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专题12.31 全等三角形（全章分层练习）（基础练）
一、单选题
1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图AD是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，交AD于点F，∠1＝30°，∠BAD的度数（
）
A．20° B．30° C．60° D．120°
3．如图的正方形网格中，点 均为格点， ，点 在同一直线上，则
下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,连接BE，若∠A=35°,则∠CBE的度数是(
)A．15° B．20° C．30° D．45°
5．已知 ．下面是“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图痕迹．该尺规
作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是 的边 上一点， 交 于点 ， ， ，若 ， ，
则 的长为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
7．如图， 和 是 的高，交于点 ，且 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图， ， 的平分线 与 的平分线 相交于点P，作 于点E，若
，则点P到 与 的距离之和为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
9．在 中， ， 是 上的一点，且 ，过 作 交 于 ，如
果 ，则 等于（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
10．如图，在长方形 中， ， ，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿
向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿 向点C匀速运动，点R从
点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿 向点D运动，连接 ， ．三点同时开始运动，当某
一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻， 与 全等，则a的值为（ ）
A．2或4 B．2或 C．2或 D．2或
二、填空题
11．已知图中的两个三角形全等，则 °12．如图， 中， ， 是 边上的中线， 的平分线交 于点 ，
于点 ，若 ，则 的长度为 ．
13．如图∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，若PD＝1，则PC等于 ．
14．如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝BC＋AC，则C点在线段 的垂直平分线上．
15．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °．
16．如图，直线 ，点 ， 分别在直线 ， 上，且 ，直线 交线段 于点 ，交直线于点 ， 是射线 上一点，连接 ， ．若 ， ， ， 是等腰直角
三角形，则 的值为 ．
17．如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得
到△ABD．
（1）能直观看出△ABC与△ABD的形状与大小均不相同，说明这两个三角形不 ；
（2）这个实验说明 ．
18．如图， 是 的中线，延长 至 ，使得 ，连接 ， ，点 在
的平分线上，且 ．设 ，则 （用含
、 的式子表示）
三、解答题
19．如图，在四边形 中， ，点E是 的中点， ．求证： ．
证明：∵ ，
∴ ， （ ）
∵ ，∴
∴∠___________=∠___________．
∵E为 中点，
∴
在 和 中
．
∴ （ ）
∴ （ ）
20．如图，线段AD上有两点E，B，且AE＝DB，分别以AB，DE为直角边在线段AD同侧作
Rt△ABC和Rt△DEF，∠A＝∠D＝90°，BC＝EF．求证：∠AEG＝∠DBG．21．已知 ，且 三点在同一直线上， 与 在直线 的同一侧，
与 交于点 ，图中还有全等三角形吗？请写出来，并说明理由．
22．根据下列语句用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，并完成证明．已知：如图， ．求作：
，使 ．
（1）以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ；
（2）画一条射线 ，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ；
（3）以点 为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ；
（4）作射线 ．则 即为所求．
证明：连接 ， ．在 与 中 ∴ （________）．∴________（________）．即 ．
23．已知△ABC与△DEF，现给出四个条件：①AC＝DF；②AB＝DE；③AC边上中线与DF边上中
线相等；④△ABC的面积与△DEF的面积相等．
（1）请你以其中的三个条件作为命题的已知条件，以“△ABC≌△DEF”作为命题的结论，将一个真命
题写在横线上 ．
（2）请你以其中的三个条件（其中一个必须是条件④，另两个自选）作为命题的已知条件，以
“△ABC≌△DEF”作为命题的结论，将一个假命题写在横线上 并举一反例说明．
24．【定义新概念】把一个两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
【操作与发现】已知 （如图）．
（1）尺规作图求作四边形 ，且 ， ．（保留作图痕迹，不写作法，）
（2）以上所得四边形 是平行四边形，请说明理由．
【探索与延伸】如上图，连结 ，记交点为 ，观察、分析，在该平行四边形 中，辨析以下
结论：
①平行四边形的两组对角分别相等（ ， ）；
②平行四边形的两条对角线互相平分（ ， ）；③平行四边形中连结两条对角线，图中全等的三角形是2对；
④ 和 的面积相等；
其中正确的有______（填写序号）．
参考答案
1．B
【分析】根据全等图形的概念判断即可．
解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
B、两个图形能够完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形是全等图形”是解题的关
键．
2．B
【分析】先根据平行线的性质得到 ，再根据角平分线即可得到∠BAD的度数．
解：∵EF∥AC，
∴
∵AD是∠BAC的平分线∴ ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了角平分线及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．
3．D
【分析】由 ，可得 ， ， ，而
，可得 ，可得 ， ，从而可
得答案．
解：∵ ，
∴ ， ． ，故A不符合题意，D符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，故B不符合题意；
∴ ，
∴ ，故C不符合题意；
故选D
【点拨】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记全等三角形的对应边相
等，对应角相等是解本题的关键．
4．B
【分析】由AB的垂直平分线DE交AC于点E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，然后由Rt ABC
中，∠C=90°，求得∠ABC的度数，继而求得答案． △
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE=35°，
∵Rt ABC中,∠C=90 ,∠A=35°，
∴∠A△BC=55°， ∘
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=20°.
故选择B.
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质.
5．B
【分析】根据“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图痕迹，结合两个三角形全
等的判定定理即可确定答案．解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图的依据是 ，
故选：B．
【点拨】本题考查尺规作图“作两角相等”以及两个三角形全等的判定定理，掌握尺规作图及两个三
角形全等的判定定理是解决问题的关键．
6．D
【分析】利用ASA证明 和 全等，进而得出 ，即可求出 的长．
解： ，
．
， ，
（ASA）．
．
又 ，
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类
题的常用方法．
7．A
【分析】欲求 的长，需求得 的长，观测图中 可放在 中，而 可放在 中，结
合已知条件可证两三角形全等，问题迎刃而解．
解：∵ 和 是 的高，
∴ ， ，
∴ ．
在 与 中，
∴ ．
∴ ，
则 ．
故选：A．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找准全等三角形的对应边角．
8．C
【分析】如图所示，过点P作 与F，延长 交 于G，先证明 ，由角平分线的
定义得到 ，进而证明 得到 ，同理可得 ，则
，由此即可得到答案．
解：如图所示，过点P作 与F，延长 交 于G，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴点P到 与 的距离之和为8，
故选C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线间的距
离等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．A
【分析】利用“ ”得到 ，利用全等三角形对应边相等得到 ，最后根据
，等量代换即可确定出 的长．解：∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理及性质定理是解题关键．
10．D
【分析】设t秒后， 与 全等，表示出相应边长，再分 ， 两种
情况，根据对应边相等列出方程，解之即可．
解：设t秒后， 与 全等，
由题意可得： ， ， ， ，
∵ 与 全等， ，
∴当 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
当 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
∴a的值为2或 ，
故选D．
【点拨】本题考查了全等三角形综合问题，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解．
11．
【分析】三角形全等，有对应边相等，对应角相等，找到 的对应角即可．
解：如图， 是边 和 的夹角，左图是 ，
故【点拨】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．
12．
【分析】根据等腰三角形三线合一，确定AD⊥BC，又因为EF⊥AB，然后根据角平分线上的点到角的两
边的距离相等证出结论．
解： 是 边上的中线
平分
且
【点拨】本题考查角平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质和等腰三
角形的性质.
13．2
【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质得到PD＝PE＝1，根据平行线的性质求出∠PCB＝∠AOB
＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
解：作PE⊥OB于E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE＝1，
∵∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠PCB＝∠AOB＝30°，
∴PC＝2PE＝2．
故答案为2．
【点拨】本题考查角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两
边的距离相等是解题的关键．
14．AD
【分析】由 ， ，得到 ，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可结论.
解： ，
而 ，
，
点 在 的垂直平分线上.
故答案为 .
【点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
15．90
【分析】如图（见分析），先根据三角形全等的判定定理证出 ，再根据全等三角形的性
质可得 ，然后根据三角形的外角性质即可得．
解：如图，由题意得： ，
，
，
，
，
，
故答案为：90．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定
定理是解题关键．
16． /
【分析】根据平行，和垂直证明 ，从而证明 ，由此得出
，即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 ， 中， ， ， ， 是等腰直角三角形，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查平行线与三角形全等的判定的综合，掌握平行的性质，直角三角形的性质，全
等三角形的判定和性质是解题的关键．
17． 全等 如果两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不全等
【分析】（1）根据全等三角形的定义得出即可；
（2）根据图形得出∠B=∠B，AB=AB，AC=AD，再根据全等三角形的判定得出即可．
解：（1）∵△ABC与 ABD的形状与大小均不相同，
∴这两个三角形不全等△，
故答案为：全等；
（2）这个实验说明：如果两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不全等，
故答案为：如果两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不全等．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：
①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL，②具备条件SSA和AAA
时，两三角形不全等．
18． 或
【分析】先证明△BDC≌△EDA（SAS），可得∠C＝∠EAD，根据三角形的内角和定理表示出∠AFB，
再分射线BF在∠DBC内部，射线BF在∠DBC外部，分别表示出∠DBF，即可表示出∠AFB的度数．解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝DC，
∵在△BDC和△EDA中
，
∴△BDC≌△EDA（SAS），
∴∠C＝∠EAD，
∵点F在∠DAE的平分线上，
∴∠FAD＝ ∠EAD＝ ∠C，
∵∠ADB＝α，∠DBC＝β，
∴∠C＝α−β，∠DAB＋∠DBA＝180°−α，
∴∠FAD＝ （α−β），
∴∠AFB＝180°−∠FAB−∠FBA
＝180°−∠DAB−∠DBA−∠FAD−∠FBD
＝180°−（180°−α）− （α−β）−∠FBD
＝ α＋ β−∠FBD
∵∠FBC＝ ∠DBC＝ β，
当射线BF在∠DBC内部时，
∴∠FBD＝ β，
∴∠AFB＝ α＋ β− β＝ α；
当射线BF在∠DBC外部时，
则∠FBD＝ β，
∴∠AFB＝ α＋ β− β＝ α−β，综上，∠AFB＝ α或 α−β，
故答案为： α或 α−β．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等，熟练掌握
这些知识是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
19．见分析
【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的性质以及等量代换可得 ，进而可利用边角
边证明 ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
解：∵ ，
∴ ， （两直线平行，内错角相等），
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵E为 中点，
∴ ，
在 和 中 ．
∴ （ ）
∴ （全等三角形的对应角相等）．
【点拨】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，正确得出判定三角形全等的条件是解
题的关键．
20．见分析
【分析】先证明 再证明Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，再证明∠ABC=∠DEF，再利用等角的补角
相等可得答案.
解：证明：∵AE=DB
∴AE+EB=DB+EB，即AB=DE
∵∠A=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
∴∠ABC=∠DEF
∴∠AEG=∠DBG
【点拨】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，等角的补角相等，掌握“斜边与直角边对应相
等的两个直角三角形全等”是解题的关键.
21． ，详见分析
【分析】根据 可得 ， ，从而得到 ，进而得到
，再由 即可证明全等．
解：还有 ，理由如下：
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
．
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，
平行线的性质，是解题的关键．
22．作图见分析； ； ； ； ；全等三角形对应角相等
【分析】根据题目中的语句按步骤作图即可；根据“ ”证明 ，即可得出
，即可得出答案．
解： 即为所求，如图所示：
证明：连接 ， ，∵在 与 中
，
∴ ，
∴ （全等三角形对应角相等），
即 ．
故答案为： ； ； ； ；全等三角形对应角相等．
【点拨】本题主要考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三
角形全等的判定方法．
23．真命题为如果AC＝DF，AB＝DE，AC边上中线与DF边上中线相等，那么△ABC≌△DEF，证明
见详解；（2）
【分析】（1）真命题为如果AC＝DF，AB＝DE，AC边上中线与DF边上中线相等，那么
△ABC≌△DEF；可先证明△ABM≌△DEN，得到∠A=∠D，即可求解；
（2）假命题为如果AB=DE，AC边上中线与DF边上中线相等，△ABC的面积与△DEF的面积相等，
那么△ABC≌△DEF；例如，如图，若AC=DF=4，中线BP=EQ=4，△ABC的面积与△DEF的面积为6，且
∠A=90°，则AB=3，DF边上的高EG为3，则DE＞EG，所以DE＞AB，即△ABC不与△DEF全等，即可
求解．
解：（1）真命题为如果AC＝DF，AB＝DE，AC边上中线与DF边上中线相等，那么△ABC≌△DEF，
证明：如图，
根据题意得：BM=EN，
∵BM、EN分别为AC、DF的中点，
∴ ，
∵AC＝DF，∴AM=DN，
在△ABM和△DEN中，
∵AB=DE，AM=DN，BM=EN，
∴△ABM≌△DEN，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
∵AB=DE，∠A=∠D，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF；
（2）假命题为如果AB=DE，AC边上中线与DF边上中线相等，△ABC的面积与△DEF的面积相等，
那么△ABC≌△DEF，
例如，如图，若AC=DF=4，中线BP=EQ=4，△ABC的面积与△DEF的面积为6，且∠A=90°，则
AB=3，DF边上的高EG为3，则DE＞EG，所以DE＞AB，即△ABC不与△DEF全等．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，熟练掌握全等三角形的判定和
性质，用举反例法证明假命题是解题的关键．
24．（1）见分析；（2）见分析；（3）①②④
【分析】（1）分别以 为圆心， 的长为半径在 的内部作弧，交于点 ，连接
；
（2）根据已知条件，利用SSS证明 ，进而可得对应角相等，根据平行线的性质可得
两组对边平行，结合定义即可证明；
（3）根据三角形全等的性质与判定可以判断①②③，根据三角形中线的性质可判断④．
解：（1）分别以 为圆心， 的长为半径在 的内部作弧，交于点 ，连接 ，
如图，（2）
，
,
四边形 是平行四边形
（3）如图，
连接 交 于 ，
由（2）可知
故①正确；
又
故②正确；
③平行四边形中连结两条对角线，图中全等的三角形是4对，故③不正确；④由②可知 ，则 和 的面积相等，故④正确，
故答案为：①②④
【点拨】本题考查了新定义问题，尺规作图作线段等于已知线段，三角形全等的性质与判定，三角形
中线的性质，平行线的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
