文档内容
北京一零一中 2022-2023 学年度第一学期
初三练习数学
一、选择题：本大题共8小题，共16分．
1. 下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选B．
2. 已知一元二次方程 ，下列判断正确的是（ ）
A. 该方程有两个不相等的实数根 B. 该方程有两个相等的实数根
C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】把a=1，b=1，c=1代入判别式Δ=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】解：在方程x2+x+1=0中，a=1，b=1，c=1，
∴Δ=12-4×1×1=-3＜0，
∴方程x2+x+1=0没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac的关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
3. 二次函数 的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令 ，代入解析式即可求解．
【详解】解：由 ，令 ，解得
∴二次函数 的图象与y轴的交点坐标是
故选A．
【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点问题，理解题意是解题的关键．
4. 若 在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．
【详解】解：∵二次根式 在实数范围内有意义，
∴被开方数x+2为非负数，
∴x+2 0，
解得：x -2
在数轴上表示为：
故答案选D【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件．
5. 如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点E，则 的长为（
）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线和平行四边形的性质，推出 是等腰三角形，从而推出 ，再用
进行计算即可．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质．熟练掌握相关性质是解题的关键．当题目中既有
平行又有角平分线时，往往会有等腰三角形．
6. 已知二次函数 （m为常数）的图象与x轴的一个交点为 ，则关于x的一元二次方
程 的两个实数根是（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴交点和一元二次方程根的关系进行解答．
【详解】∵二次函数 （m为常数）的图象与x轴的一个交点为 ，
∴关于x的一元二次方程 的一个根是 ，
∵二次函数 （m为常数）的图象的对称轴为 ，
∴关于x的一元二次方程 的两个根为 ， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数解析式与一元二次方程的关系．
7. 太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法 为了确定视
频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻 在一定条件
下，直杆的太阳影子长度 单位：米 与时刻 单位：时 的关系满足函数关系
是常数 ，如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的
时刻t是（）
A. B. 13 C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：
，解得 ，∴l=0.15t2-4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t=- = ≈13.33时，该地影子最短；
故选C．
【点睛】错因分析 中等题.失分原因：没有理解本题考查的真正意图，通过二次函数图象上的点结合函数
性质，推断对称轴位置.
8. 关于x的方程 ，有下面5个说法：
①存在实数k，使得方程无实数根；
②存在实数k，使得方程恰有1个实数根；
③存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根；
④存在实数k，使得方程恰有3个不同实数根；
⑤存在实数k，使得方程恰有4个不同实数根；
其中正确的说法有（ ）个
A. 0 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，则原方程可变形为 （1），利用一元二次方程根的判别式可得
，再分三种情况讨论，结合一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，即可求解．
【详解】解：设 ，
则原方程可变形为 （1），
∴ ，
∴当 ，即 时，方程（1）没有实数根，
即存在实数k，使得方程无实数根，故①正确；
当 ，即 时，方程（1）有两个相等实数根 ，∴ ，
解得： ，
即存在实数k，使得方程恰有1个实数根，故②正确；
当 ，即 时，方程（1）有两个不相等实数根 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 无实数根， 有2个不相等的实数根，
∴存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根，故③正确；不存在实数k，使得方程恰有3个或4个不同实
数根，故④⑤错误；
∴正确的说法有3个．
故选：C
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是用换元的思想，将原方程转化为较简单
的方程，本题分类比较复杂，属于较难试题．
二、填空题：本大题共8小题，共16分．
9. 方程 的根是______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先利用解一元二次方程的方法求解即可得出答案．
【详解】解： ．
移项，得 ．
两边同时开方，得 ．
则 ， ．故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键．
10. 分解因式：3a2﹣6a+3=____．
【答案】3（a﹣1）2．
【解析】
【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．
故答案为：3（a﹣1）2．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
11. 将抛物线 沿y轴向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线 沿y轴向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是掌握抛物线的平移规律．
12. 已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半
径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=________(度)
【答案】60
【解析】
【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度
数．
【详解】解：连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故答案为60
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到
OB=OA=AB．
13. 若关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2-8m+3的值为__________．
【答案】3．
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2﹣4m=0，将其代入2m2﹣8m+3中即可得出结论．
【详解】∵关于x的方程x2﹣mx+m=0有两个相等实数根，
∴△=（﹣m）2﹣4m=m2﹣4m=0，
∴2m2﹣8m+3=2（m2﹣4m）+3=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
14. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是 ，则
汽车刹车后前进了 _____m停下来．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∵ ，∴当 时，s有最大值，最大值为 ，
∴汽车刹车后到停下来前进了 m．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
15. 如图，线段 的垂直平分线 、 相交于点O，若 ，则 的度数是
______________．
【答案】72°##72度
【解析】
【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠BAO+∠OCA)，
再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =54°−∠BAO，∠COF =54°−∠OCA，利用平角的定义
得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180°，计算即可求解．
【详解】解：如图，连接BO并延长，∵ 、 分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90°，
∴∠BAO=∠ABO，∠OCB=∠CBO，
∴∠2=2∠OAG，∠3=2∠OCB，∠OGD=∠OFE=90°−36°=54°，
∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠OAG+∠OCB)，
∵∠OGD=∠OAG+∠AOG，∠OFE=∠OCB+∠COF，
∴∠AOG =54°−∠OAG，∠COF =54°−∠OCB，
而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180°，
∴54°−∠OAG+2∠OAG+2∠OCB+54°−∠OCB+36°=180°，
∴∠OAG+∠OCB=36°，
∴∠AOC=2(∠BAO+∠OCA)=72°，
故答案为：72°．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅
助线的作法，掌握整体思想与数形结合思想的应用是解题关键．
16. 抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过 ， 两点，下列四个结论：
①一元二次方程 的根为 ， ；
②若点 ， 在该抛物线上，则 ；
③对于任意实数 ，总有 ；
④对于 的每一个确定值，若一元二次方程 （ 为常数， ）的根为整数，则 的值
只有两个．其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】①③
【解析】
【分析】①根据二次函数与一元二次方程的联系即可得；②先点 ， 得出二次函数的对称
轴，再根据二次函数的对称性与增减性即可得；③先求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数图象的平
移规律即可得；④先将抛物线 向下平移 个单位长度得到的二次函数解析式为
，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】 抛物线 经过 ， 两点
一元二次方程 的根为 ， ，则结论①正确
抛物线的对称轴为
时的函数值与 时的函数值相等，即为
当 时，y随x的增大而减小
又
，则结论②错误
当 时，
则抛物线的顶点的纵坐标为 ，且
将抛物线 向下平移 个单位长度得到的二次函数解析式为
由二次函数图象特征可知， 的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上即 恒成立
则对于任意实数 ，总有 ，即 ，结论③正确
将抛物线 向下平移 个单位长度得到的二次函数解析式为
函数 对应的一元二次方程为 ，即
因此，若一元二次方程 的根为整数，则其根只能是 或 或
对应的 的值只有三个，则结论④错误
综上，结论正确的是①③
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数图象的平移问题、二次函数与
一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键．
三、解答题：本大题共12小题，第17-20，22，23，25题，每题5分，第21，24，26题，每
题6分；第27题7分，第28题8分，共68分．
17. 计算： ．
【答案】7-2
【解析】
【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，绝对值的意义和二次根式的性质进行化简，然后再
进行计算即可．
【详解】解：=
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则，绝对值的意义
和二次根式的性质，是解题的关键．
18. 解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】方程利用配方法求出解即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19. 求不等式组 最小整数解．
的
【答案】-2
【解析】
【分析】先求出各个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；所以这个不等式组的解集是 ，
∴最小整数解是 ．
【点睛】题目主要考查求不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解题关键．
20. 如图， 与 都是等边三角形，连接 ，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据 ABC与 AED都是等边三角形，由等边三角形的性质得到AC=AB，AD=AE，
∠CAB=∠DAE△，从而可△证利用SAS证 CAD≌△BAE，即可由全等三角形的性质得出结论．
【详解】证明：∵△ABC与 AED都是△等边三角形，
∴AC=AB，AD=AE，∠CAB=△∠DAE，
∴∠CAB-∠DAB=∠DAE-∠DAB，即∠CAD=∠BAE，
∴△CAD≌△BAE(SAS)，
∴CD=BE．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角
形的判定与性质是解题的关键．
21. 在二次函数 中，部分x， 的对应值如下表：
x …… 0 1 2 3 ……
…… 2 3 2 ……（1）求该函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（3）作直线 ，当 在 的图象下方时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据表中的数据选取两个点代入解析式求解即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据函数图象得出 在 的图象下方时x的取值范围．
【小问1详解】
由题意可得将(-1，-1)和(1，3)带入解析式中，
，
解得 ，
∴该函数解析式为 ；
【小问2详解】
抛物线的图象如图所示：【小问3详解】
观察函数图象，当 在 的图象下方时，x的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
22. 如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC平分∠BAD．点 E 在 AB 边上，且 CE∥AD．
（1）求证：四边形 AECD 是菱形；
（2）如果点E是AB 的中点，AC=8，EC=5，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）36
【解析】
【分析】（1）由AB∥CD，CE∥AD可得四边形AECD是平行四边形，根据平行线的性质、角平分线的定
义可得∠DAC＝∠ACD，于是可得AD＝CD，进一步即可推出结论；（2）根据菱形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可推知△ABC是直角三角形，然后根据
直角三角形斜边中线的性质可得AB的长，进而可根据勾股定理求出BC的长，于是△ABC的面积可得，再
结合直角三角形的性质和菱形的性质即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠EAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE＝CE，
∴∠B＝∠ECB，
∵∠ACE+∠ECB+∠BAC+∠B＝180°，
∴∠ACE+∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°；
∵点E是AB的中点，EC＝5，
∴AB＝2EC＝10，
∴BC＝ 6．
∴S ＝ BC•AC＝24．
△ABC
∵点E是AB的中点，四边形AECD是菱形，
∴S ＝S ＝S ＝12．
△AEC △EBC △ACD
∴四边形ABCD的面积＝S +S +S ＝36．
△AEC △EBC △ACD【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，
属于常考题型、熟练掌握上述知识是解题的关键．
23. 为了解我国2022年第一季度25个地区快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收
入（单位：亿元）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
a．排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：
534.9，437.0，270.3，187.7，104.0
b．其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
快递业务收入
x
频数 6 10 1 3
c．第一季度快递业务收入的数据在 这一组的是：
20.2 20.4 22.4 24.2 26.5 26.5 28.5 34.4 39.1 39.8
d．排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如
下：
前5位的地 其余20个地 全部25个地
区 区 区
平均数 p 29.9 n
中位数 270.3 m 28.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为______________；
（2）在下面的3个数中，与表中n的值最接近的是______________（填写序号）
①75； ②80； ③85．
（3）根据（2）中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务收入约为______________亿元．
【答案】（1）25.35；
（2）③； （3）8500．
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；（2）由平均数的计算法则进行计算即可；
（3）利用（2）中的结果进行计算即可．
【小问1详解】
解：将这20个地区的第一季度快递业务收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为
=25.35，即中位数m=25.35，
故答案为：25.35；
【小问2详解】
解：∵n=
=85.276≈85，
∴表中n的值最接近的是85；
所以答案为:③；
【小问3详解】
解：85×25×4=8500（亿元），
故答案为：8500．
【点睛】本题考查频数分布表，平均数、中位数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数的定义及计算方
法是正确解答的前提．
24. 已知关于x的方程
（1）求证：此方程总有实数根；
（2）若m为整数，且此方程有两个互不相等的非负整数根，求m的值．
【答案】（1）见解析；
（2）m=1或4．
【解析】
【分析】（1）分类讨论：当m=0时，原方程化为-4x+4=0，解得x=1；当m≠0时，计算判别式得Δ=4
，由于4 ≥0，则不论m为任何实数时总有两个实数根，所以不论m为任何实数时，关于
x的方程m +4x+4-m=0总有实数根；（2）根据求根公式可得 ， ，再根据方程有两
的
个互不相等 非负整数根，得到m=1或2或3，再进行讨论得到m的值．
【小问1详解】
证明：当m=0时，此方程为-4x+4=0，解得x=1.即m=0时此方程有一个实数根.
当m 0时，此方程为一元二次方程
∵
≥0，
∴方程总有两个实数根．
综上所述,无论m取何值方程均有实数根.
【小问2详解】
解：由题意得：m≠0，
∵ ，
∴ ， ，
∵方程有两个互不相等的非负整数根，
∴整数m=1或2或4．
当m=1时， ，符合题意；
当m=2时， ，不符合题意；
当m=4时， ，符合题意．
∴m=1或4．
【点睛】本题考查了一元二次方程a +bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ= -4ac：当Δ>0，方程有两个不
相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的
定义以及一元二次方程的解法．
25. 某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．为尽快减少库存，商场决定降价销售，市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）如果降价x元，每星期可以卖出______________件，x的取值范围是______________；
（2）如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） ；0≤x≤20；
（2）定价为每件57.5元时，可获得最大利润6125元．
【解析】
【分析】（1）根据每降价1元，每星期可多卖出20件，即可得出降价x元，每星期可卖出 件；
根据降价之后的售价不能低于每件的进价，即可得出x的取值范围．
（2）设降价x元，对应的利润为y元，列出二次函数的解析式，再将二次函数解析式写成顶点式，即可求
出最大利润．
【小问1详解】
解：∵每降价1元，每星期可多卖出20件，
∴降价x元，每星期可多卖出20x件，
∵原来每星期可卖出300件，
∴降价x元，每星期可卖出 件；
∵降价之后的售价不能低于每件的进价，因此0≤x≤20；
故答案为： ；0≤x≤20；
【小问2详解】
的
解：设降价x元，对应 利润为y元，根据题意得，
，
∴当 时，y有最大值，最大值为6125，此时， （元），
因此定价为每件57.5元时，可获得最大利润6125元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用题，理解题意并根据题意列出函数表达式是本题的关键．
26. 有这样一个问题：探究函数y= x2+ 的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y= x2+ 的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y= x2+ 的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 …
… ﹣ ﹣ ﹣ m …
y
标格中m的值为m= ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函
数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1， ），结合函数的图象，写出该
函数的其它性质（一条即可） ．
【答案】（1）x≠0；（2） ；（3）见解析；（4）见解析
【解析】
【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【详解】（1）x≠0；（2）当x=3 时， ；
（3）注：要用平滑的曲线连接，图象不能与y轴相交；
（4）函数的性质有很多．如：
①当x<0时，y值随着x值的增大而减小；
②该函数没有最大值；
③该函数图象与y轴没有交点．
27. 阅读下列材料：
若关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 ，则 ， ．
解决下面问题：
已知关于x 一元二次方程 有两个非零不等实数根 ，设 ．
的
（1）求n的取值范围；
（2）试用含n的代数式表示出m；
（3）是否存在这样的n值，使m的值等于4？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） 且 ；
（2）m= ；
（3） ．
【解析】【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得 ，然后把所给代数式通分后代入整理即可；
（3）令（2）中化简的结果等于4列方程求解即可．
【小问1详解】
解：将方程整理得： ，
∵方程有两个非零不等实数根，
∴ 且 ，
解得 且 ，
∴ 的取值范围是 且 ．
【小问2详解】
的
解：∵ 是关于 一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
解：当 时， ，即 ，解得 ，
经检验， 不符合题意，舍去，
∴使 的值存在，此时 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的关系根的判别式及根与系数的关系，以及一元二次方程的解法，熟练
掌握根的判别式及根与系数的关系是解答本题的关键．28. 在等腰直角三角形 中， ．点P为直线 上一个动点（点P不与点A，
B重合），连接 ，点D在直线 上，且 ．过点P作 于点P，点D，E在直线
的异侧，且 ，连接 ．
（1）如图1，当点P在线段 上时，请依题意补全图形1，并证明 ；
（2）如图2，当点P在 的延长线上时，请依题意补全图2，猜想 和 的位置关系和数量关系，
并证明你的结论；
（3）如果点P在直线 上运动（点P不与点A，B重合），请直接写出线段 之间的数量关
系（用等式表示）．
【答案】（1）见解析；
（2）补全图形见解析，BD=BE，BD⊥BE，证明见解析；
（3）当点P在线段AB上时， BP=BC-BE， 当点P在线段BA的延长线上时， BP =BE＋BC，当点
P在线段AB的延长线上时， BP =BE-BC．
【解析】
【分析】（1）依据题意，画出图形，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，由等腰三角形
的性质得到∠1=∠D根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）作AP延长线PG，先证明∠DPG=∠ACP=∠EPG，再证明 EPB≌△DPB，即可得出结论；
（3）分三种情况，①当点P在线段AB上时，②当点P在线段A△B的延长线上时，③当点P在线段BA的延
长线上时，分别求解即可得出结论．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示；证明： ∵∠BAC=90°，
∴∠ACP+∠APC=90°．
∵PE⊥PC，
∴∠ACP+∠BPE=90°．
∴∠ACP=∠BPE．
【小问2详解】
解：补全图形如图所示，
结论：BD=BE， BD⊥BE
证明：作AP延长线PG，如图，
∵PD=PC，
∴∠D=∠PCB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACP，
∵∠ABC=∠DBP，∠DPG=∠D+∠DBP，
∴∠DPG=∠PCB+∠ACB=∠ACP，
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，∵∠GPE+∠CPB+∠EPC=180°，
∴∠GPE+∠CPB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACP+∠CPB=90°，
∴∠ACP=∠GPE，
∴∠DPG=∠EPG，
∴∠DPB=∠EPB，
∵PB=PB，PD=PE，
∴△EPB≌△DPB(SAS)，
∴BD=BE，∠DBP=∠EBP，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠DBP=∠ABC=45°，
∴∠EBP=∠DBP=45°，
∴∠DBE=∠EBP+∠DBP=90°，
∴BD⊥BE．
【小问3详解】
解∶ 分三种情况，①当点P在线段AB上时， BP= BC- BE
如图，过P作PF⊥PB交BC于F，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵PD=PC，
∴∠1=∠D，
∵∠ACB=∠1+∠2=45°，∠ABC=∠D+∠=45°，
∴∠3=∠2，
即∠ACP=∠DPB；
∵PF⊥PB，∴∠BPF=90°，
∵EP⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠4+∠5=∠6+∠5，
∴∠4=∠6，
∵∠PBF=45°，
∴∠PBF=∠PFB=45°，
∴PB=PF，
在△PBE与△PFC中，
，
∴△PBE≌△PFC（SAS），
∴BE=FC，
∵BF= ，
∴BC=BF+FC= +BE．
∴ BP= BC- BE．
②当点P在线段AB的延长线上时，如图，过P作PF⊥PB交BC于F，
∵PF⊥PB，
∴∠BPF=90°，
∵EP⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠4+∠BPC=∠6+∠BPC=90°，
∴∠4=∠6，
∵∠PBF=45°，∴∠PBF=∠PFB=45°，
∴PB=PF，
在△PBE与△PFC中，
，
∴△PBE≌△PFC（SAS），
∴BE=FC，
∵BF=
∴BC=BF-FC= -BE．
∴ BP =BE+BC．
③当点P在线段BA的延长线上时， 如图， 过P作PF⊥PB交BD于F，
∵PF⊥PB，
∴∠BPF=90°，
由(2)知∶∠DBP=45°，BD=BE，
∴∠PFB=∠DBP=45°，
∴PF=BP，
∴BF= ，
由(2)知：∠DPB=∠EPB，
∴∠DPB-∠FPB=∠EPB-∠EPC，
∵∠FPB=∠EPC=90°，
∴∠DPF=∠CPB，
在△DPF与△CPB中，∴△DPF≌△CPB(SAS)，
∴DF=BC，
∴BF=BD-DF=BD-BC=BE-BC，
∴ BP =BE-BC．
【点睛】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三
角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
