文档内容
北京市西城外国语学校
2021—2022 学年度第二学期期中试卷
本试卷共6页，全卷共100分.考试时长100分钟，考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上
作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
一、单项选择题
1. 的立方根是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据立方根 的定义解答．
【详解】解：∵(-2)3=-8，
∴-8的立方根是-2，
故选：D．
【点睛】此题考查了立方根的定义：一个数的立方等于a，则这个数是a的立方根．
2. 利用数轴确定不等式组 的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别解不等式求出解集，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：解不等式x+1 2得x 1，
解不等式2x>-6得x>-3，
∴不等式组的解集为x 1，
故选：B．
【点睛】此题考查了利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握解不等式的方法及数轴的性质是解题的关键．3. 若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A. a+5＜b+5 B. C. 3a﹣2＞3b﹣2 D. ﹣4a＞﹣4b
【答案】C
【解析】
【分析】不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号 的方向不变；乘或除以一个
负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A．∵a＞b，
∴a+5＞b+5，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴ ，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴3a＞3b，
∴3a-2＞3b-2，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴-4a＜-4b，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不
等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变．
4. 如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB CD的是（ ）
A. ∠3=∠4 B. ∠D=∠DCE
C. ∠D+∠ACD=180° D. ∠1=∠2
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、由∠3=∠4，可以利用内错角相等，两直线平行得到 ，不能得到 ，
不符合题意；
B、由∠D=∠DCE，可以利用内错角相等，两直线平行得到 ，不能得到 ，不符合题意；
C、由∠D+∠ACD=180°，可以利用内错角相等，两直线平行得到 ，不能得到 ，不符
合题意；
D、由∠1=∠2，可以利用内错角相等，两直线平行得到得到 ，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁
内角互补，两直线平行是解题的关键．
5. 如图，直线a∥b，点 在直线 上，且 ， ，那么 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直的定义求出∠ABC=90°，得到∠3=90°-∠1=65°，由平行线的性质求出∠2=∠3=65°．
【
详解】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∵∠1=25°，
∴∠3=90°-∠1=65°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=65°，
故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行同位角相等，还考查了垂直的定义．
6. 已知 ， 满足方程组 ，则 的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过观察已知方程组中a，b的系数，根据加减法，即可得答案．
【详解】由 ，
②－①，可得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用等式的性质把两式相减是解题的关键．
7. 在实数范围内规定新运算“ ”，其规则是： ．已知不等式 的解集在数轴上如
图表示，则 的值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先根据运算法则变形不等式，然后再进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，解得： ，
从数轴上可知，不等式的解集为 ，
∴ ，解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式等知识点，区分在表示解集时 “空
心”和“实心”是解答本题的关键．
8. 已知 为非零有理数，下面不等式组中解集有可能为 的不等式组是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将解集化为 的形式，得到 ，根据不等式的形式判断可得．
【详解】解：∵-1 160 (不合题意),
【小问1详解】
解：∵ ，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1；
【小问2详解】
，理由如下：
设灯 射线转动a秒，
∴∠MAC=3a°，∠PBC=a°，
∴∠NAC=（180-3a）°，
∵∠BAN=45°，
∴∠BAC=∠BAN-∠NAC=（3a-135）°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACD-∠ACB
过点C作CE PQ，∵PQ MN，
∴PQ CE MN，
∴∠PBC=∠ECB，∠NAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ECB+∠ACE=a°+（180-3a）°=（180-2a）°，
∴∠BCD=90°-（180-2a）°=（2a-90）°，
∴ ；
【小问3详解】
设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，如图1，
∵PQ MN，
∴∠PBD=∠BDA，
∵AC BD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD，
∴3t=1（40+t），
解得 t=20；
②当60＜t＜120时，如图2，
∵PQ MN，
∴∠PBD+∠BDA=180°，
∵AC BD，
∴∠CAN=∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN=180°，
∴1•（40+t）+（3t-180）=180，
解得 t=80，
③当120 160(不合题意),
综上所述，当t=20秒或80秒时，两灯的光束互相平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求
解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
五、选做题
25. 我们规定： 表示 这三个数的平均数， 表示 这三个数中最小的数．
例如： ， ；
， ．
（1） _______；
（2）若 ，求 的取值范围________；
（3）若 ，求 的值．
【答案】（1）c或-3；
（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据公式求三个数中的最小的数即可；
（2）根据公式得到 ，解不等式组即可；
（3）根据公式得到 ，对于 分三种情况：①当x=2时，②当x<2时，当x>2时，比较三者的大小得到方程计算解答．
【小问1详解】
解：当 时， c，
当c>-3时， -3，
故答案为c或-3；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
解得 ；
故答案为：
【小问3详解】
，
对于 ：
①当x=2时，x+2=4，x=4， =4，
∴2-x=4，解得x=-2（舍去）；
②当x<2时，2x2时，x+2>4，2x>4， =4，
∴2-x=4，解得x=-2（舍去）；
综上， ．
【点睛】此题考查了不等式的性质，解不等式组，分类讨论思想的应用是解题的关键．
26. 如图1，AM∥BN，点 ，点 分别在射线 ， 上，且 ．（1）求证：AB∥DC；
（2）连接 ，作 ， 交 于点 ，作 的平分线 交 于点 （如图
2），将 沿 方向水平向右平移．
①在 的移动过程中， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间
的数量关系，并证明：若变化，试说明理由；
②当 运动到 时，求证： ．
【答案】（1）见解析；
（2）①不变，∠AEB=2∠ACB；②见解析
【解析】
【分析】（1）利用AM BN推出∠B+∠A=180°，由∠BAD=∠BCD得到∠B+∠BCD=180°，即可推出AB
CD；
（2）①根据AM BN推出∠DAC=∠ACB，由此得到 =∠ACB，求出∠AEB=2∠ACB；
②由AB CD推出∠BAC=∠ACD，得到∠BAC=∠AFB，进而得到
∠BAF+∠FAE+∠EAC=∠FAE+2∠ACB，理由角平分线定义得到 ．
【小问1详解】
证明：∵AM BN，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴AB CD；
【小问2详解】
① 与 之间的数量关系不发生变化，理由如下：∵AM BN，
∴∠DAC=∠ACB，
∵ ，
∴ =∠ACB，
∴∠AEB=∠EAC+∠ACB=2∠ACB；
②∵AB CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵ ，
∴∠BAC=∠AFB，
∴∠BAF+∠FAE+∠EAC=∠FAE+2∠ACB，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠FAE，
∴ ．
【点睛】此题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
