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专题 15.2 解分式方程
a b−x
【典例1】已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5
（1）当a=2，b=1时，求分式方程的解；
a b−x
（2）当a=1时，求b为何值时分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若a=3b，且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解为整数时，求b的值．
2x+3 x−5
【思路点拨】
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数
确定b的取值．
【解题过程】
（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
2 1−x
得： − =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：2(x−5)−(1−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
1
解得：x=− ，
5
1
检验：把x=− 代入(2x+3)(x−5)≠0，
5
1
∴原分式方程的解为：x=− ．
5
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
1 b−x
得： − =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：(x−5)−(b−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，去括号，得：x−5+2x2+3x−2bx−3b=2x2−7x−15，
移项、合并同类项，得：(11−2b)x=3b−10，
11
①当11−2b=0时，即b= ，原分式方程无解；
2
3b−10
②当11−2b≠0时，得x= ，
11−2b
3
Ⅰ.x=− 时，原分式方程无解，
2
3b−10 3
即 =− 时，
11−2b 2
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
3b−10
即 =5时，
11−2b
此时b=5；
11 a b−x
综上所述，b= 或b=5时，分式方程 − =1无解．
2 2x+3 x−5
a b−x
（3）解：把a=3b代入分式方程 − =1中，
2x+3 x−5
3b x−b
得： + =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：3b(x−5)+(x−b)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
整理得：(10+b)x=18b−15，
18b−15 18(b+10)−195 195
解得：x= = =18− ，
10+b 10+b 10+b
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
x m
1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知关于x的方程 −1= 的解为x=2．则关于y的方程
x−1 x2−1
m y2−2y+1
+2= +1的解为（ ）
y2−2y (y−1)(y−2)
3 1
A．y=−3 B．y=− C．y= D．y=3
7 3
【思路点拨】
将x=2代入关于x的方程中，求出m=3，再将m=3，代入关于y的方程中，求出y=3，再进行检验即可
得出答案．
【解题过程】
x m
解：∵关于x的方程 −1= 的解为x=2，
x−1 x2−1
∴x(x+1)−(x2−1)=m，
2×3−(4−1)=m，
∴m=3，
3 y−1
当m=3时，关于y的方程是： +2= +1，
y(y−2) y−2
∴3+2y（y−2）= y（y−1）+ y（y−2），
∴3+2y2−4 y= y2−y+ y2−2y，
∴y=3，
m y2−2y+1
经检验：y=3是关于y的方程 +2= +1的解．
y2−2y (y−1)(y−2)
故选：D．
1 m+1 m+2 7
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于方程 + = 的解满足−4−2时，m+2>0，−4(m+2)<4m+2< (m+2)，
2
5
解得− 2，
x−1 1 2
），求x +4044的值．
x >x 1
1 2 x
2
【思路点拨】
(−3)×(−4)
（1）将方程改写成x+ =(−3)+(−4)，再根据十字分式方程的定义作答即可；
x
b a (a+b) 2
（2）先根据十字分式方程的定义求出ab=−6，a+b=−5，再化简 + +1得 −1，最后代入计
a b ab
算求解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及k、x 、x 的取值范围求出x −1=2022k−2023，x −1=k，即
1 2 1 2
x =2022k−2022，x =k+1，然后代入求解即可．
1 2
【解题过程】
12 (−3)×(−4)
（1）解：∵方程x+ =−7是十字分式方程，可化为x+ =(−3)+(−4)，
x x∴x =−3，x =−4，
1 2
故答案为：−3，−4．
6
（2）解：∵十字分式方程x− =−5的两个解分别为x =a，x =b，
x 1 2
∴ab=−6，a+b=−5，
b a b2+a2 (a+b) 2−2ab (a+b) 2
∵ + +1= +1 = +1 = −1，
a b ab ab ab
(−5) 2 31
∴原式= −1 =− ．
−6 6
2023k−2022k2
（3）解：方程x− =2023k−2022是十字分式方程，可化为
x−1
2023k−2022k2
x−1− =2023k−2022−1，
x−1
∴ ，
(x −1)(x −1)=−(2023k−2022k2)=k(2022k−2023)
1 2
，
(x −1)+(x −1)=2023k−2023=k+(2022k−2023)
1 2
∵k>2，x >x ，
1 2
∴x −1=2022k−2023，x −1=k，即x =2022k−2022，x =k+1，
1 2 1 2
代入x +4044得，2022k−2022+4044 2022(k+1) ，
1 = =2022
x k+1 k+1
2
