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专题 13.9 等边三角形（精选精练）（专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图， 是等边三角形， 为中线， 为 上一点，且
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）如图， 是等边三角形 的边 的中点， 是 边延长线上
一点， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23八年级上·江西上饶·阶段练习）下列对 的判断，错误的是（ ）
A．若 ， ，则 是等边三角形
B．若 ，则 是直角三角形
C．若 ， ，则 是等腰三角形
D．若 ， ，则
4．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图， ，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交
， 于点A，D，再以点A为圆心， 长为半径画弧，与弧 交于点B，连接 、 ， 的
延长线交 于点C，若 ，则 的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024·山东·模拟预测）如图，两块三角板 、 按如图所示方式摆放，且 ，连接
，若 ， ，则四边形 的面积为（ ）
A．9 B．11 C． D．
6．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知 ，点 ，…在射线 上，点
，…在射线 上， ， ， ，…均为等边三角形，若 ，则
的边长是（ ）
A．4046 B．4048 C． D．
7．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，以 的
长为半径画弧交 于点 ，连接 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于
点 ，作射线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，则 的值是（ ）A． B． C． D．
8．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在等腰 中，顶角 ，点D为 边上的一点，
，点E为 上一点， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，在 中， ， ， ，点 是直线
上一动点，连接 ，在 的右侧作等边 ，连接 ，当线段 的长度最小时，线段 的
长度为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
10．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图， 与 均为等边三角形， ， 点B， C，
D， P在一条直线上， ， 则 的长为 （ ）．A．4 B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·吉林松原·三模）如图，已知线段 ，分别以点 为圆心， 长为半径作圆弧，两弧相交
于点 、 ，连接 ，交线段 于点 ，以点 为圆心， 长为半径作圆弧，交线段 于点 ，连
接 、 ，则 度．
12．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在等边 中， 平分 ，点E是 延长线上一
点，且 ，连接 ，则 ．
13．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）已知：如图，在 中， ， ，
于点 ，且 ，则 是 三角形．
14．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）将含 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知
，点B，点C表示的刻度分别为 ，则 的周长为 ．15．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，等边三角形 中，D、E分别为 边上的两动
点， 与 交于点F， 于点G，若 ，则 ．
16．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片 对折，使 与 重合，展平纸片，
得到折痕 ；折叠纸片，使点B落在 上，并使折痕经过点A，得到折痕 ，点B，E的对应点分别
为G，H，展平纸片，连结 ， ，则 与 的关系是 ．
17．（23-24八年级上·浙江台州·期末）一副三角板如图叠放， ，
， 互相平分于点O，点F在边 上，边 交于点H，边
交于点G．
（1） ；
（2）若 ，则 （用含a的代数式表示）．18．（23-24八年级上·河北保定·期末）（1）如图1， ， 都是等边三角形，线段 和
之间的数量关系为 ．
（2）如图2， ，垂足为O， ，B为直线 上一动点，以 为边向右作等边 ，
则线段 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）已知 ， 均为等边三角形，点 是 内的
任意一点，
(1)如图，试说明
(2)当 为等腰直角三角形时， ________（直接写答案）
20．（8分）（22-23八年级上·重庆丰都·期末）如图，点E在 的外部，点D在 上， 交
于点F， ， ， ．
(1)求证： ．(2)若 ，猜想 的形状并证明．
21．（10分）（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在 中， ， ， ，
点D从点A以 的速度向点C运动，同时点E从点C以 的速度向点B运动，运动时间为 ．
(1)当t= 时， 为等边三角形；（直接写结果）
(2)当t为何值时， 为直角三角形？
22．（10分）（23-24八年级下·四川成都·阶段练习） 是等边三角形，点 是 边上动点，
，把 沿 对折，得到 ．
(1)如图1，若 ，则 ____ ．
(2)如图2，点 在 延长线上，且 ，连接 ，若 ， ， 三点共线．①求证： 平分 ；
②若 ， ，求 的长．
23．（10分）（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图， ， 与 相交于点
E， ．
(1)求证：AC垂直平分BD；
(2)如图2，过点B作 交 的延长线于点F，若 ；
①求证： 是等边三角形；
②如果G、H分别是线段 、线段 上的动点，当 的值最小时，写出此时 与 的数量
关系，并说明理由．
24．（12分）（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）在等腰 中， ，点 是 上一动点，点
在 的延长线上，且 ， 平分 交 于点 ，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，在 上取点 ，使 ，连接 ．求证： 是等边三角形；
(3)如图3，当 ，且 时，求证： ．参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的
性质可求解 ， ，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 的度数，
进而可求解．
【详解】解： 为等边三角形，
，
是等边三角形 的中线，
， ，
，
，
，
，
，
故选： ．
2．B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，“三线合一”以及三角形外角的定义和性质等知识，掌握
“三线合一”是解答本题的关键．根据“三线合一”可得 平分 ，可得 ，根据
即可作答．
【详解】∵ 是等边三角形 的边 的中点，
∴ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
3．D
【详解】解：A. ， ，
是等边三角形，故该选项正确；
B. ，
最大角为： ，是直角三角形，故该选项正确；
C. ， ，
，
是等腰三角形，故该选项正确；
D. ， ，
，故该选项错误；
故选：D
【点拨】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的判定及性质，熟练掌握和运用各图形的判
定与性质是解决本题的关键
4．B
【分析】由题意得 ，则可得 是等边三角形，则 ，进而
可得 ，则可得 ．
本题主要考查这了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关
键．
【详解】解：由题意得 ，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：B
5．D
【分析】本题考查直角三角形性质，等腰直角三角形性质，平行线的判定，以及梯形面积公式，利用直
角三角形性质得到 ，利用等腰三角形性质得到 ，证明 ，进而得到四边
形 是直角梯形，再利用梯形的面积公式求解，即可解题．
【详解】解：由题知， ， ，
，
由题知， ， ， ，
，
，，
四边形 是直角梯形，
则四边形 的面积为 ．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规
律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到 ，根据三角形的外角性质求出
，得到 ，根据等腰三角形的判定定理得到
，然后找到规律即可得解．
【详解】∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ， ，
……，
∴ 的边长为 ．
故选：C．
7．D
【分析】先根据 角的直角三角形的性质得到 ，证明 ，再根据全等三
角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
由题意得： ， 平分 ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余， 角的直角三角形，全等三角形的判定和
性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题
的关键．
8．A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质等知
识，先根据等腰三角形的性质求出 ，再由三角形内角和定理得 ，可得
，再由三角形内角和定理求出 ， ，得 ，即可得
是等边三角形，可求出 ，从而可得结论．
【详解】解：∵在等腰 中，顶角 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故选：A
9．A
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度的直角三角
形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键．在 的左侧作等边三角形 ，连接 、 、
、 ，再证明 可得 再利用 时， 最短，从而可得答案．
【详解】解： 在 的左侧作等边三角形 ，连接 、 、 、 ，
则
∴ ，
∴点 、 关于 对称，∴ ， ，
均为等边三角形，
， ，
，
，
，
∴当 时， 最小，即此时 最小，
∵
∴ ，
∴ 的长度为 ，
故选：A．
10．A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，
灵活运用相关判定、性质定理成为解题的关键．
连接 ，过E作 与F，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据等边三角形的性质
可得 、 ，
进而得到 ，再证 可得 ；然后说明
可得 ；设 ，则 ，然后用x表示出 、，然后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：连接 ，过E作 与F，
∵ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
设 ，则
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故选A．11．15
【分析】本题考查了作图—基本作图、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，由题意得出 是
等边三角形， 为等腰直角三角形，从而得出 ， ，最后再由
计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接 ．
由作图可知 ， 垂直平分线段 ， ，
∴ 是等边三角形， 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：15．
12． /120度
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等边三角形
的性质可得 ， ，再由 ，可得 ，然后根据三角形外
角的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
13．等边
【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到 ，再证明
可得到 ，进而证明 为等边三角形．
【详解】解：∵ 中， ， ， 于点 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∵
∴
∵ ，
∴ 为等边三角形．
故答案为：等边
14．
【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出 是解题的关键．根据平
行线的性质得出 ，进而可得 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形，
∵点 ， 表示的刻度分别为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故答案为： ．
15． /0.5【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、含30度角的直角
三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，证得 是解答的关键．先根据题意推出
，可知 ，因此 ，所以 ，即可推出结论．
【详解】解：∵等边三角形 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
16．相等
【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握翻折变换的
性质、证明三角形全等是解题的关键．由翻折知， 垂直平分 ，则 ；又由翻折知，
， ；从而得 是等边三角形，则得 ；再证明
得 ，即可得两角的关系．
【详解】解：由第一次翻折知， 垂直平分 ，
；
又由第二次翻折知， ， ；
，
是等边三角形，
，
， ；
点的对应点为点H，；
，
，
，
．
故答案为：相等．
17．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对应的直角边是
斜边的一半，是解题的关键．
（1）连接 ，推出 ， ，进而得到 ，得到 ，利用互余关
系，求出 即可；
（2）利用含30度的直角三角形的性质得到 ，证明 为等腰三角形，进而得到 ，
求出 的长，证明 为等腰三角形，得到 即可．
【详解】解：（1）连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 互相平分于点O， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
18． 3
【分析】（1）根据 证明 即可得出线段 和 之间的数量关系；
（2）以 为一边在 的左边作等边 ，作 于点D，连接 ，根据 证明
即可得出，求出 的最小值即可．
【详解】解：（1）∵ ， 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）以 为一边在 的左边作等边 ，作 于点D，连接 ，∵ ， 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点B与点D重合时，线段 取得最小值．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的最小值为3．
故答案为：3．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，
熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．(1)见解析
(2) 或 或
【分析】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练
掌握相关知识．
（1）先根据等边三角形的性质得出 ， ， ，从而得到
，证得 ，即可得出结论；
（2）当 为等腰直角三角形时，有三种情况， ， ， ，分别讨论
三种情况下 的度数即可．
【详解】（1）证明： ， 均为等边三角形，
， ， ，
又 ，，
，
；
（2）解：当 为等腰直角三角形时，
若 ，则 ， ，
；
若 ，则 ， ，
， ，
；
若 ，则 ，
点 在线段 的垂直平分线上，
，
点 在线段 的垂直平分线上，
垂直平分线段 ，
，
即 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
20．(1)见解析
(2)等边三角形，见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形
全等的判定和性质．
（1）根据 证明三角形全等即可；
（2）根据 ，得出 ， ，求出 ，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
21．(1)1
(2) 或
【分析】本题考查了含 度角的直角三角形的性质，熟练掌握 度角的直角三角形的边角关系是解题的
关键.
（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值；
（2）分两种情况讨论: ①当 为直角时, ②当 为直角时，分别利用 度角所对的直角边等
于斜边的一半列方程求出 的值.
【详解】（1）解：根据题意可得 , ，
∵ ，
∴ ,
∵ , 为等边三角形,
∴ ,即 ,解得： ,
∴当 为 时, 为等边三角形；
（2）①当 为直角时, ,
，即
解得 ；
②当 为直角时, ,
∴ 即
解得 .
∴当 为 或 时, 为直角三角形.
22．(1)30
(2)①见解析；②
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角
形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键．
（1）由 是等边三角形知， ，由 ，知 ，
，代入 值即可；
（2）①通过折叠性质证明 即可得到结论；
②在 上取一点 ，使 ，连接 ，根据 证 ，得 ，再证
是等边三角形，即可得出 ，由 ，得出 ，即可求出 的值．
【详解】（1）解： 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：30；
（2）①证明： 把 沿 对折，得到 ，，
，
，
又 ，
，
，
点 在 延长线上，
平分 ；
②如图，在 上取一点 ，使 ，连接 ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，即 ，
点 在同一直线上，即 ，
由①知， ，
， ，
，
，．
23．(1)见解析
(2)①见解析；② ，见解析
【分析】（1）根据 ，可得 ，再由 证明 ，则
，利用中垂线的判定定理即可证明；
（2）①设 ，根据 可得 ，由于 ，可得 ，根据
是 的外角，则 ，由于 ，所以 ，从
而 ，进而 ，结论得证；
②延长 至 ，使 ，可得 与 关于 成轴对称，过 作 于 交 于 ，即可，
再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系．
【详解】（1）证明： ， ，
， ，
在 的垂直平分上， ，
，
在 的垂直平分上，
垂直平分 ；
（2）①证明：设 ，
，
，
是 的外角，
，
由（1） ， ，
，
，
，
，
，，即 ，
则 ，
，
，
是等边三角形；
② 为最小值时， 与 的数量关系是 ，
理由：
延长 至 ，使 ，
，
与 关于 成轴对称，过 作 于 交 于 ，连接 ，
，
，此时 为最小，
由①知： ，即 ，
即 ，
在 中， ，
，
为最小值时， 与 的数量关系是 ．
【点拨】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含 角得的直角三角形的性质、轴对
称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键．
24．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）利用 定理证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据等腰
三角形的性质得到 ，等量代换证明结论；（2）在 上截取 ，连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到
，进而证明 为等边三角形；
（3）延长 交于 ，证明 ，得到 ，再证明 ，得到
，等量代换得到答案．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长 、 交于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
即 ，，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三
角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性
质是解题的关键．
