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专题 15.2 解分式方程
a b−x
【典例1】已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5
（1）当a=2，b=1时，求分式方程的解；
a b−x
（2）当a=1时，求b为何值时分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若a=3b，且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解为整数时，求b的值．
2x+3 x−5
【思路点拨】
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数
确定b的取值．
【解题过程】
（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
2 1−x
得： − =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：2(x−5)−(1−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
1
解得：x=− ，
5
1
检验：把x=− 代入(2x+3)(x−5)≠0，
5
1
∴原分式方程的解为：x=− ．
5
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
1 b−x
得： − =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：(x−5)−(b−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，去括号，得：x−5+2x2+3x−2bx−3b=2x2−7x−15，
移项、合并同类项，得：(11−2b)x=3b−10，
11
①当11−2b=0时，即b= ，原分式方程无解；
2
3b−10
②当11−2b≠0时，得x= ，
11−2b
3
Ⅰ.x=− 时，原分式方程无解，
2
3b−10 3
即 =− 时，
11−2b 2
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
3b−10
即 =5时，
11−2b
此时b=5；
11 a b−x
综上所述，b= 或b=5时，分式方程 − =1无解．
2 2x+3 x−5
a b−x
（3）解：把a=3b代入分式方程 − =1中，
2x+3 x−5
3b x−b
得： + =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：3b(x−5)+(x−b)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
整理得：(10+b)x=18b−15，
18b−15 18(b+10)−195 195
解得：x= = =18− ，
10+b 10+b 10+b
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
x m
1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知关于x的方程 −1= 的解为x=2．则关于y的方程
x−1 x2−1
m y2−2y+1
+2= +1的解为（ ）
y2−2y (y−1)(y−2)
3 1
A．y=−3 B．y=− C．y= D．y=3
7 3
【思路点拨】
将x=2代入关于x的方程中，求出m=3，再将m=3，代入关于y的方程中，求出y=3，再进行检验即可
得出答案．
【解题过程】
x m
解：∵关于x的方程 −1= 的解为x=2，
x−1 x2−1
∴x(x+1)−(x2−1)=m，
2×3−(4−1)=m，
∴m=3，
3 y−1
当m=3时，关于y的方程是： +2= +1，
y(y−2) y−2
∴3+2y（y−2）= y（y−1）+ y（y−2），
∴3+2y2−4 y= y2−y+ y2−2y，
∴y=3，
m y2−2y+1
经检验：y=3是关于y的方程 +2= +1的解．
y2−2y (y−1)(y−2)
故选：D．
1 m+1 m+2 7
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于方程 + = 的解满足−4<x< ，则整数m有
x−3 x+3 x2−9 2
（ ）个．A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
【思路点拨】
7 4m+2 7
根据题意将分式方程解出来，再根据其解满足−4<x< ，可得−4< < 进而根据题意求解即可．
2 m+2 2
【解题过程】
1 m+1 m+2
+ =
解：
x−3 x+3 x2−9
x+3+(m+1)(x−3)=m+2
x+3+(m+1)x−3m−3=m+2
(m+2)x=4m+2，
4m+2
当m+2≠0即m≠−2时，x= ，
m+2
7
∵−4<x< ，
2
4m+2 7 4m+2 8
∴−4< < ，且x= ≠±3，即m≠4和m≠− ，
m+2 2 m+2 7
7
当m>−2时，m+2>0，−4(m+2)<4m+2< (m+2)，
2
5
解得− <m<10，
4
此时，满足条件的整数m共有−1、0、1、2、3、5、6、7、8、9，共10个；
7
当m<−2时，m+2<0， (m+2)<4m+2<−4(m+2)，
2
此等式无解，
综上所述，满足条件的整数m有10个，
故选A．
1 1 1 1
3．（2023·全国·九年级专题练习）方程 + = + 的解为y=____________.
y−2 y−8 y−4 y−6
【思路点拨】
此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答.观察此方程可以发现，分子均相同，分母按大小排列
依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法来解.
【解题过程】
1 1 1 1
解：移项，得： − = − ,
y−2 y−4 y−6 y−8(y−4)−(y−2) (y−8)−(y−6)
方程两边通分，得： = ,
(y−2)(y−4) (y−6)(y−8)
−2 −2
即 = ，
(y−2)(y−4) (y−6)(y−8)
方程的两边同乘以( y - 2 ) ( y - 4 ) ( y - 6 ) ( y - 8 )，得：
- 2 ( y - 6 ) ( y - 8 ) = - 2 ( y - 2 ) ( y - 4 )，
即y2−14 y+48= y2−6 y+8
解得：y=5，
经检验，y=5是原方程的根.
∴原方程的解为：y=5.
1 a−x
4．（2023·山东菏泽·校考一模）已知关于x的分式方程 − =1无解，则a的值为 _____．
2x+3 x−5
【思路点拨】
根据分式方程的解法步骤，结合分式方程无解的情况即可得到参数a的值．
【解题过程】
1 a−x
解： − =1，
2x+3 x−5
去分母得(x−5)−(2x+3)(a−x)=(2x+3)(x−5)，
∴ (11−2a)x=3a−10，
1 a−x
∵关于x的分式方程 − =1无解，
2x+3 x−5
11
∴①当11−2a=0时，即a= ，此时(11−2a)x=3a−10无解；
2
11 3a−10
②当11−2a≠0时，即a≠ ，解(11−2a)x=3a−10得x= ，
2 11−2a
3 3a−10 3 3a−10
此时分式方程无解，必须有x=− 或x=5，则x= =− 或x= =5，
2 11−2a 2 11−2a
3a−10 3
i当x= =− 时，方程无解；
11−2a 2
3a−10
ii当x= =5时，解得a=5；
11−2a
11
综上所述，a的值为5或 ，
2
11
故答案为：5或 ．
25．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）解下列方程：
1 3−x
（1）3− = ；
2−x x−2
x+1 3 4
（2） = − ．
4x2−1 2x+1 4x−2
【思路点拨】
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．
【解题过程】
（1）解：左右两边都乘以(x−2)，得3(x−2)+1=3−x，
去括号，得3x−6+1=3−x，
移项，得3x+x=6−1+3，
合并同类项，得4x=8，
系数化为1，得x=2，
将x=2代入x−2中，x−2=2−2=0
所以x=2是增根，原方程无解．
（2）左右两边都乘以(2x−1)(2x+1)，得x+1=3(2x−1)−2(2x+1)，
去括号，得x+1=6x−3−4x−2，
移项，得x−6x+4x=−3−2−1，
合并同类项，得−x=−6，
系数化为1，得x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
所以原方程的解是x=6．
6．（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）解分式方程
3 1 5
（1） − =
2 3x−1 6x−2
5x−4 4x+10
（2） = −1
x−2 3x−6
【思路点拨】
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．
【解题过程】
（1）解：方程两边同乘(6x−2)，得：3(3x−1)−2=5，去括号，得：9x−3−2=5，
移项，合并，得：9x=10，
10
系数化1，得：x= ；
9
10
检验，当x= 时，6x−2≠0，
9
10
∴x= 是原方程的解；
9
（2）解：方程两边同乘(3x−6)，得：3(5x−4)=4x+10−(3x−6)，
去括号，得：15x−12=4x+10−3x+6，
移项，合并，得：14x=28，
系数化1，得：x=2；
检验，当x=2时，3x−6=0，
∴x=2是原方程的增根，舍去；
∴原方程无解．
7．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）解分式方程：
1−x 2
（1） −1= ；
x−2 2−x
2x 1 3
（2） + = ．
x2−6x+9 x−3 x+3
【思路点拨】
（1）先去分母，然后求解检验即可；
（2）将分式方程去分母，然后求解检验即可．
【解题过程】
解：（1）方程两边同时乘x−2，得1−x−(x−2)=−2，
化简，得2x−5=0
5
解得： x= ，
2
5
经检验，x= 是原分式方程的解，
2
5
所以x= ．
2
（2）解：去分母得 ，
2x(x+3)+(x−3)(x+3)=3(x−3) 2整理得，2x2+6x+x2−9=3x2−18x+27，
移项、合并同类项得，24x=36，
3
解得x= ，
2
3
检验：当x= 时，(x−3) 2 (x+3)≠0，，
2
3
∴x= 是原分式方程的解，
2
3
所以x= ．
2
x+5 x+2 x+3 x+4
8．（2023春·上海·八年级专题练习）解方程： + = +
x+4 x+1 x+2 x+3
【思路点拨】
1 1 1 1
先将原方程变形1+ +1+ =1+ +1+ ，再进一步化简转化为整式方程求解即可.
x+4 x+1 x+2 x+3
【解题过程】
1 1 1 1
解：原方程可变形为，1+ +1+ =1+ +1+ ，
x+4 x+1 x+2 x+3
1 1 1 1
化简得， + = + ，
x+4 x+1 x+2 x+3
2x+5 2x+5
即 = ，
(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)
∴2x+5=0，
5
解得，x=− ,
2
5
检验，把x=− 代入(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)≠0，
2
5
∴原方程的解为x=− .
2
x+2005 x+2007 x+2008 x+2004
9．（2023·全国·九年级专题练习）解方程： + = + .
x+2004 x+2006 x+2007 x+2003
【思路点拨】
1 1 1 1
原方程变形为 + = + ，再去分母求解方程进行检验即可.
x+2004 x+2006 x+2007 x+2003
【解题过程】1 1 1 1
解：原方程可化为 + = + ，
x+2004 x+2006 x+2007 x+2003
1 1 1 1
即 − = − ，
x+2006 x+2007 x+2003 x+2004
(x+2007)−(x+2006) (x+2004)−(x+2003)
= ，
(x+2006)(x+2007) (x+2003)(x+2004)
1 1
= ，
(x+2006)(x+2007) (x+2003)(x+2004)
(x+2006)(x+2007)=(x+2003)(x+2004)，
x2+4013x+4026042=x2+4007x+4014012，
6x=−12030，
x=−2005.
经检验，x=−2005是原方程的根.
∴原方程的解是x=−2005.
10．（2023·全国·九年级专题练习）解方程
16x−13 40x−43 32x−30 20x−24
（1） + = +
4x−3 8x−9 8x−7 4x−5
1 1 1 2001
（2） + +⋯+ =
(x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+2001)(x+2002) 3x+6006
【思路点拨】
（1）此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答．通过化简，观察此方程分子有相同的部分，
可采用特殊的方法来解．
1 1 1
（2）此方程不能直接去分母，由 = − ，可化简方程左边的式子，观察方程可得分
(x+1)(x+2) x+1 x+2
子是相同的，即可得分母相等，转化成整式方程，求解即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：方程化简，得：
1 2 2 1
4− +5+ =4− +5+ ，
4x−3 8x−9 8x−7 4x−5
2 2 1 1
+ = + ，
8x−9 8x−7 4x−3 4x−5
2(8x−9+8x−7) 4x−3+4x−5
= ，
(8x−9)(8x−7) (4x−3)(4x−5)4(8x−8) (8x−8)
= ，
(8x−9)(8x−7) (8x−9)(8x−7)
当x=1时，等式成立；
当x≠1时，转化为整式方程为：4（4x-3）（4x-5）=（8x-9）（8x-7），
整理方程，得：64x2-128x+60=64x2-128x+63，等式不成立．
经检验，x=1是方程的解．
1 1 1 1 1 1 2001
（2）方程化简，得： − + − +...... − = ，
x+1 x+2 x+2 x+3 x+2001 x+2002 3x+6006
1 1 2001
− = ，
x+1 x+2002 3x+6006
2001 2001
= ，
(x+1)(x+2002) 3x+6006
（x+1）（x+2002）=3x+6006，
x2+2003x+2002=3x+6006，
解得：x=-2002或x=2，
经检验，x=-2002是增根，x=2是原方程的根．
x x+1 x−2m
11．（2022秋·上海·七年级专题练习）当m为何值时，分式方程 − = 的解不小于1?
x+3 x−2 x2+x−6
【思路点拨】
先给方程两边乘以最小公分母（x+3）（x-2）把原方程转化为整式方程，再解整式方程求得x的值，然后
列出关于m的不等式，通过解不等式来求m的取值范围．
【解题过程】
解：由原方程得：x(x−2)−(x+1)(x+3)=x−2m，
2m−3
整理得：−7x=3−2m，解得：x= .
7
x x+1 x−2m
∵分式方程 − = 的解不小于1，且x≠−3、x≠2，
x+3 x−2 x2+x−6
2m−3
{ ≥1
)
7
2m−3
∴ ≠−3 ，
7
2m−3
≠2
7
17
解得：m≥5，且m≠ .
2x−a 5
12．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）已知关于x的分式方程 − =1
x−2 x
（1）若分式方程的根是x=5，求a的值
（2）若分式方程有增根，求a的值
（3）若分式方程有无解，求a的值
【思路点拨】
（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；
（2）原方程整理得(a+3)x=10，由分式有增根，则x(x−2)=0，得到x=0或x=2，分两种情况分别求解
即可；
（3）由（2）可知，(a+3)x=10，分a+3=0和a+3≠0两种情况分别求解即可.
【解题过程】
x−a 5
（1）解：把x=5代入 − =1得，
x−2 x
5−a 5
− =1，
5−2 5
解得a=−1；
x−a 5
（2） − =1，
x−2 x
两边都乘以x(x−2)得，
x(x−a)−5(x−2)=x(x−2)，
整理得，(a+3)x=10，
由分式有增根，则x(x−2)=0，
∴x=0或x=2，
把x=0代入(a+3)x=10，a的值不存在，
把x=2代入2(a+3)=10，解得a=2，
综上可知，a=2；
（3）由（2）可知，(a+3)x=10，
当a+3=0时，方程无解，即a=−3，
当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a=2，
综上可知，a=−3或a=2．
1 1 1
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）观察下列各式： = =1− ，
2 1×2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= = − ， = = − ， = = − ， = = − ，…
6 2×3 2 3 12 3×4 3 4 20 4×5 4 5 30 5×6 5 6
（1）请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含n（n表示正整数）的等式表示出来___．
1 1 1 1 1
（2）请利用上述规律计算： + + +⋯+ + ．（n为正整数）
2 6 12 (n−1)n n(n+1)
1 1 1 1
（3）请利用上述规律，解方程： + + = ．
(x−2)(x−1) (x−1)x x(x+1) x+1
【思路点拨】
（1）根据给出的式子，写出用n表示的一般规律即可；
（2）利用找出的一般规律进行计算即可；
1 2
（3）根据找出的规律将方程变形为 = ，然后解分式方程即可．
x−2 x+1
【解题过程】
1 1 1
（1）解：∵ = =1− ，
2 1×2 2
1 1 1 1
= = − ，
6 2×3 2 3
1 1 1 1
= = − ，
12 3×4 3 4
1 1 1 1
= = − ，
20 4×5 4 5
1 1 1 1
= = − ，
30 5×6 5 6
…，
1 1 1
∴ = − ．
n(n+1) n n+1
1 1 1
故答案为： = − ．
n(n+1) n n+1
1 1 1 1 1
（2）解： + + +⋯+ +
2 6 12 (n−1)n n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋅⋅⋅+ − + −
2 2 3 3 4 n−1 n n n+1
1
=1−
n+1
n+1 1
= −
n+1 n+1n
= ．
n+1
1 1 1 1 1 1 1
（3）解：分式方程整理得： − + − + − = ，
x−2 x−1 x−1 x x x+1 x+1
1 2
即 = ，
x−2 x+1
方程两边同时乘(x−2)(x−1)，得x+1=2(x−2)，
解得：x=5，
检验：把x=5代入(x−2)(x−1)得：(x−2)(x−1)=12≠0，
∴x=5是原分式方程的解，
∴原方程的解为：x=5．
14．（2023秋·广东珠海·八年级统考期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + =1− + − + − =1− = ，利用上面这个运算规律解决以下问题：
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
1 1 1
（1）求 + + 的值；
5×6 6×7 7×8
1 1 1 1 1
（2）证明： + + +⋯+ + <1；
1×2 2×3 3×4 (n−1)n n(n+1)
1 1 1 1 1
（3）解方程： + + + = ．
3x 15x 35x 63x x+1
【思路点拨】
（1）根据“裂项”的方法，计算即可；
（2）根据“裂项”的方法，计算证明即可；
（3）首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．
【解题过程】
1 1 1
（1）解： + +
5×6 6×7 7×8
1 1 1 1 1 1
= − + − + −
5 6 6 7 7 8
1 1
= −
5 8
3
= ；
401 1 1 1 1
（2）证明： + + +⋯+ +
1×2 2×3 3×4 (n−1)n n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋯+ − + −
2 2 3 3 4 n−1 n n n+1
1
=1−
n+1
n
= ，
n+1
∵n<n+1，
n
∴ <1，
n+1
1 1 1 1 1
∴ + + +⋯+ + <1；
1×2 2×3 3×4 (n−1)n n(n+1)
1 1 1 1 1
（3）解： + + + =
3x 15x 35x 63x x+1
1 (1 1 1 1 ) 1
⋅ + + + = ，
x 3 15 35 63 x+1
1 ( 1 1 1 1 ) 1
⋅ + + + = ，
x 1×3 3×5 5×7 7×9 x+1
1 ( 1 1 1 1 1 1 1) 1
1− + − + − + − = ，
2x 3 3 5 5 7 7 9 x+1
1 ( 1) 1
1− = ，
2x 9 x+1
1 8 1
⋅ = ，
2x 9 x+1
4 1
= ，
9x x+1
9x=4x+4，
5x=4，
4
x= ，
5
4
检验：x= 是原分式方程的解，
5
4
∴原方程的解为x= ．
5
15．（2023春·八年级课时练习）先阅读下面的材料，然后回答问题：1 1 1
方程x+ =2+ 的解为x =2，x2 = ；
x 2 ❑1 ❑ 2
1 1 1
方程x+ =3+ 的解为x =3，x = ；
x 3 ❑1 ❑2 3
1 1 1
方程x+ =4+ 的解为x =4，x = ；
x 4 ❑1 ❑2 4
…
1 1
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+ =6+ 的解是 ；
x 6
1 1
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+ =a+ 的解是 ；
x a
y+2 10 1 1
（3）由（2）可知，在解方程y+ = 时，可以变形转化为x+ =a+ 的形式求值，按要求写出你
y+1 3 x a
的变形求解过程．
2x−1 x+2 17
（4）利用（2）的结论解方程： + = ．
x+2 2x−1 4
【思路点拨】
（1）根据已知材料即可得出答案；
（2）根据已知材料即可得出答案；
1 1 1
（3）把方程转化成(y+1)+ =3+ ，由材料得出y+1=3，y+1= ，求出方程的解即可；
y+1 3 3
（4）利用换元法，转化为材料中的规律解答．
【解题过程】
1 1 1
（1）解：关于x的方程x+ =6+ 的解是：x =6，x = ，
x 6 ❑1 ❑2 6
1
故答案为：x =6，x = ；
❑1 ❑2 6
1 1 1
（2）关于x的方程x+ =a+ 的解是：x =a，x = ，
x a ❑1 ❑2 a
1
故答案为：x =a，x = ；
❑1 ❑2 a
y+2 10
（3）y+ = ，
y+1 3
y+1+1 10
y+ = ，
y+1 31 1
(y+1)+ =3+ ，
y+1 3
1
即y+1=3，y+1= ，
3
2
解得：y =2，y =− ；
❑1 ❑2 3
2x−1 2x−1 x+2 17 1 1
（4）令 =m，则方程 + = 可化为m+ =4+ ，
x+2 x+2 2x−1 4 m 4
1
由（2）规律可得，m1 =4，m = ；
❑ ❑2 4
2x−1 2x−1 1
即 =4或 = ，
x+2 x+2 4
9 6
解得x =− ，x = ．
❑1 2 ❑2 7
16．（2023春·八年级课时练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
x−1 4x
解方程： − =0
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为：y− =0，方程两边同时乘以y得：y2−4=0，解得：y=±2，经检
x y
验：y=±2
4
都是方程y− =0的解，
y
x−1 x−1 1
∴当y=2时， =2，解得x=−1；当y=−2时， =−2，解得：x= ．
x x 3
1
经检验：x=−1或x= 都是原分式方程的解，
3
1
∴原分式方程的解为x=−1或x= ．
3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
x−1 x 5
（1）若在方程中 + = ，设 = y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
x x−1 2
x−1 3
（2）模仿上述换元法解方程： − −1=0．
x+2 x−1
【思路点拨】
（1）根据换元法，可得答案；x−1 x+2
（2）根据分式的加减，可得 − =0，根据换元法，可得答案．
x+2 x−1
【解题过程】
x−1 1 5
（1）设 = y，则原方程化为：y+ = ，
x y 2
1
方程两边同时乘以2y得：2y2−5 y+2=0，解得：y= 或2，
2
1 1 5
经检验：y= 和2都是方程y+ = 的解．
2 y 2
1 x−1 1
当y= 时， = ，解得x=2；
2 x 2
x−1
当y=2时， =2，解得：x=−1．
x
经检验：x=2和x=−1是原分式方程的解，
x−1 1 5
故答案为： ，y+ = ，x=2或x=−1；
x y 2
x−1 x+2
（2）原方程化为： − =0，
x+2 x−1
x−1 1
设y= ，则原方程化为：y− =0，
x+2 y
方程两边同时乘以y得：y2−1=0，解得：y=±1，
1
经检验：y=±1都是方程y− =0的解．
y
x−1
当y=1时， =1，该方程无解；
x+2
x−1 1
当y=−1时， =−1，解得：x=− ．
x+2 2
1
经检验x=− 是原分式方程的解，
2
1
∴原分式方程的解为x=− ．
2
17．（2022秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考阶段练习）对x,y定义一种新运算T，规定
ax2+b y2
T(x,y)= （其中a,b是非零常数，且x+ y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：
x+ ya×32+b×12 9a+b am2+4b
T(3,1)= = ， T(m,−2)= ．
3+1 3+1 m−2
（1）填空：T(4,−1)= （用含a,b的代数式表示）；
（2）若T(−2,0)=−2，且T(5,−1)=6．
①求a与b的值；
②若T(3m−10,−3m)=T(−3m,3m−10)，求m的值．
【思路点拨】
（1）利用新运算的规定解答即可；
（2）①利用新运算的规定得到关于a,b的方程，解方程即可求得结论；②利用新定义的规定列出关于m的
等式，再将a,b的值代入求解即可．
【解题过程】
a×42+b×(−1) 2 16a+b
（1）解：T(4,−1)= = ．
4−1 3
16a+b
故答案为： ；
3
（2）①∵T(−2,0)=−2，
a×(−2) 2+b×02
∴ =−2，整理，可得a=1①，
−2+0
∵T(5,−1)=6，
a×52+b×(−1) 2
∴ =6，
5−1
∴25a+b=24②，
{ a=1 ) { a=1 )
由①、②组成二元一次方程组 ，解得 ；
25a+b=24 b=−1
②∵T(3m−10,−3m)=T(−3m,3m−10)，
a×(3m−10) 2+b×(−3m) 2 a×(−3m) 2+b×(3m−10) 2
∴ = ，
3m−10−3m −3m+3m−10
{ a=1 )
∵ ，
b=−1
1×(3m−10) 2+(−1)×(−3m) 2 1×(−3m) 2+(−1)×(3m−10) 2
∴ = ，
3m−10−3m −3m+3m−10
∴9m2−60m+100−9m2=9m2−9m2+60m−100，
∴−120m=−200，5
∴m= ，
3
5
经检验，m= 是原方程的根，
3
5
∴m= ．
3
mn
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）我们定义：形如x+ =m+n（m，n不为零），且两个解分别为
x
x =m，x =n的方程称为“十字分式方程”．
1 2
6 2×3
例如x+ =5为十字分式方程，可化为x+ =2+3，∴x =2，x =3．
x x 1 2
7 (−1)×(−7)
再如x+ =−8为十字分式方程，可化为x+ =(−1)+(−7)．∴x =−1，x =−7．
x x 1 2
应用上面的结论解答下列问题：
12
（1）若x+ =−7为十字分式方程，则x =______，x =______．
x 1 2
6 b a
（2）若十字分式方程x− =−5的两个解分别为x =a，x =b，求 + +1的值．
x 1 2 a b
2023k−2022k2
（3）若关于x的十字分式方程x− =2023k−2022的两个解分别为x ，x （k>2，
x−1 1 2
），求x +4044的值．
x >x 1
1 2 x
2
【思路点拨】
(−3)×(−4)
（1）将方程改写成x+ =(−3)+(−4)，再根据十字分式方程的定义作答即可；
x
b a (a+b) 2
（2）先根据十字分式方程的定义求出ab=−6，a+b=−5，再化简 + +1得 −1，最后代入计
a b ab
算求解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及k、x 、x 的取值范围求出x −1=2022k−2023，x −1=k，即
1 2 1 2
x =2022k−2022，x =k+1，然后代入求解即可．
1 2
【解题过程】
12 (−3)×(−4)
（1）解：∵方程x+ =−7是十字分式方程，可化为x+ =(−3)+(−4)，
x x∴x =−3，x =−4，
1 2
故答案为：−3，−4．
6
（2）解：∵十字分式方程x− =−5的两个解分别为x =a，x =b，
x 1 2
∴ab=−6，a+b=−5，
b a b2+a2 (a+b) 2−2ab (a+b) 2
∵ + +1= +1 = +1 = −1，
a b ab ab ab
(−5) 2 31
∴原式= −1 =− ．
−6 6
2023k−2022k2
（3）解：方程x− =2023k−2022是十字分式方程，可化为
x−1
2023k−2022k2
x−1− =2023k−2022−1，
x−1
∴ ，
(x −1)(x −1)=−(2023k−2022k2)=k(2022k−2023)
1 2
，
(x −1)+(x −1)=2023k−2023=k+(2022k−2023)
1 2
∵k>2，x >x ，
1 2
∴x −1=2022k−2023，x −1=k，即x =2022k−2022，x =k+1，
1 2 1 2
代入x +4044得，2022k−2022+4044 2022(k+1) ，
1 = =2022
x k+1 k+1
2
