
m a x
的分布函数为F (x)，
m
概率密度为 f
m
( x ) ，由于总体 X  U  0 ,   ，故
f ( x ) 
 1
, 0
0 ,

其
x
他

,
, 
 F ( x ) 
 0 , x
x
,
1 , x

0


0 ,
x
,
 , 


当 0  x  时，
F (x) P{X  x} P{max{X ,X , ,X } x}
m max 1 2 n
 P{X  x,X  x, ,X  x} P{X  x}P{X  x} P{X  x}
1 2 n 1 2 n
[F(x)]n
于是， X
m a x
的概率密度为 f
m
( x ) F
m
( x ) n  F ( x )  n 1 f ( x )
n
0
x
,
n
n
1
, 0
.
x , 
     

其

他
 
 nxn an
因此，E(aX ) axf (x)dxa dx . 要使aX 成为的无偏估计
max 0 m 0n n1 maxn1
量，则应有E(aX )，故a . 故答案选（B）.
max n
7.【答案】
ˆ
 m a x { X
1
, X
2
, , X
n
}  ，（数一）不是无偏估计量；（数三） E (
ˆ
) 
n
n
 1
 
【解析】总体 X 的密度函数和分布函数分别为
f ( x ) 
 1
, 0
0 ,

其
x
他

,
,
 0,x0.

 x
 ，即F(x) ,0 x,


 1,x,

设 x
1
, x
2
, , x
n
为总体 X 的样本观察值，似然函数为
L ( ) 

0
1
n
其 ,
, 0
他
 x
i
 ,
( i  1 , 2 , , n )

 
当0 x (i1,2,,n)时，
i
L ( ) 
1
n
 0  ，且当越小时

L ( )  越大
所以的最大似然估计值为 ˆ maxx,x , ,x  ，的最大似然估计量为
1 2 n
ˆ
 m a x { X
1
, X
2
, , X
n
}  . 因为
ˆ
 m a x { X
1
, X
2
, , X
n
}  的分布函数为
0,x0,

xn
F (x) P(max{X , ,X } x) P(X  x)P(X  x) Fn(x) ,0 x,
ˆ 1 n 1 n n

1,x,

nxn1
 ,0 x,
ˆ
则的概率密度为 f (x) n
ˆ
 0,其他.
ˆ  nxn1 n
E() x dx ，所以
0 n n1
ˆ
 m a x { X
1
, X
2
, , X
n
}  不是的无偏估计量.
ˆ ˆ
8.【答案】（数一）比 更有效；（数三）请参照解析
1 2
【解析】因为总体X 在区间(0,)内服从均匀分布，所以分布函数为F ( x ) 
 0 , x
x
, 0
1 , x



0
x
,

.
, 


令 U  m1

ai x3 { X }i ， V  m1

i n
i 3
{ X }i ，则
F
U
( u ) 

P
P
(
(
U
X
1


u )
u )

P
P
( X
 m
2
a

x
u
(
)
X
P
,
1
( X
X
3
2
,

X
u
)
1
)


u
0 

 

1

  P ( X
, u
3
u 
, 0 
, u

1



u
u
0
,
,

,
X
2
,
 u , X
1
 u )



F
V
( v ) 



P
1
1
(


0
1
V  v )  P ( m i n
P ( X  v , X 
1 2
[ 1  P ( X  v ) ]
1
, v 
3
v  
 1  , 0
 
 
{ X
v ,
[ 1 
0 ,
,
1
X
P
X
1
(
2

X
, X
v )

2
3

}
v

1 
) ]
v )
P
[ 1 

( X
P
1
1
(


X
P
v
1
( m
) P
 v
i n
( X
) ]
{ X
2

1
,
v
X
)
2
P
,
(
X
X
}
3
3


v
v )
)


1 , v


v 
,
. 

3x2 3 x 2
 , 0 x,   1  ,0 x,
则U,V 的密度函数分别为 f (x)3 ， f (x) 
U V
 0, 其他,  0, 其他,
因为 E
 4
3
U


4
3
E  U  
4
3

0
x 
3 x 2
3
d x 

，

2
 3 x
E(4V)4E(V)4 x 1  dx
0  
4
ˆ
所以  max{X }与
1 3 1i3 i
ˆ
2
 4 m1

i n
i 3
{ X }i  都是参数的无偏估计量.
 3x2 3  2 32
D(U) E(U2)[E(U)]2  x2 dx




0 3 4  80D ( V )  E ( V 2 )  [ E ( V ) ] 2  
0
x 2 
3 
1 
x  2
d x 
 1
4
 2

3
8 0
2  

 
4  16 32 2
ˆ D() D  U     ，
1 3  9 80 15
D ( ˆ
2
)  D  4 V   1 6 
3
8 0
2

3
5
2  

因为 D (
ˆ1
)  D (
ˆ
2
)   ，所以
ˆ1 ˆ
比 更有效.
2