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包含与排除（一）
包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意
思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。
【典型例题】
例1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。（单位：厘米）
7
5
2
分析与解：
这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖
住桌面的面积，可以有三种不同方法：
方法一：72 52 2564（平方厘米）
方法二：72 2552 64（平方厘米）
方法三：52 2572 64（平方厘米）
答：盖住桌面的面积是64平方厘米。
例2：四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又
爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？
分析与解：
根据题意可画图如下
易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com乒 羽
37 21 26
？人
此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。
方法一：37 + 26—21 = 42（人）
方法二：37—21 + 26 = 42（人）
方法三：37 +（26—21）= 42（人）
以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再
与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。
三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？
我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：
第一部分 + 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和
例3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老
师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。两科都得“优”的有几人？
分析与解：
根据“第一部分 + 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和”可以求出两科都得“优”
的人数。
15 + 17—24 = 8（人）
另外，从下图中我们还能得出两种不同方法
语文 数学
15人 ？人 17人
24人
易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com方法二：17—（24—15）= 8（人）
15—（24—17）= 8（人）
答：两科都得优的有8人。
例4：图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11
人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。这个班共有学生多少人？
分析与解：
这个题与例2相比，多了一个已知条件，那就是“有5个人什么组都没参加”。如果按
前面的画图方式，这5人无法在图上表示，根据题意，我们可以这样画图。
全班
5人
美术 音乐
24人 11人 18人
全班？人
要求全班有多少人，除了知道有5人什么组都没参加外，还要求出参加课外小组的有
多少人。
24 + 18—11 = 31（人）
31 + 5 = 36（人）
答：这个班共有学生36人。
例5：某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既
参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组
又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？
分析与解：
根据题意画图如下：
易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com音乐 美术
11人 8人
12人
英语
？人
如果我们把三个集合圈看成三张纸片，参加两个组的部分是2层，参加三个组的部分
是3层，要求至少参加一个组的人数，就是求三张纸片盖住桌面的大小，因此要从三组人数
之和中减去重叠部分的人数
11 + 8 + 12—5—3—4 + 1 = 20（人）
答：至少参加一个组的有20人。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 四年级三班订阅《少年文摘》的有19人，订阅《学与玩》的有24人，两种都订的有13人。
问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人？
2. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画
的分别有多少人？
3. 1至100的自然数中：
（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？
（2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？
（3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？
4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有
10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生
多少人？
5. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不会
的有多少人？
6. 一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参加
一个队。这个班两队都参加的有多少人？
易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com【试题答案】
1. 四年级三班订阅《少年文摘》的有19人，订阅《学与玩》的有24人，两种都订的有13人。
问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人？
19 + 24—13 = 30（人）
答：订阅《少年文摘》或《学与玩》的有30人。
2. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画
的分别有多少人？
只学钢琴人数：58—37 = 21（人）
只学画画人数：43—37 = 6（人）
3. 1至100的自然数中：
（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？
既是3的倍数又是2的倍数，一定是6的倍数
100÷6 = 16……4
所以，既是2的倍数又是3的倍数有16个
（2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？
100÷2 = 50，100÷3 = 33……1
50 + 33—16 = 67（个）
所以，是2的倍数或是3的倍数的数有67个。
（3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？
50—16 = 34（个）
答：是2的倍数但不是3的倍数的数有34个。
4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有
10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生
多少人？
12 + 10—3 + 26 = 45（人）
答：这个班共有学生45人。
易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com5. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不会
的有多少人？
50—（30 + 21—8）= 7（人）
答：两样都不会的有7人。
6. 一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参加
一个队。这个班两队都参加的有多少人？
30 + 25—42 = 13（人）
答：这个班两队都参加的有13人。
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