文档内容
专题 03 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
目录
题型一： 给值求值...........................................................................................................................2
题型二： 给值求角问题...................................................................................................................5
题型三： 辅助角公式.......................................................................................................................6
题型四： 两角和与差的正切公式的逆用......................................................................................7
题型五： 两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用..........................................................8
题型六： 综合运用.........................................................................................................................10
知识点总结
知识点一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：cos(α－β)＝ cos α cos β ＋ sin α sin β ；
(α－β)
(2)公式C ：cos(α＋β)＝ cos α cos β － sin α sin β ；
(α＋β)
(3)公式S ：sin(α－β)＝ sin α cos β － cos α sin β ；
(α－β)
(4)公式S ：sin(α＋β)＝ sin α cos β ＋ cos α sin β ；
(α＋β)
(5)公式T ：tan(α－β)＝；
(α－β)
(6)公式T ：tan(α＋β)＝.
(α＋β)
知识点二、辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
例题精讲
题型一：给值求值
【要点讲解】(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的
形式;常见的配角技巧: , , ,
, 等.
(2)当“已知角”有一个时,此时寻找“所求角”与“已知角及特殊角”的和或差的关系,再
应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
【例1】（2023春•台江区校级期末）已知 ， 都是锐角， ，
则
A． B． C． D．
【解答】解： ， 都是锐角， ， ，
， 为钝角，
，
则．
故选： ．
【变式训练1】（2022 春•东城区校级期中）若 ， 都是锐角，且 ，
，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， 都是锐角， ， ，
则 ，
又 ， ，
， ．
．
故选： ．
【变式训练2】（2021秋•北海期末）已知角 为第二象限角， ，则 的
值为A． B． C． D．
【解答】解： ，且 是第二象限角，
，
，
故选： ．
【变式训练3】（2021秋•安庆期末）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
，．
故选： ．
【变式训练4】（2021秋•河北月考）若 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
故选： ．
题型二：给值求角问题
【要点讲解】依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值
【例2】（2023春•高安市校级期中）
A． B． C． D．
【解答】解：记题中代数式为 ，
．
故选： ．【变式训练1】
A． B． C．1 D．
【解答】解： ．
故选： ．
【变式训练2】（ 2023 春 • 分 宜 县 校 级 月 考 ） 设 ，
， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
， ，
因为 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•泉山区校级月考）
A． B． C． D．
【解答】解：
．
故选： ．
【变式训练4】（2023春•吴江区校级月考）已知 ，则A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以
．
故选： ．
【变式训练5】（2023春•辽宁月考）
A． B． C． D．
【解答】解：
．
题型三：辅助角公式
【要点讲解】 ,其中 的值由 ,
及 符号确定
【例3】（2022•杭州模拟）已知函数 ，当 时， 取得最大值，
则A． B． C． D．
【解答】解： ，（其中
， ，
当 时， 取得最大值，此时 ，
得到 ， ．
故选： ．
【变式训练1】（2022秋•南安市期中）已知函数 ，当 时，
取得最大值，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
故 ， ，
因为 时， 取得最大值，
所以 ，
所以 ， ．
故选： ．题型四：两角和与差的正切公式的逆用
【要点讲解】涉及两角的正切的积与和差的混合运算问题,常考虑两角和与差的正切公式的
变形.
题型五：两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
【要点讲解】三角形中的三角函数问题,要应用A+B+C=π减少角的种类.
(1) 常 用 结 论 有 : , , ,
(2)sin A>sin B A>B等.
⇔
【例4】（2023 春•招远市校级期中）在 中，已知 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由已知可得 ．
又因为 ，所以 ，所以 ．
所以 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练1】（2022 秋•永丰县校级期末）在 中， ， ，则
的值为
A． B． C． D．【解答】解： ， ，
为钝角，从而 为锐角，
， ，
．
故选： ．
【变式训练2】（2021秋•雨花区校级期末）在 中，已知 ， ，则
的大小为
A． B． C． D．
【解答】解：（1）由题意知， ， ，
则 ，
， ，
．
故选： ．
【变式训练3】（2023 春•上城区校级期中）在 中， 为锐角，若 ，
，则
A． B． C． 或 D．
【解答】解： 中， ， ，
为锐角， 为锐角，
， ，则
．
故选： ．
【变式训练4】（2018秋•益阳期末）已知角 ， ， 为 的内角， ，
，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
， ，
，
．
故选： ．
题型六：综合运用
【例5】（2023春•达州期末）在 中，若 ，则 的最小值
是
A．1 B． C． D．
【解答】解： ， 由正弦定理得 ，根据余弦定理得：
，
当 且 仅 当 时 等 号 成 立 ， 又 因 为 ， 所 以 ，，
即 的最小值是 ．
故选： ．
【变式训练1】（ 2023 春 • 青 羊 区 校 级 月 考 ） 已 知 ， ， 且 满 足
．
（1）证明： ；
（2）求 的最大值．
【 解 答 】 （ 1 ） 证 明 ： 由 已 知 ，
，
；
（2）解： ，则 ， ，
由（1）得
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值是 ．
【变式训练2】（2023 春•如皋市月考）已知角 ， 满足 ， ，则的最大值为
A． B． C． D．1
【解答】解： ，即 ，
设 ，
可得： ， ，
则 ，
又 ，则 最大值为1，则 的最大值为 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023•朝阳区校级模拟）已知 ， 均为锐角，且 ，则
的最大值是
A．4 B．2 C． D．
【 解 答 】 解 ： ，
，
， ，
， ，
，又因为 为锐角，所以该方程有解，△ ，解得 ，又 为锐角， ．
所以 的最大值是 ．
故选： ．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•郫都区期末）已知 ， ，则
A． B．3 C． D．
【解答】解： ， ，
，则 ，
．
故选： ．
2．（2023春•成都期末）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，则 ，
所以
．
故选： ．
3．（2023 春•泗阳县校级月考）已知 ， ， ，
，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，①
，②
由 ① ② 两 式 平 方 相 加 可 得
，
即有 ，
由 ， ， ，可得 ，则 ，
可得 ，
故选： ．
4．（2023春•泗阳县期中）已知函数 在 ， 上有两个不同的零点，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． D． ，
【解答】解：函数 ，
则 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
故函数的图象满足：
函数在 在 ， 上有两个不同的零点，
即 与函数 有两个不同的交点，
所以 ，解得 ．
即 的取值范围为 ， ．
故选： ．
5．（2023•玉树市校级模拟）若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：，
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
6．（2023•鲤城区校级模拟）若 ，则
A．0 B． C．3 D．7
【解答】解：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．（2022•杭州模拟）已知函数 图象的最小正周期是 ，则A． 的图象关于点 对称
B．将 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数图象关于 轴对称
C． 在 上的值域为 ，
D． 在 上单调递增
【解答】解：因为 ，
函数的最小正周期是 ，
，
， ，
，
关于 对称，故 正确．
，
关于 轴对称，故 正确．
当 时，有 ，则 ，所以 ，
，故 错误．
由 ，解得 ，
所以 的一个单调增区间为 ，而 ，
在 上单调递增，故 正确．
故选： ．8．（2023春•西湖区校级期中）已知函数 的图象为 ，则下列
结论中正确的是
A．图象 关于直线 对称
B．图象 的所有对称中心都可以表示为 ，
C．函数 在 上的最大值为
D．函数 在区间 上单调递减
【解答】解： ，
对于 ，因为当 时， ，为最大值，
所以直线 是图象的对称轴，故正确；
对于 ， ， ，故正确；
对于 ，若 ， ，可得 ， ，可得 ， ，
所以函数 在 ， 上的最大值为3，故 错误．
对于 ，当 ， 时， ， ，
因此 在区间 ， 上是增函数，故 错误．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．（2023春•南充期末）若 ，则 ．【解答】解： ，
，
．
故答案为： ．
10．（2023春•萍乡期中）若 ，则 ．
【解答】解：若 ，则 ，
则 ，
故答案为： ．
11．（2023春•大祥区校级期末）若 ，则 ．
【解答】解：
．
故答案为： ．
12．（2023春•湖南期中）若 ，则 ．
【解答】解：若 ，则 ．
故答案为： ．
四．解答题（共3小题）
13．（2023春•聊城期中）已知函数 ，周期是 ．
（1）求 的解析式，写出函数 的对称轴；
（2）若 成立的充分条件是 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1） ，
， ，即 ．
故 ，
令 ，可得 ，
即函数 的对称轴为 ．
（2）由 可得 ，
又当 时， ，此时 ，
由题意，当 时， 恒成立，
则有 ， ， ，解得 ．
即 的取值范围是 ．
14．（2023春•西城区期末）已知 ， ．
（1）求 的值；（2）求 的值．
【解答】解：（1）因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
所以 ；
（2） ．
15．（2022秋•西昌市期末）（1）在 中已知 ，求 ， 的值；
（2）在 中已知 ，求 的值．
【解答】解：（1）在 中， ，故 为钝角，
， ．
（2）在 中， ，
，
．
