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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北师大实验中学 2024－2025 学年度第一学期期中试卷
初三年级数学
1.本试卷共10页，共三道大题，28道小题；答题纸共3页．
考 满分100分．考试时间120分钟．
生 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．
须
3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．
知
4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题黑色字迹签字笔作
答．
一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意．每小
题2分，共16分）
1. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗
产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键．
根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转 后与自身重合，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选： ．
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】根据二次函数顶点式的性质即可进行解答．
【详解】解： 的顶点坐标是 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数 顶点
坐标是 ．
3. 已知 的半径是 ，线段 的长为 ，则点P（ ）
A. 在 外 B. 在 上 C. 在 内 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离
小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，
则点在圆外．
【详解】解：
点P在 内，
故选：C．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键．
4. 将一元二次方程 通过配方转化为 的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方
程作边写成完全平方形式即可．
【详解】解：
移项得 ，
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配方得 ，即 ．
故选：A．
5. 如图， 是正方形 的外接圆，若 的半径为2，则正方形 的边长为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，先确定 ，再结合正方形的性质根据勾股定理求出解即可．
【详解】连接 ，
根据正方形和圆的对称性可知 过圆心，
∴ ．
∵四边形 是正方形，
∴ ，
根据勾股定理，得 ，
解得 ．
故选：C．
6. 电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票
房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够表示出第二玩耍和第三天的票
房，设增长率为 ，则第二天的票房为 ，第三天的票房为 ，然后根据三天后累计票房收
入达达18亿元列出方程即可．
【详解】解：设增长率为 ，则第二天的票房为 ，第三天的票房为 ，由题可得：
，
故选：D．
7. 如图，在 中， 是直径， ， 为 上的点， ．若 ，则 的度
数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，掌握圆心角、弧、弦的关系成为解
题的关键．
根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系易得 ，从而求得 的度数，再利用
圆周角定理和角的和差即可解答．
【详解】解：如图，连接 ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
8. 如图，在菱形 中， ， 为对角线的交点．将菱形 绕点 逆时
针旋转 得到菱形 ，两个菱形的公共点为 ， ， ， ．对八边形 给出下
面四个结论，正确的是（ ）
A. 对于任意 ，该八边形都是正八边形
B. 存在唯一的 ，使得该八边形为正八边形
C. 对于任意 ，该八边形都有外接圆
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D. 存在唯一的 ，使得该八边形有内切圆
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质等知识点，掌握菱形的性质
与判定是解题的关键．
如图：延长 和 ，连接 ，根据菱形的性质可得 ，
；根据旋转的性质可得点 一定在对角线 上，且
， ，再证明 可得 ，同
理可得 ，再说明当 时，
，即存在唯一的
，使得该八边形为正八边形，据此即可解答．
【详解】解：如图：延长 和 ，连接 ，
∵菱形 ， ，
∴ ， ，
∵菱形 绕点O逆时针旋转 得到菱形 ，
∴点 一定在对角线 上，且 ， ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴该八边形各边长都相等；
当 时， ，即
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴当 ，八边形各内角相等，故②正确．
故选：B．
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）
9. 若 是一元二次方程 的一个根，则 的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程
的解成为解题的关键．
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将 代入一元二次方程 得到关于k的方程求解即可．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴ ，解得： ．
故答案为：1．
10. 把抛物线 向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
直接运用二次函数图像的平移规律解答即可．
【详解】解：由平移规律可得：将抛物线 向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得
到抛物线的解析式为： ．
故答案为： ．
11. 如图，点A， ， 在 上，若 ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
的圆周角相等成为解题的关键．
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如图：作 所对的圆周角 ，根据圆周角定理得到 ，然后根据圆内接
四边形的性质求解即可．
的
【详解】解：如图：作 所对 圆周角 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
12. 如图， ， ， 分别与 相切于点 ， ， 三点．若 ，则 的周长为
_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．根据 的周长为：
，结合 ， ， ，代换计算即可．
【详解】解： 直线 、 、 分别与 相切于点 、 、 ， ，
， ， ，
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的周长为： ，
故答案为：5．
13. 抛物线 上三点分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关
系为_____（用“＞”号连接）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入各 的值，求出 ， ， 的值是解题的关键．
利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出 ， ， 的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
，
．
故答案为： ．
14. 如图，等边 的边长为12，点D、E、F分别为边 ， 的中点，若分别以E，D，F为
圆心，6为半径，作三个 的扇形，则图中阴影部分的面积为_____．
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【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及正三角形的性质和
菱形的判定方法是正确解答的关键．根据中点的定义以及正三角形、菱形的性质和判定方法可得四边形
是菱形，求出菱形的高，再根据菱形面积以及扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
由题意可得， ，
四边形 是菱形，
在 中， ， ，
，
，
．
故答案为： ．
15. 某宾馆有若干间标准房，该宾馆规定每间标准房的价格不低于180元，且不高于250元．经市场调查表
明，每天入住的房间数 （单位：间）与每间标准房的价格 （单位：元）之间满足函数关系式：
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，则当该宾馆每间标准房的价格 _____元时，标准房日营业额 （单位：元）最大，
最大营业额为_____元．
【答案】 ①. 180 ②. 14400
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据
题意可得，标准房日营业额 ，从而可得当
时， 随 的增大而减小，又 ，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意可得，标准房日营业额 ．
，
当 时， 随 的增大而减小．
又 ，
当 时， 最大，最大值为 ．
答：当该宾馆每间标准房的价格 元时，标准房日营业额 最大，最大营业额为14400元．
故答案为：180，14400．
16. 如图，已知点 是直线 外一点， 于点 ，且 ，点 B，C 均在直线 上，
，则 的最小值为_____．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．作△
的外接圆 ，连接 、 、 ，过点 作 于点 ，先由圆周角定理和垂径定理
得 ， ， 则 ， ， 设
，则 ， ，再由 ，即可解决问题．
【详解】解：如图，作 的外接圆 ，连接 、 、 ，过点 作 于点 ，则
， ， ，
，
，
设 ，
则 ， ，
， ，
，
解得： ，
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，
最小值为 ，
故答案为： ．
三、解答题（共12道小题，第17~21，24题，每题5分，第22、23、25、26题，每题6分，
第27，28题，每题7分，共68分）
17. 解关于 的一元二次方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方，然后开方，即可作答．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
解得 ， ．
18. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图， ．
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求作：直线BD，使得 ．
作法：如图，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线 ， ，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交 于点D；
④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在 上， ，
∴ ______．
∴ （______）（填推理的依据）．
∴ ．
【答案】（1）作图见解析；（2） 在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【解析】
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【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；
（2）由作图可得 ，证明 ，利用圆周角定理可得 ，从而可得答案.
【详解】解：（1）如图，直线BD就是所求作的直线
（2）证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在 上， ，
∴ ．
∴ （在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．
∴ ．
故答案为： 在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握
“圆周角定理”是理解作图的关键.
19. 如图， 的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上， ， ．
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（1）点A关于原点的对称点的坐标是_____；
的
（2）将 绕点 顺时针旋转 得到 ，画出旋转后 ；
（3）在旋转过程中，点 经过的路径为 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质、弧长公式、勾股定理、关于圆的对称的点坐标等知识点，灵活运用相
关知识成为解题的关键．
（1）直接根据关于原点对称点的坐标特点即可解答；
（2）先根据题意先分别求出旋转后的点坐标，再依次连接各点即可解答；
（3）先利用勾股定理求出 的长，再利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
解：点A关于原点的对称点的坐标是 ．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：∵ ， ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴如图， 即为所求作∶
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．
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
由图可知： 的长为 ．
20. 如图，在 中， ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段
，连接 ， ．
（1）依题意补全图形；
（2）若 ，求线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查作图 旋转变换、直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，直角三角形的
性质，勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）先求得 ， ，再根据旋转的性质可得 ， ，
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求得 ，最后由勾股定理求得 ．
【小问1详解】
解：如图所示．
【小问2详解】
解： ， ， ，
， .
线段 绕点 逆时针旋转 ，
， ，
.
在 中， ， ，
21. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，
EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．
【答案】13.
【解析】
【分析】根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM=DM=2，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，进而可求得半
径OC．
【详解】如图，连接OC，
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∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，
∴EM⊥CD．
∴CM=MD．
∵CD=10，
∴CM=5．
设OC=x，则OM=25-x，
在Rt△COM中，根据勾股定理，得
52+（25-x）2=x2．
解得 x=13．
∴⊙O的半径为13．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的
一半为三边的直角三角形．
22. 已知二次函数 与一次函数y=kx+b(k≠0)交于 和 两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当 时，函数值 的取值范围是_____；
（3）关于 的不等式 的解集为_____．
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【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数与不等式（组 ，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
（1）把点 和 代入 中列出方程组，解出 和 即可解答；
（2）根据函数图象即可得到结论；
（3）根据二次函数 与一次函数 的交点坐标即可得到结论．
【小问1详解】
解：把点 和 代入 得 ，
解得 ，
二次函数的解析式的解析式为 ；
【小问2详解】
解：二次函数 的图象如图所示，
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当 时，函数值 的取值范围是 ；
故答案为： ；
【小问3详解】
解：不等式 可化为 ，
即求抛物线 在直线 下方的部分对应的 的取值范围，
二次函数 与一次函数 交于 和 两点，
关于 的不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
23. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值，此方程总有两个实数根；
（2）若 为正整数，且该方程的根都是正整数，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键
（1）表示出根的判别式，判断其取值范围，即可得证；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，根据题意该方程的根都是正整数，即可求解．
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【小问1详解】
解： ，
无论 取何值，此方程总有两个实数根
【小问2详解】
解：关于 的一元二次方程 ，得
， .
该方程的根都是正整数，
，
.
为正整数，
24. 甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平
面直角坐标系，羽毛球从 点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度 （单位： ）与水平距离
（单位： ）之间近似满足函数关系 ．
比赛中，甲同学连续进行了两次发球．
（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离 与竖直高度 的七组对应数据如下：
水 平 距
0 1 2 3 4 5 6
离
竖 直 高
1 2.75 4 4.75 5 4.75 4
度
根据以上数据，回答下列问题：
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①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____ ；
②在水平距离 处，放置一个高 的球网，羽毛球_____（填“是”或“否”）可以过网；
③求出满足的函数关系 ；
（2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度 与水平距离 之间近似满足函数关系
．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度 时刚好
接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为 ，第二次接球的起跳点的水平距离为 ，则
_____（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】（1）①4；②是；③
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，
用待定系数法求出函数解析式．
（1）①由表中数据直接可以得出结论；
②由表中数据直接可以得出结论；
③用待定系数法求函数解析式；
（2）把 分别代入（1）、（2）解析式求出 和 即可．
【小问1详解】
解：①由表格中数据知，当 和 时， ，
对称轴为 ，顶点坐标为 ，
当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是 ，
故答案为：4；
② 当 时， ，
羽毛球是可以过网，
故答案为：是；
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③ ， ，
，
把 ， 代入解析式得， ，
解得 ，
；
【小问2详解】
解：在第一次接球中，当 时，
则 ，
解得 ， ，
接球时球越过球网，
，
在第二次接球中，当 时，
则 ，
解得 ， ，
接球时球越过球网，
，
．
故答案为： ．
25. 如图， 是 的直径， 于点M，M为 的中点，过点 作 交 的延长线
于点 ．点 在 上， 交 于点 ．
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（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接 ，由 ，即垂径定理可得 为等边三角形，可得到
，由平行线的判定可得 ，结合 交 的延长线于点 ，得
到 ，根据切线的判定即可求解；
（2）如图所示，连接 ， ，由（1）中 ，根据含 角的直角三角形的性
质可得 ，根据垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质可得 ，
， ， ，根据圆周角定理可得 ，在
中，根据含 角的直角三角形的性质可得 ，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接 ，
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∵直径 ，
，
，
， 为 的中点，
∴ 是 的垂直平分线，则 ， ，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
交 的延长线于点 ，
，
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，
，
为半径， ，
为 切线，
【小问2详解】
解：如图所示，连接 ， ，
， ， ，
，
直径 ，
，
， ，
，则 ，
，
，
，
， ， ，
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，
，
，
， ， ，
．
【点睛】本题主要考查切线的判定，垂径定理，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆
周角定理，含 的直角三角形的性质等知识的综合，掌握切线的判定方法，圆周角定理，等腰三角形的
判定和性质是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
（2）已知 ， 是抛物线上 两的个点，若对于 ，都有 ，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键．
（1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标；
（2），分为当 时及当 时，两种情况分类讨论，求出实数 的取值范围．
【小问1详解】
解：
该抛物线的顶点坐标为 ；
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【小问2详解】
解：①如图1，当 时，
，
．
当 时， 随 的增大而增大，
且对于 ，都有 ，
，
；
②如图2，当 时，
记(x ,y )关于 的对称点为 ，
1 1
，
．
当 时， 随 的增大而增大，
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且对于 ，都有 ，
，
．
综上所述，实数 的取值范围为 或
27. 在 中， ， ， 为平面内一点，将线段 绕点A逆时针旋转 ，
得到线段 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时，连接 ，点 为线段 的中点，连接 ，求证： ；
（2）当 时，连接 ， ，取 中点 ，连接 ．
①如图2，当 点在 内部时，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明；
②令 ，若当 ， ， 三点共线时，恰有 ，直接写出此时 的值．
【答案】（1）见解析 （2）① ，见解析；② 或 或 或
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、旋转的性质、中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识点，
掌握分类讨论思想并正确作图是解题的关键．
（1）根据旋转的性质、中位线的性质即可证明结论；
（2）①由第一问的思路可构造中位线，延长 到M，使 ，连接 ，则 ，再证
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即可得解；②先识别出点G的运动轨迹是圆，然后画出符合题意的图形求解即可．
【小问1详解】
证明：由题易得B、A、E三点共线，
∵将线段 绕点A逆时针旋转 ，得到线段 ，
∴ ，
∴A是 中点，
∵F是 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ；
【小问2详解】
解：① ，证明如下：
如图：延长 到M，使 ，连接 ，
∵G为 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②由题知 ，则点G在以 为弦的圆上运动，以 为边构造等边三角形 ，则点A、
S、B、G四点共圆，
故作 的外接圆 ，则G也在圆上，当A，D，G三点共线时，分四种情况讨论，
a．如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
由前面两问可知 ，
∴ ；
b．如图：
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
由前面两问可知 ，
∴ ；
c，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
由前面两问可知： ，
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∴ ；
d，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
由前面两问可知： ，
∴ ．
综上， 的值为 或 或 或 ．
28. 如图，给定线段 及其垂直平分线上的一点 （点 不在线段 上），若以 为圆心， 为半
径的优弧 上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点 为线段 的“实验点”．特别
地，若这样的等边三角形只存在一个，则称点 为线段 的“大实验点”．在平面直角坐标系 中，
点A坐标为(2,0)，点 为第一象限内一点．
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（1）在点 ， ， 中，可以成为线段 的“实验点”的是_____．
（2）若平面内存在一点 既是线段 的“大实验点”，又是线段 的“大实验点”，求点 的坐标．
（3）在（2）的条件下，以A为圆心， 为半径作圆，圆上一动点 从 出发，绕点A逆时针旋转
后停止．设点 出发后转过的角度为 ，若恰有线段 的2个“实验点” ，
满足 ，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据“实验点”的定义可知 ，从而
，可求出线段 的“实验点”满足 ，进而可得出答案；
（2）证明 得 ，证明 是等边三角形得，
，延长 交 于点M，由勾股定理求出 即可求解；
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（3）以 为对角线构造菱形 ，使 ，根据线段 的“实验点”在射线 和射线
上， 中 ，得到线段 的“实验点”所在的两条射线要与劣弧 有交点，才能使
得 或 ，得到 或 ．
【小问1详解】
解：如图，连接 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴对于线段 的“实验点”满足 ．
∴点 和 可以成为线段 的“实验点”．
故答案为： ， ．
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【小问2详解】
解：如图，
∵点 为第一象限内一点，点 既是线段 的“大实验点”，又是线段 的“大实验点”，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 是等边三角形．
∴ ．
延长 交 于点M，
∵
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∴ , ．
∴ ．
∴
【小问3详解】
解：以 为对角线构造菱形 ，使 ．
∵线段 的“实验点”在射线 和射线 上，且 中 ，
∴线段 的“实验点”所在的两条射线要与劣弧 有交点，才使得 或 ．
∵ ，
∴当 在 内时， 与劣弧 有交点．
∴ ．
∵ ，
∴当 在 内时， 与劣弧 有交点．
∵ ，
∴ ．
综上 或 ．
【点睛】本题
主要考查了新定义——线段的“实验点”，熟练掌握新定义，等边三角形性质，全等三角形判定和性质，
勾股定理，菱形性质，旋转性质，圆内接四边形性质，分类讨论，是解题的关键．
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