专题14.1幂的运算（知识梳理与考点分类讲解）-（人教版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2024版

专题14.1 幂的运算（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】同底数幂的乘法性质 aman amn m, n (其中 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点提醒： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. amanap amnp m, n, p （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 （ 都 是正整 数） （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同， amn aman m, n 它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 （ 都是正整数）. 【知识点2】幂的乘方法则 (am)n amn m, n (其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点提醒： ((am)n)p amnp a0 m,n, p （1）公式的推广： ( ， 均为正整数) amn   amn   anm （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. 【知识点3】积的乘方法则 (ab)n anbn n (其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的 幂相乘. 要点提醒： (abc)n anbncn n （1）公式的推广： ( 为正整数). anbn abn （2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数 10 10 1 1  210  2 1.     2 2  时，计算更简便.如： 【知识点4】注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【考点一】同底数幂的乘法➼➻同底数幂乘法的运算★★科学记数法 【例1】（2022秋·全国·八年级专题练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可； （2）先根据同底数幂的乘法法则计算出各数，再合并同类项即可； （3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点拨】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·八年级课时练习）光速约为 ，太阳光照射到地球上大约需 ， 地球与太阳的距离大约是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据速度乘以时间求出路程，然后根据科学记数法表示即可求解． 解：地球与太阳的距离大约为 ， 故选：B． 【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，掌握幂的运算是解题关键．【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）若 ，则 的值为 . 【答案】16 【分析】根据同底数幂的乘法可进行求解． 解：∵ ， ∴ ； 故答案为16． 【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键． 【考点二】同底数幂的乘法➼➻同底数幂乘法的逆运算 【例2】（2022秋·六年级单元测试）已知方程 的解与方程 的解互为相反数， 求： （1）m的值； （2）代数式 的值． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）先求出方程 的解，再利用相反数的定义以及方程解的定义，即可求出未知数 的值； （2）将（1）问中求出的m的值代入，逆用同底数幂相乘的法则求得代数式的值． （1）解：解方程 得， ， 根据题意得， 是方程 的解， ∴ ， 解得 ； （2）解：将 代入得：． 【点拨】本题考查考查解含字母系数的一元一次方程，同底数幂相乘的逆用，掌握解一元一次方程的 步骤是关键． 【举一反三】 【变式1】（2023春·福建三明·七年级校考阶段练习）已知 ，则 的值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据同底数的乘法法则构造一元一次方程即可得解． 解：∵ ， ∴ 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）若 ， ，则 等于 ． 【答案】 /0.75 【分析】用同底数幂的除法运算即可．解： 故答案为： 【点拨】本题主要考查同底数幂除法运算，掌握相关运算法则并能根据所求代数式的形式进行转化是 解题的关键． 【考点三】幂的乘方➼➻幂的乘方的运算 【例3】（2022春·湖南郴州·七年级校考期中） （1）化简 ； （2）若 ，求 、 的值． 【答案】（1） ；（2） ， ． 【分析】（1）根据积的乘方法则、同底数幂相乘法则计算即可； （2）根据积的乘方和同底数幂乘法的计算法则可得 ，则 且 ，由此求 解即可． 解：（1） ； （2）∵ ， ∴ ， ∴ 且 ， ∴ ， ． 【点拨】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，解一元一次方程，熟知同底数幂乘法和积的 乘方计算法则是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2022春·河北石家庄·七年级校考期末）已知 ， ，则 （ ） A．14 B．30 C．40 D．60【答案】C 【分析】根据幂的乘方法则可得 ，再结合同底数幂的乘法法则求解即可. 解：∵ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ； 故选：C. 【点拨】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【变式2】（2023秋·湖南衡阳·八年级校考期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】根据幂的乘方进行变换即可求解； 解： ， ； ∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点拨】本题主要考查有理数的大小比较，幂的乘方，正确计算是解题的关键． 【考点四】幂的乘方➼➻幂的乘方的逆运算 【例4】（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习） （1）若 ， ，求代数式 的值． （2）已知： ，求 的值． 【答案】（1）72；（2）64 【分析】（1）利用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则将原式变形进行求解； （2）利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进行求解． 解：（1）∵ ， ， ∴ ； （2）∵ ，∴ ， ∴ ． 【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，解题关键是熟记运算法则． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·上海普陀·七年级校考阶段练习）已知 ，则 的值是（ ） A．24 B．31 C．108 D．6 【答案】C 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法的逆运算，进行计算即可求解． 解：∵ ， ∴ 故选：C． 【点拨】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法的运算法 则是解题的关键． 【变式2】（2023秋·福建泉州·八年级校联考阶段练习）若 ， ，则 【答案】1 【分析】根据 ， ，得出 ，变形为 ，得出 ，整体代 入求值即可． 解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：1． 【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，代数式求值，解题的关键是根据 ， ，求出 ．【考点五】积的乘方➼➻积的乘方的运算 【例5】（2023秋·八年级课时练习）计算： （1） ． （2） ． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）先计算积的乘方，再合并同类项； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并同类项即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，熟练掌握各个运算法 则是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023春·七年级课时练习）计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算求解． 解：原式 ， 故选：B． 【点拨】本题考查积的乘方，掌握乘方和幂的乘方法则是解题基础． 【变式2】（2023秋·八年级课时练习）已知a，b为任意非零实数，且 ，则 ． 【答案】36【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方计算得到 ，推出 ，据此计算即可求 解． 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵a，b为非零实数， ∴ ， ，解得 ， ， 故 ． 故答案为：36． 【点拨】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． 【考点六】积的乘方➼➻积的乘方的逆运算 【例6】（2023秋·八年级课时练习）（1）已知 ，求 的值． （2） ． 【答案】（1）2024；（2）4 【分析】（1）根据积的乘方运算法则得出 ，得出 ，求出x的值即可得出答 案； （2）根据积的乘方运算法则和有理数混合运算法则进行计算即可． 解：（1） ， ， ， ， 解得： ， ．（2） ． 【点拨】本题主要考查了积的乘方，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确计算． 【举一反三】 【变式1】（2023春·江苏·七年级阶段练习）已知 ，那么 的值为（ ）． A．5 B．1 C．10 D．2 【答案】B 【分析】根据幂的乘方和积的乘方逆用得出 ，再进行变形即可求解． 解：∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， 故选B． 【点拨】本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方及积的乘方是解题的关键． 【变式2】（2023秋·八年级课时练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据积的乘方的逆运算计算即可．解： ， 故答案为： ． 【点拨】题考查积的积的乘方逆用，熟练掌握运算法则并能正确运用是解题的关键． 【考点四】幂的综合运算 【例7】（2023春·山东东营·六年级校考阶段练习）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） 【分析】（1）按照同底数幂相乘法则计算即可； （2）按照同底数幂相乘法则计算即可； （3）先计算幂的乘方和积的乘方，再合并即可； （4）利用积的乘方的逆运算计算即可． （1）解： ． （2）解： ． （3）解： ， = ， = ， = ． （4）解： = ， = ，= ， = ． 【点拨】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，准确进行计算． 【举一反三】 【变式1】（2020秋·广东广州·八年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整式的加减和幂的运算法则解答即可； 解：A 、 和 不是同类项，不能合并，本选项错误； B、 ，本选项正确； C、 ，本选项错误； D、 ，本选项错误； 故选：B． 【点拨】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的运算、积的乘方、幂的乘方，解题的关键是熟悉这 些基本的运算法则． 【变式2】（2019秋·上海·七年级校考阶段练习）计算: . 【答案】 ． 【分析】原式先分别计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到结论． 解： ． 故答案为： ．【点拨】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方，以及单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题 的关键．