文档文本内容
北京市西城外国语学校
2021—2022 学年度第二学期期中试卷
本试卷共6页，全卷共100分.考试时长100分钟，考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上
作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
一、单项选择题
1. 的立方根是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据立方根 的定义解答．
【详解】解：∵(-2)3=-8，
∴-8的立方根是-2，
故选：D．
【点睛】此题考查了立方根的定义：一个数的立方等于a，则这个数是a的立方根．
2. 利用数轴确定不等式组 的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别解不等式求出解集，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：解不等式x+1 2得x 1，
解不等式2x>-6得x>-3，
∴不等式组的解集为x 1，
故选：B．
【点睛】此题考查了利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握解不等式的方法及数轴的性质是解题的关键．3. 若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A. a+5＜b+5 B. C. 3a﹣2＞3b﹣2 D. ﹣4a＞﹣4b
【答案】C
【解析】
【分析】不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号 的方向不变；乘或除以一个
负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A．∵a＞b，
∴a+5＞b+5，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴ ，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴3a＞3b，
∴3a-2＞3b-2，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴-4a＜-4b，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不
等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变．
4. 如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB CD的是（ ）
A. ∠3=∠4 B. ∠D=∠DCE
C. ∠D+∠ACD=180° D. ∠1=∠2
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、由∠3=∠4，可以利用内错角相等，两直线平行得到 ，不能得到 ，
不符合题意；
B、由∠D=∠DCE，可以利用内错角相等，两直线平行得到 ，不能得到 ，不符合题意；
C、由∠D+∠ACD=180°，可以利用内错角相等，两直线平行得到 ，不能得到 ，不符
合题意；
D、由∠1=∠2，可以利用内错角相等，两直线平行得到得到 ，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁
内角互补，两直线平行是解题的关键．
5. 如图，直线a∥b，点 在直线 上，且 ， ，那么 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直的定义求出∠ABC=90°，得到∠3=90°-∠1=65°，由平行线的性质求出∠2=∠3=65°．
【
详解】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∵∠1=25°，
∴∠3=90°-∠1=65°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=65°，
故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行同位角相等，还考查了垂直的定义．
6. 已知 ， 满足方程组 ，则 的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过观察已知方程组中a，b的系数，根据加减法，即可得答案．
【详解】由 ，
②－①，可得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用等式的性质把两式相减是解题的关键．
7. 在实数范围内规定新运算“ ”，其规则是： ．已知不等式 的解集在数轴上如
图表示，则 的值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先根据运算法则变形不等式，然后再进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，解得： ，
从数轴上可知，不等式的解集为 ，
∴ ，解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式等知识点，区分在表示解集时 “空
心”和“实心”是解答本题的关键．
8. 已知 为非零有理数，下面不等式组中解集有可能为 的不等式组是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将解集化为 的形式，得到 ，根据不等式的形式判断可得．
【详解】解：∵-1<x<1，
∴ ，
∴ ，
只有B的形式和 的形式一样，
故选：B．
【点睛】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行变形计算是解题的关键．
二、填空题
9. 6的平方根是______．
【答案】
【解析】【分析】利用平方根的定义进行计算，即可得到答案．
【详解】解：6的平方根是 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟记定义进行计算．
10. 不等式 的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的性质计算即可．
【详解】解： ，
得 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解不等式，正确掌握不等式的性质是解题的关键．
11. 如图，AB∥CD， ， ，则 ________ ．
【答案】40
【解析】
【分析】由 得到 ，再利用三角形的外角定理可以求出 ．
【详解】∵ ，∠C＝70°，∴ ，
又∵∠FEB＝∠A＋ ，而∠A＝30°，
∴ ＝∠FEB－∠A＝70°－30°＝40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理，利用外角定理得到 ＝∠FEB－∠A是解题关
键．三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
12. 不等式 的最大正整数解为________．
【答案】5
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解．
【详解】解：移项得： ，
系数化为1得： ，
∴不等式 的最大正整数解是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查解不等式的能力，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解．解不等式要用到
不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两
边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号
的方向改变．
13. 如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是________平
方米．
【答案】162
【解析】
【分析】利用平移的性质得到草地部分的图形为一个长方形，利用公式计算即可．
【详解】解：草地部分的面积为 152（平方米），故答案为：162．
【点睛】此题考查了利用平移的性质解决实际问题，正确理解平移的性质是解题的关键．
14. 如图，直线 ， ，垂足为 ， 与直线 相交于点 ，若 ，则 ________
．
【答案】118
【解析】
【分析】过点B作BE l，根据平行线的性质求出∠ABE=∠BDF=90°，根据平行公理的推论推出BE
1
l，得到∠EBC=∠1=28°，由此求出∠2的度数．
2
【详解】：过点B作BE l，
1
∵ ，
∴∠BDF=90°，
∴∠ABE=∠BDF=90°，
∵l l，
1 2
∴BE l，
2
∴∠EBC=∠1=28°，
∴∠2=∠ABE+∠EBC=90°+28°=118°，
故答案为：118．
【点睛】此题考查了平行线的性质及判定求角度，正确掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．
15. 已知 中只有3个整数，则 的范围是________．【答案】
【解析】
【分析】根据题意确定整数，由此得到答案．
【详解】解：∵-3<x<m中只有3个整数，
∴3个整数分别为-2、-1、0，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了不等式组的整数的个数求参数，正确理解不等式组的整数个数问题是解题的关键．
16. 如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按
顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α（0°＜α＜180°）．当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）
时，写出旋转角α的所有可能的度数为 ．
【答案】15°，45°，105°，135°，150°
【解析】
【分析】要分5种情况进行讨论：AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、DE∥AC、AE∥BC分别画出图形，再分别计
算出度数即可．
【详解】解：当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的情况如下图所示：①当AD∥BC时，α=15°；
②当DE∥AB时，α=45°；
③当DE∥BC时，α=105°；
④当DE∥AC时，α=135°；
⑤当AE∥BC时，α=150°．
故答案为15°，45°，105°，135°，150°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握旋转的性质不会改变图形的形状及大
小．
三、解答题
17. 求下列各式的 值．
（1）
（2）
【答案】（1）x=-4；
（2）x=4或x=-4
【解析】
【分析】（1）根据立方根的定义求方程的解；
（2）根据平方根的定义解方程．
【小问1详解】
解：x3=-64，
x=-4；【小问2详解】
，
，
x2=16，
x=4或x=-4．
【点睛】此题考查了利用平方根定义和立方根定义求方程的解，正确理解并掌握定义是解题的关键．
18. 计算：
（1）
（2）
（3）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
（4）求不等式组 的整数解．
【答案】（1）-6； （2） ；
（3）x -2.5，数轴见解析；
（4）1、2、3．
【解析】
【分析】（1）分别化简算术平方根，再计算加减法；
（2）根据定义分别求立方根，化简绝对值，计算乘方，再计算加减法；
（3）根据不等式的性质求解集，并表示在数轴上即可；
（4）分别解不等式，即可得到不等式组的解集．
【小问1详解】
解：=
=6-12
=-6
【小问2详解】
=
=
【小问3详解】
4（x+1） 3（2x-1）+12
4x+4 6x-3+12
-2x 5
x -2.5
解集表示在数轴上：
【小问4详解】
，
解不等式①得x 1；
解不等式②得x<4；
∴不等式组的解集为1 x<4，
∴不等式组的整数解为1、2、3．
【点睛】此题考查了计算能力，实数混合运算，解一元一次不等式及求一元一次不等式组的整数解，正确
掌握实数的混合运算法则及不等式的性质是解题的关键．
19. 如图，四边形 中，AD∥BC（1）画线段 ，垂足为 ，画直线 ，垂足为 ；测得点 到 的距离为________
（精确到1cm）；测得点 到 的距离为________ （精确到1cm）．
（2）连接 ，不测量比较下列两条线段的大小： ________ （用“＞”或“＜”或“=”填空）依
据是________．
【答案】（1）22，10；
（2）<，垂线段最短
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义作图即可，利用直尺测量线段CE、CF的长度可得对应的距离；
（2）根据垂线段最短可得CE<CA．
【小问1详解】
解：如图，垂线段CE，CF即为所求，
经测量CE=22cm，CF=10cm，
∴测得点 到 的距离为22 ；测得点 到 的距离为10cm，
为
故答案 ：22，10；
【小问2详解】
∵CE⊥AB，
∵根据垂线段最短可知CE<CA，
故答案为：<，垂线段最短．
【点睛】此题考查了作垂线，垂线段最短的性质的应用，点到直线的距离，正确作出图形理解点到直线的
距离是解题的关键．
20. 完成下面的证明.已知：如图， 是 平分线上一点，DE∥BC交 于点 ．
求证： ．
证明：∵DE∥BC，
∴ ________（________），
________（________）．
∵ 平分 ，
∴ ________．
∴ （________）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质及角的平分线定义解答．
【详解】证明：∵DE BC，
∴ ABC（两直线平行，内错角相等），
DBC（两直线平行，同位角相等）．
∵ 平分 ，
∴ DBC．
∴ （等量代换），
为
故答案 ：ABC；两直线平行，内错角相等；DBC；两直线平行，同位角相等；DBC；等量代换．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
21. 已知关于 、 的方程组 的解 ， 都是非负数，求 的取值范围．
【答案】
【解析】【分析】利用加减法解方程组求出解，利用方程组的解都是非负数得到 ，求解即可．
【详解】解： ，
①+②得2x=4a+2，
解得x=2a+1，
将x=2a+1代入①，得y=a+3-2a-1=-a+2，
∵方程组的解都是非负数，
∴ ，
解得 ．
【点睛】此题考查了方程组与不等式组的结合，正确掌握解方程组及不等式组的解法是解题的关键．
22. 如图，已知：E，F分别是AB和CD上的点，DE，AF分别交BC与点G，H， ，
，求证： .
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件，先判定AF∥ED和AB∥CD，然后利用平行线的性质来求证．
【详解】证明：∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，
注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦
然．
四、解答题
23. 为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A型和B型两种公交车共
10辆，其中每台的价格，年均载客量如表：
A型 B型
价格（万元/辆） a b
年均载客量（万人/年/辆） 60 100
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共
需350万元
（1）求购买每辆A型公交车和每辆B型公交车分别多少万元？
（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车年均载客总和
不少于680万人次，有哪几种购车方案？请你设计一个方案，使得购车总费用最少．
【答案】（1）购买每辆A型公交车100万元，购买每辆B型公交车150万元；（2）购买A型公交车8辆
时，购车的总费用最小，为1100万元．
【解析】
【分析】（1）根据“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B
型公交车1辆，共需350万元”列方程组求解可得；
（2）设购买A型公交车x辆，则购买B型公交车（10-x）辆，根据“总费用不超过1200万元、年均载客总
和不少于680万人次”求得x的范围，设购车的总费用为W，列出W关于x的函数解析式，利用一次函数
的性质求解可得．
【详解】(1)根据题意,得：
解得：
答：购买每辆A型公交车100万元，购买每辆B型公交车150万元；(2)设购买A型公交车x辆,则购买B型公交车(10−x)辆，
根据题意得：
解得：
设购车的总费用为W，
则W=100x+150(10−x)=−50x+1500，
∵W随x的增大而减小，
∴当x=8时，W取得最小值，最小值为1100万元．
【点睛】考查二元一次方程组，一元一次不等式组以及一次函数的应用，读懂题意，找到题目中的等量关
系或者不等关系是解题的关键.
24. 长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤
的情况．如图1，灯 射线自 顺时针旋转至 便立即回转，灯 射线自 顺时针旋转至 便立
即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯 转动的速度是 秒，灯 转动的速度是 秒，且 ， 满足
．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且 ．
（1）求 ， 的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯 射线到达 之前，若射出的光束交于点 ，过 作 交
于点 ，请写出在转动过程中 与 的数量关系并证明．
（3）如图1，若灯 射线先转动40秒，灯 射线才开始转动，在灯 射线到达 之前，直接写出 灯
转动多少秒时两灯的光束互相平行．
【答案】（1）a=3，b=1；（2） ；
（3）20或80
【解析】
【分析】（1）根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性得到a-3=0，b-1=0，即可求出a、b；
（2）设灯 射线转动a秒，得到∠MAC=3a°，∠PBC=a°，求出∠BAC =（3a-135）°，过点C作CE
PQ，得到∠ACB=∠ECB+∠ACE=（180-2a）°，进而求出∠BCD=（2a-90）°，即可推出
；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜60时，根据3t=1•
（40+t），可得 t=20；当60＜t＜120时，根据1•（40+t）+（3t-180）=180，可得t=80；③当120<t< l 60
时，3t- 360=t+40,解得t=200> 160 (不合题意),
【小问1详解】
解：∵ ，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1；
【小问2详解】
，理由如下：
设灯 射线转动a秒，
∴∠MAC=3a°，∠PBC=a°，
∴∠NAC=（180-3a）°，
∵∠BAN=45°，
∴∠BAC=∠BAN-∠NAC=（3a-135）°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACD-∠ACB
过点C作CE PQ，∵PQ MN，
∴PQ CE MN，
∴∠PBC=∠ECB，∠NAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ECB+∠ACE=a°+（180-3a）°=（180-2a）°，
∴∠BCD=90°-（180-2a）°=（2a-90）°，
∴ ；
【小问3详解】
设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，如图1，
∵PQ MN，
∴∠PBD=∠BDA，
∵AC BD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD，
∴3t=1（40+t），
解得 t=20；
②当60＜t＜120时，如图2，
∵PQ MN，
∴∠PBD+∠BDA=180°，
∵AC BD，
∴∠CAN=∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN=180°，
∴1•（40+t）+（3t-180）=180，
解得 t=80，
③当120<t< l60时，3t- 360=t+40,
解得t=200> 160(不合题意),
综上所述，当t=20秒或80秒时，两灯的光束互相平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求
解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
五、选做题
25. 我们规定： 表示 这三个数的平均数， 表示 这三个数中最小的数．
例如： ， ；
， ．
（1） _______；
（2）若 ，求 的取值范围________；
（3）若 ，求 的值．
【答案】（1）c或-3；
（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据公式求三个数中的最小的数即可；
（2）根据公式得到 ，解不等式组即可；
（3）根据公式得到 ，对于 分三种情况：①当x=2时，②当x<2时，当x>2时，比较三者的大小得到方程计算解答．
【小问1详解】
解：当 时， c，
当c>-3时， -3，
故答案为c或-3；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
解得 ；
故答案为：
【小问3详解】
，
对于 ：
①当x=2时，x+2=4，x=4， =4，
∴2-x=4，解得x=-2（舍去）；
②当x<2时，2x<x+2，且2x<4， =2x，
∴2-x=2x，解得 ；
当x>2时，x+2>4，2x>4， =4，
∴2-x=4，解得x=-2（舍去）；
综上， ．
【点睛】此题考查了不等式的性质，解不等式组，分类讨论思想的应用是解题的关键．
26. 如图1，AM∥BN，点 ，点 分别在射线 ， 上，且 ．（1）求证：AB∥DC；
（2）连接 ，作 ， 交 于点 ，作 的平分线 交 于点 （如图
2），将 沿 方向水平向右平移．
①在 的移动过程中， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间
的数量关系，并证明：若变化，试说明理由；
②当 运动到 时，求证： ．
【答案】（1）见解析；
（2）①不变，∠AEB=2∠ACB；②见解析
【解析】
【分析】（1）利用AM BN推出∠B+∠A=180°，由∠BAD=∠BCD得到∠B+∠BCD=180°，即可推出AB
CD；
（2）①根据AM BN推出∠DAC=∠ACB，由此得到 =∠ACB，求出∠AEB=2∠ACB；
②由AB CD推出∠BAC=∠ACD，得到∠BAC=∠AFB，进而得到
∠BAF+∠FAE+∠EAC=∠FAE+2∠ACB，理由角平分线定义得到 ．
【小问1详解】
证明：∵AM BN，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴AB CD；
【小问2详解】
① 与 之间的数量关系不发生变化，理由如下：∵AM BN，
∴∠DAC=∠ACB，
∵ ，
∴ =∠ACB，
∴∠AEB=∠EAC+∠ACB=2∠ACB；
②∵AB CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵ ，
∴∠BAC=∠AFB，
∴∠BAF+∠FAE+∠EAC=∠FAE+2∠ACB，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠FAE，
∴ ．
【点睛】此题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
