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专题 12.23 全等三角形（精选精练）（全章专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知点 在 上，点 在 上， ，且
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图，已知 ， ，要使 ，可添加的
条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ，若
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江·三模）在 中， ， ， 所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三
角形不能唯一确定的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，5．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在等腰 中， ， 为腰上的高线，
则图中全等的直角三角形有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
6．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形 中， ， ，
，且 ， ，则五边形 的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．（2022·北京海淀·一模）如图，点E是 ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，
延长线段DE交边BC于点F，若AB=6，E△F=1，则线段AC的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（23-24七年级下·重庆·期末）在 中， ，点D是 上，点E在 上， ，
，若 ，则 的长为（ ）A． B．2 C． D．3
9．（2024·辽宁锦州·二模）已知 ，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出 ，
观察图中的作图痕迹，可以得出 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知 ， ， 为平面内一动点，
， 为 上一点， ， 上两点 ， ， ．下面能表示 最小
值的线段是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则
等于 ．12．（16-17八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 中， ， 为 的平分线，
， ，则 ．
13．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图， ， 于点D， 于点E，
，若 ，则 ．
14．（18-19七年级下·四川成都·期末）如图所示，在 ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC
上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S BD△E＝75，则S ABC＝ ．
△ △
15．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， ，点 ， 是内角
与外角 的三等分线的交点，则 ．16．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图， 是 的外角， ， 和
的平分线相交于点E，连接 ，则 的度数是 ．
17．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形 是等腰梯形，上底 ，过点 作
，且 ，连接 ．若 的面积为 ，则 的长为 ．
18．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图， 中， ， ， ，点 以每秒
个单位的速度按 的路径运动，点 以每秒 个单位的速度按 的路径运动，在运
动过程中过点 作 于点 ，点 作 于点 ，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同
时停止运动．设运动 秒时 ，则 的值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24七年级下·广东深圳·期末）阅读并完成下列推理过程，在括号中填写依据．如图，点B，D，C在同一直线上， ， ， ， ， ，求 的长．
解：∵ (已知)，
∴ ( )．
∴ ( )．
在 和 中，
∴ ( )．
∴ ( )．
∵ (已知)，
∴ ．
∵ (已知)，
∴ ．
20．（8分）（2024·云南昆明·三模）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取
的垂线 上的两点C，D，使 ，再画出 的垂线 ，使E与A，C在一条直线上，这时测
得 的长就是 的长．判断以上方法是否可行，如果可行，请证明；如果不可行，请说明理由．
21．（10分）（2024·浙江温州·三模）如图，在 中， ，点D是 边上一点， ，且 ， 与 交于点G，过点E作 交 于点F，交 于点H．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的值．
22．（10分）（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 于点 于点
交于点E．
(1)如图1，求证：
(2)如图2，延长 交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形．
23．（10分）（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在 中， ， ，射
线 ， 的夹角为 ，过点 作 于点F，直线 交 于点 ，连接 ．
(1)如图1，射线 ， 都在 的内部．
①设 ，则 （用含 的式子表示）；
②作点 关于直线 的对称点 ，求证： ；
(2)如图2，射线 在 的内部，射线 在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段 ，
， 之间的数量关系，并证明．24．（12分）（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形 中， ，
， ．点P从点A出发，以 的速度沿 向点B匀速运动．设运动时间为
．
(1)如图①，连接 、 ．当 时，求t的值；
(2)如图②，当点P开始运动时，点Q同时从点C出发，以 的速度沿 向点B匀速运动．当P，Q
两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当 与 全等时，求a和t的值；
(3)如图③，点Q从点C出发，以 的速度沿 向点B匀速运动，点M同时从点D出发以
的速度沿DA向点A运动，当Q、M两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连接 ，
交 于点E．连接 ，当 时， ，请求出此时a的值．参考答案：
1．C
【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质，
， ，又 ， ，得到
，在 中根据内角和定理求解，熟练掌握全等三角形的性质及三角
形内角和定理，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解： ，
， ，
，
，
，
，
在 中，由三角形内角和定理可得 ，
， ， ，
，
故选：C．
2．D
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．在 和 中，已知了
， ，因此只需添加两组对边的夹角或第三对边即可判定两三角形全等．
【详解】解：∵ ， ，
∴A、如添加 ，两三角形只有两边及一边的以角相等，不能判定两三角形全等，故此选项不符合
题意；
B、如添加 ，两三角形只有两边及一边的以角相等，不能判定两三角形全等，故此选项不符合题
意；
C、如添加 ，因为 ， 只是 中的两个角，两三角形只有两边相等，不能判定两三角
形全等，故此选项不符合题意；
D、如添加 ，则 ，即 ，两三角形有两边及
其角相等，可根据 判定两三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
【点拨】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、
、 、 ．添加时注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须
有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．B
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键
是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
根据 ，求出 ， ，从而求得 ，再根据三角形全等证明
即可．
【详解】解： ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了利用全等三角形的判定作图，对于没有不属于全等三角形的判定情况，要根据实际
情况作图，是本题解答的关键．根据全等三角形的判定，可判断B选项和C选项不符合题意，对于选项A
和选项D，则作以点C为圆心， 长为半径作弧，查看该弧与直线 的交点情况，即可判断答案．
【详解】A、如图1，在 中， ， ， ，以点C为圆心， 长为半径作
弧，交 的延长线于点 ，连结 ，则在 中， ， ， ，同样满
足题意，所以此三角形不唯一，符合题意；
B、 ，a，b，c三线段能作组成三角形，
根据两个三角形“边边边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意；
C、根据两个三角形“角角边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意；
D、如图2，在 中， ， ， ，以点C为圆心， 长为半径作弧，与直
线 没有交点，可知此三角形唯一确定，不符合题意．
故选A．
5．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的一般方法有： ，全等的
三角形有 、 、 ，利用全等三角形的判定可证明，结合已知
条件与全等三角形的判定方法验证即可．
【详解】解：∵ 为腰上的高线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为腰上的高线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
综上所述，全等的直角三角形有3对，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质
将面积进行转化．
将 绕点A逆时针旋转至 ，首先证明点D，E，F三点共线，证明 ，得
到 ， ，再将所求面积转化为 进行计算即可．
【详解】如图，将 绕点A逆时针旋转至 ，
， ，
则 ， ，
，即点D，E，F三点共线，
，
，
即 ，
在 和 中
，
，，
，
五边形 的面积为：
，
，
．
故选：D．
7．B
【分析】延长 交 于 ，证明 ，根据全等三角形的性质求出 ，根据三角形中位线定
理解答即可．
【详解】解：延长 交 于 ，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
故选：B．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性
质定理是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：过点 作 ，连接 ，先证明 ，
得到 ，求出 的长，再证明 ，得到 ，进而求出 的长即可．
【详解】解：过点 作 ，连接 ，则：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
9．C
【分析】本题考查了复杂作图掌握三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理，先根
据作图得出 ， 平分 ，再根据三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理求解，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：由作图得： ， 平分 ，
，
，
，
，
，
故选：Ｃ．
10．B
【分析】连接 ，根据 ， ， ， ，证明 ，结合
，证明 ，得到 ，根据 ，得到 的最
小值为 的长．
本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，
是解决问题的关键．
【详解】如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 的长．
故选：B．11． /58度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质等知识．先根据三角形的内角和定理求出
，再根据 和 全等， ，得到两个三角形的对应角
，问题得解．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ 和 全等， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
12．
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，角平分线性质等．根据题意在 上截取 ，利用角平
分线定义得 ，再证明 继而得到本题答案．
【详解】解：如图，在 上截取 ，
则 ，∵ 为 的平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为∶ ．
13． / 度
【分析】证 得 ，即可求解；
【详解】解：∵ ， ，
∴ 是直角三角形，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查三角形的全等证明及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
14．440．
【分析】作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，利用AAS证出△AEN≌△CDM，从而得出AN＝CM，EN＝DM，设BE＝5a，用含a的式子分别表示各个线段的长度，根据三角形的面积公式即可求出a2，然后根据三角
形的面积公式求面积即可．
【详解】解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示：
则∠CMD＝∠BMD＝∠ANE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴△BDM、△BAN是等腰直角三角形，
∴BM＝DM，BN＝AN，
∵AE⊥CD，
∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DCM＝90°，
∴∠EAN＝∠DCM，
在△AEN和△CDM中，
，
∴△AEN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，EN＝DM，
∴BN＝CM，
∴BM＝CN，
∴BM＝DM＝CN＝EN，
∵BE：CE＝5：6，
∴设BE＝5a，
则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN＝ CE＝3a，AN=CM＝BC﹣BM＝8a，
∴CD2＝DM2+CM2＝（3a）2+（8a）2＝73a2，
∵S BDE＝ BE×DM＝ ×5a×3a＝75，
△
∴a2＝10，∴S ABC＝ BC×AN＝ ×11a ×8a＝44 a2＝440；
△
故答案为：440．
【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质和求三角形的面积，掌握构造全等三角形的方法、三角
形的面积公式和方程思想是解决此题的关键．
15． ．
【分析】过点 作 于点 ， 于点 ， ，根据角平分线的性质可得
， ，再由内角和即可求解．
【详解】如图，过点 作 于点 ， 于点 ， ，交 的延长线于点 ，
∵点 ， 是内角 与外角 的三等分线的交点，
∴ 是 的平分线，
又∵ ， ，
∴ ，同理可得 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ 是 的平分线，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 ， 是内角 与外角 的三等分线的交点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点拨】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的的性质定理和判定定理，解题
的关键是熟练掌握三角形外角的性质．
16． /48度
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到
，过点E作 交延长线于F，作 于G，作 于H，根据角平分线上
的点到角的两边的距离相等可得 ，然后求出 ，再根据到角的两边距离相等的
点在角的平分线上判断出 是 的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵ 和 的角平分线相交于点E，
∴ ，
由三角形的外角性质得， ，
，
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
∵ ，
∴ ，
过点E作 交延长线于F，作 于G，作 于H，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的平分线，
∴ ．故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定
定理，难点在于作辅助线并判断出 是 外角的平分线．
17．30
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，等腰梯形的性质等等，过点E
作 交 延长线与F，过点D作 于G，过点C作 于H，先根据三角形面积公
式求出 ，证明 ，得到 ，再证明 ，得
到 ，进一步证明 ，则 ．
【详解】解：如图所示，过点E作 交 延长线与F，过点D作 于G，过点C作
于H，
∵ 的面积为 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是等腰梯形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，同理可得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：30．
18． 或 秒
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论： 当点
在 上，点 在 上， 当点 在 上，点 在 上， 点 与 重合在 上，根据题意结合全
等三角形的性质得出 ，再分别用 表示出 和 的长，列出等式，解出 即可，熟练掌握全等
三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键．
【详解】（ ）当点 在 上，点 在 上，如图 ，
则 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，即 运动 秒；
（ ）当点 在 上，点 在 上，如图 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得 此时不符合题意；
（ ）点 与 重合在 上，如图 ，
则 ， ，
∴ ，即 ，解得： ，
∴综上可知： 或 ，
故答案为： 或 ．
19． ； ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等； ； ；全等三角形对应边
相等；8
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，联系上下文根据相关定理填
空即可，能看到上下条件与结论的逻辑关系是解题的关键．
【详解】解：∵ (已知)，
∴ (同位角相等，两直线平行)∴ (两直线平行，同位角相等)，
在 和 中，
∴ ．
∴ (全等三角形对应边相等)．
∵ (已知)，
∴ ，
∵ (已知)，
∴ ．
故答案是： ； ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等； ； ；全等三角形
对应边相等；8．
20．可行，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理 证出 是解题的
关键．
由垂线的定义可得出 ，结合 ，即可证出 ，利
用全等三角形的性质可得出 ．
【详解】解：可行， ，
理由如下：
，
，
在 和 中，
，
，
．
21．(1)见解析(2)
【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定，垂直的定义，四边形内角和，熟练掌握相关性质是解
题的关键．
（1）利用平行线性质得到 ，利用垂直的定义得到 ，即可证明
；
（2）利用平行线性质得到 ，在利用四边形内角和得到 ，
即可解题．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
．
（2）解： ， ，
，
， ，
．
22．(1)见解析；
(2) ， ， ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质， 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】（1）证明: 于点 , 于点 ,
，
在 与 中，
，
，
；（2）由（1）知 ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
在 与 中,
，
∴ ,
在 与 中，
，
∴ ,
故图中的所有全等三角形有 , , .
23．(1)① ；②见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质，轴对称的性质是解题的关
键．
（1）①根据 ，可求 ；②连接 ，证明
，即可得 ．
（2）作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，设 ，证明 ，即
可得 ．
【详解】（1）解：① ， ，
，
，
；故答案为： ；
②证明：如图，连接 ，
依题意得， 与 成轴对称，
， ，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
．
；
（2） ；
证明：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，
易得， 与 成轴对称，
， ， ，
，，
设 ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
24．(1) ；
(2) 或 ；
(3) ．
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ，根据线段的和差求出 ，
据此可求解；
（2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解；
（3）由 ，可求 的值，由面积和差关系可求 ，可求 的值．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
；
（2）若 ，
∴ ，
∵
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
若 ，
∴ ,
∴ ,
，
∵ ，
，
∴ ；
综上所述: ， 或 ；（3）如图③, 连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性
质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
