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2024 年高三模拟押题卷 01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为 或 ，
所以 .
故选：C.
2．已知复数 ，其中 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ,
则 .
故选: A.
3．设平面向量 ， ，且 ，则 =（ ）
A．1 B．14 C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 又 ，
则
所以 ，
则，
故选：
4．已知定义在 上的偶函数 在 上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为偶函数 在 上单调递减，
所以函数 在 单调递增，且 ， ，又 ，
，
所以 ， ，
所以 ，即 .
故选：B
5．设椭圆C： 的半焦距为c，离心率为e，已知圆O： 与C有四个公共点，
依次连接这四点组成一个正方形，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方法1：连接这四点组成一个正方形，根据椭圆和圆的对称性知，
点 在椭圆C上，则 ，
将 代入并化简得 ，
因为 ，解得 .方法2：设圆O与椭圆C在第一象限的公共点为M,设C的左、右焦点为 、 ， ， ，
所以 ， ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
6．过点 作圆 的两条切线，设切点分别为A，B，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆 的圆心为 ，
因为过点 作圆 的两条切线，设切点分别为 ， ，
所以 ， ， ， 四点在以 为直径的圆上，设为 ，
故 的方程为 ，即 ，
将两圆联立方程组 ，解得 ，
故直线 ： ，
点 到直线 ： 的距离为 ，
在圆 中，点 到直线 ： 的距离为 ，
所以 ，解得 ，所以 的面积为 .
故选：B.
7．已知等差数列 的前n项和为 ，对任意的 ，均有 成立，则 的值的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 是等差数列 的前n项和中的最小值，必有 ，公差 ，
若 ，此时 ， ， 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ，即 ，则 ；
若 ， ，此时 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ， ，即 ，
则 ，
综上可得： 的取值范围是 ，
故选:B．
8．若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】一方面由题意 ，且注意到 ，
联立得 ，解得 ，
所以 ，
另一方面不妨设 ，且 ，
所以有 ，解得 或 （舍去），即 ，
由两角和的正切公式有 ，
所以
.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．为深人学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中
高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是： ， .则下列
说法正确的有（ ）
A．中位数为90，平均数为89
B． 分位数为93
C．极差为30，标准差为58
D．去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意中位数为 ，
平均数为 ，故A正确；对于B，因为 ，
所以 分位数为 ，故B正确；
对于C，极差为 ，
方差
，
所以标准差 ，故C错误；
对于D，去掉一个最低分和一个最高分，
则平均数为 ，
方差为
，
所以去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小，故D正确.
故选：ABD.
10．压缩袋（真空压缩袋）也叫PE拉链复合袋．在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能把衣柜
解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果．其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具如抽气
泵或吸尘器，来进行排气的．现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气泵每次
可以抽出压缩袋内气体的 ，则（ ）（参考数据：取 ）
A．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的 ，至少要抽5次
B．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的 ，至少要抽9次
C．抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的
D．抽3次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的
【答案】ACD
【解析】设抽气泵抽了 次，若要使压缩袋内的气体少于原来的 ，则 ，
即 ，则 ．因为 ，
所以至少要抽5次，A正确，B错误．
抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的 ，
C正确．
，D正确．
故选：ACD
11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．若 满足 ，的图象关于直线 对称，且 ，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． D．
【答案】ACD
【解析】由 ，得 ，等式两边同时求导，得
即 ，故 的图象关于点 对称，故A正确；
因为 的图象关于直线 对称，故 的图象关于直线 对称，
即 为偶函数，则 ，所以 应满足 （ 为常数），
当 时， 不是奇函数，故B错误；
因为 ， ，所以 ，故C正确；
因为 的图象关于点 对称，关于 轴对称，且 ，所以 ， ， ，在一
个周期内， ，
所以 ，故D正确．
故选：ACD
12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位： ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有
（ ）
A．表面积为 的球体
B．体积为 的正四面体
C．体积为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆锥
【答案】ABD
【解析】选项A，设球半径为 ，由 得 ，A能够放入；
选项B，设正四面体棱长为 ，如图正四面体 ， 是面 中心， 是四面体的高， ，
，体积为 ，
，
在边长为1的正方形 中，如下右图， ， 分别在边 上，， ，因此 ，所以
， 是等边三角形，
易得 ，
，
，所以 ， ，
因此B中正四面体可以放入棱长为1的正方体中；
选项C，体积为 的圆柱体，只有当底面直径不大于1m，高也不大小1m可放入棱长为1的正方体中，
当高大于1m，或底面直径大于1m时，不能放入，例如当圆柱底面半径为0.1m时，高为 ，就不
能放入．
选项D，圆锥底面直径为1.2m，高为0.8 m，如果能放到正方体中，根据对称性，把圆锥的轴放在正方体
的对角线上，如图正方体 中， ，则 ，可证明 平面 （通过证明
平面 得 ，同理得 ，从而得证），因此圆锥的底面在平面 或与之平
行的平面内， 是等边三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，因此题
中圆锥的底面不可能在平面 内，也不可能在平面 与点 之间，
设平面 与 的交点为 （ 是底面正方形中心， ），如图， 是 中心，由
与平面 可得 ， ，因此 ，从而
，
重新取正六边形 ，如图，各顶点是相应棱中点，易可证明平面 平面 ，从而也有
平面 ，而正六边形 的边长为 ，其内切圆半径为 ， ，
， ，由 可得 是 中点，而 ，因此题设
圆锥可能放到正方体中，D能放入．
故选：ABD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知 人都在 至 层的某一层出电梯，且在每一层最多只有
两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙 人出电梯的不同方法总数
是 ．
【答案】120
【解析】由题意，
人都在 至 层的某一层 人独自出电梯，共有 种；
人中有 人在同一层出电梯，另 人在另外一层出电梯，共有 种；
故甲、乙、丙 人出电梯的不同方法总数是 种．
故答案为：120
14．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木
料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意
趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则
该米斗的外接球的表面积是 ．
【答案】
【解析】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为 ，下底面中心为 ，由棱台的性质可知，外接球的球心 落在线段 上，
由题意该四棱台上下底面边长分别为8和6，侧棱长为10，
则 ， ， ，
所以 ，
设外接球的半径为 ， ，则 ，
因为 垂直于上下底面，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
联立解得 ， ，
所以该米斗的外接球的表面积为 ．
故答案为：
15．已知函数 在区间 上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论：
① 的值可能是3； ② 的最小正周期可能是 ；
③ 在区间 上单调递减； ④ 图象的对称轴可能是 .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【解析】函数 ，
， ，
函数 在区间 上有且仅有3个对称中心，
则 ，
，即 的取值范围是 ，而 ，故①正确；
周期 ，由 ，
得 ， ，
的最小正周期可能是 ，故②正确；
， ，
， ，
又 ，
在区间 上单调递减，故③正确；
当 ，即 ，
又 ，
，
当 时， ，
当 时， ，故④不正确.
故答案为：①②③.
16．在平面直角坐标系 中，双曲线 的左、右焦点分别是 ，过 的直线 与
的左、右两支分别交于 两点，点 在 轴上，满足 ，且 经过 的内切圆圆心，则
的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，设 ， 且 ，
由双曲线的定义可得 则 ， ，
因为 经过 的内切圆圆心，所以 为 的角平分线，
所以由角平分线定理 ，则 ，可得 ，
所以 ， ， ，
在三角形 中 ，所以 ，
即 ，
可得 ，
化简可得 ，解得 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积是 ， ，求 的周长．
【解析】（1）由 ，可得到 ，
即 ．
因为 ，所以 ，故 ．
（2）由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，则 ．由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，故 的周长是 ．
18．（12分）
在四棱锥 中，平面 平面 ，侧面 是等边三角形， ，
， 在棱 上，且满足 .
(1)求证： ；
(2)求二面角 的余弦值.
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ，
∵ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，而 ，
故平行四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ 为等边三角形且 为 中点.∴ ，
平面 ， ，
∴ 面 ， 面 ，∴ .
（2）法一：∵平面 平面 ，且平面 平面 ， ，
平面 ，∴ 平面 ， 平面 ，
∴ ， ， 两两垂直，
连接 、 ，以 中点 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴，建立如上图所示空间
直角坐标系，设 ，则 ， ， ， ，
∴ ， ，
平面 的一个法向量可取为 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，令 ，则取 ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
由图知：二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
法二：由（1）知，∵面 面 ，且面 面 ，
平面 ，又∵ ，∴ 平面 ，
而 平面 ，故 ，
如图，连接 、 ，作 于 ，连接 ，
平面 ，故 平面 ，
平面 ，故 ，
则 即为二面角 的平面角，
设 ，在 中， ,
故 ，
是等边三角形，则 ， ,
故 .19．（12分）
设数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，都有 ，求 的
取值范围.
【解析】（1）一方面：因为 ，所以 ，
所以 ，即 ；
另一方面：又 时，有 ，即 ，且 ，
所以此时 ；
结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列 是首先为 ，公比为 的等比数列，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可知 ，
又由题意 ，
数列 的前 项和为 ，
又 ，都有 ，故只需 ，
而 关于 单调递增，
所以 关于 单调递减， 关于 单调递增，
所以当 时，有 ，
因此 ，即 ，解得 ，
综上所述： 的取值范围为 .
20．（12分）
红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x
（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)根据散点图判断， 与 （其中 …为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产
卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中 ， ，
参考数据（ ）
5215 17713 714 27 81.3 3.6
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，
对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降
20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发
出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝
产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是
10万；
方案3：不采取防虫害措施.
【解析】（1）由散点图可以判断， 更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.
（2）将 两边同时取自然对数，可得 ，
由题中的数据可得， ， ，所以 ，
则 ，
所以z关于x的线性回归方程为 ，
故y关于x的回归方程为 ；
（3）用 ， 和 分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为 万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为 万，
如果发生，则收益为 万，即 ，
同样，采用第3种方案，有
所以， ，
，
.
显然， 最大，所以选择方案1最佳.
21．（12分）
已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在区间 上存在唯一零点 ，求证： .
【解析】（1）对 求导得， ，分以下
两大情形来讨论 的单调性：
情形一：当 时，有 ，令 ，解得 ，
所以当 时，有 ，此时 单调递减，
当 时，有 ，此时 单调递增；
所以 在 单调递减，在 单调递增；
情形二：当 时，令 ，解得 ，接下来又分三种小情形来讨论 的单调性：
情形（1）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表：
由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
情形（2）：当 时，有 ，此时 ，所以此时 在 上单调递
增；
情形（3）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表：
由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述：当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.（2）因为 ，所以由题意 ，
又因为 在区间 上存在唯一零点 ，
所以存在唯一的 ，有 ，化简得 ，
若要证明 ，则只需 ，即只需 ，
不妨设 ，求导得 ，
令 ，继续求导得 ，
所以当 时， 单调递增，
所以 ，
所以当 时， 单调递增，
所以 ，
即当 时，有不等式 成立，
综上所述：若 在区间 上存在唯一零点 ，则 .
22．（12分）
点 是抛物线 ： （ ）的焦点， 为坐标原点，过点 作垂直于 轴的直线 ，与抛物线
相交于 ， 两点， ，抛物线 的准线与 轴交于点 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 、 是抛物线 上异于 、 两点的两个不同的点，直线 、 相交于点 ，直线 、 相
交于点 ，证明： 、 、 三点共线．
【解析】（1）抛物线 ： （ ）的焦点坐标为： 过点 作垂因为直于 轴的直线 ，
与抛物线 相交于 ， 两点，且 ，
不妨设 ，则 ，
解得 或 （舍去），
所以抛物线 的方程为 ；
（2）如图所示：由（1）知 ，设 ，
则直线AC的方程为： ，直线BD的方程为：
，
联立得 ，解得 ，则 ，
所以 ，
则直线BC的方程为： ，直线AD的方程为：
，
联立得 ，解得 ，则 ，
所以 ，则 ，所以E，K，G三点共线.
