文档内容
专题 19.1 一次函数的规律探究问题
◆ 典例分析
【典例1】如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机从A (1,0)与x轴成120°角出
1
❑√3
发，触碰到直线y= x上的A 点后，与原方向成60°角折回，再触碰到x轴上的A 点后，与原方向成
3 2 3
60°角折回，依次进行，当无人机行至A 时，无人机行驶的路程是 ．
2021
【思路点拨】
本题考查了一次函数的规律探究，解题的关键是找出等边三角形边长的递变规律．先由直线方程求得直线
与x轴的夹角，再证明无人机行驶的轨迹是若干个等边三角形，且每后一个等边三角形是前一个等边三角
形边长的2倍，最后利用巧算法求得无人机行驶的总路程．
【解题过程】
❑√3
解：如图，在直线y= x上任取一点P，作PQ⊥x轴，垂足为点Q，取OP的中点M．
3
( ❑√3 ) ❑√3
设P a, a ，即OQ=a,PQ= a，
3 3在Rt△OPQ中，OP=❑√OQ2+PQ2=❑ √ a2+ (❑√3 a ) 2 = 2❑√3 a，
3 3
∴OP=2PQ，
∵点M是斜边OP的中点，
1
∴MQ= OP=PM=PQ
2
∴△MPQ是等边三角形．
∴∠OPQ=60°，
∴∠POQ=30°.
即∠A OA =30°．
2 1
由A 与x轴成120°角出发，即∠OA A =120°，
1 1 2
∴∠A A A =180°−120°=60°，
2 1 3
依题意∠A A A =60°，
1 2 3
∴△A A A 是等边三角形．
1 2 3
同理：△A A A 、△A A A 、⋯、△A A A （n为正整数）均为等边三角形．
3 4 5 5 6 7 2n−1 2n 2n+1
由∠A OA =30°与∠OA A =120°，得∠OA A =30°，
2 1 1 2 2 1
∴A A =OA =1．则A A =OA
1 2 1 1 3 1
1
由A A ∥A A 可得A A = A A ，
1 2 3 4 1 2 2 3 4
∴A A =2．
3 4
所以每后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形边长的2倍．
∴(A A +A A )+(A A +A A )+(A A +A A )+⋯+(A A +A A )
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 2019 2020 2020 2021
2020
=(1+1)+(2+2)+(4+4)+⋯+2 2
=21+22+23+⋯+21010
设S=21+22+23+⋯+21010
则2S=22+23+⋯+21011
两式相减得：S=21011−2．
故答案为：21011−2．◆ 学霸必刷
1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线l:y=x−1与x轴交于点A ，依次作正方形A B C O，
1 1 1 1
正方形A B C C ，⋯⋯，正方形A B C C ，其中点A ，A ，A ，⋯⋯，A 在直线l上，点C ，
2 2 2 1 n n n n−1 1 2 3 n 1
C ，C ，⋯⋯，C 在y轴正半轴上，则点B 的坐标为（ ）
2 3 n 4
A．(16,32) B．(4,10) C．(8,16) D．(8,15)
【思路点拨】
首先通过求解一次函数图象与坐标轴的交点，可得出A 的坐标，进而得出OA 的长，由正方形的性质可
1 1
得A B =OA ，于是可得B 的坐标；⋯⋯，以此类推，同理可得B (2,3)，B (4,7)，B (8,15)，⋯⋯，
1 1 1 1 2 3 4
B (2n−1,2n−1)，据此即可得出答案．
n
【解题过程】
解：令y=0，则x−1=0，
解得：x=1，
∴A (1,0)，
1
∴OA =1−0=1，
1
∵四边形A B C O是正方形，
1 1 1
∴A B =OA =1，
1 1 1
∴B (1,1)，
1
令y=1，则x−1=1，解得：x=2，
∴A (2,1)，
2
∴C A =2−0=2，
1 2
∵四边形A B C C 是正方形，
2 2 2 1
∴A B =C A =2，
2 2 1 2
∴B 的纵坐标为：A B +A B =1+2=3，
2 1 1 2 2
∴B (2,3)，
2
⋯⋯
同理可得B (4,7)，B (8,15)，⋯⋯，B (2n−1,2n−1)，
3 4 n
故选：D．
1 1
2．（24-25八年级上·河南·阶段练习）如图，直线l :y=x+1与直线l :y= x+ 相交于点P(−1,0)，直
1 2 2 2
线l 与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处后，改为
1 2 1
垂直于x轴的方向运动，到达直线l 上的A 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处
1 1 2 2
后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线l 上的点A 处后，仍沿平行于x轴的方向运动…，照此规律
1 2
运动，动点C依次经过点B ,A ,B ,A ,B ,A ,…,B ,A ⋯，则当动点C从A到达A 处时，运
1 1 2 2 3 3 2024 2024 2024
动的总路径的长为（ ）
A．22024−2 B．22023−1 C．22025−2 D．22026−2
【思路点拨】
由直线l :y=x+1确定点A(0,1)，利用解析式确定B (1,1)，A (1,2)，计算得到AB +A B =2，同理可
1 1 1 1 1 1
证A B +A B =4=22 ，由此可得A B +A B =2n ，继而确定动点C从A到达A 处时，运动的总路径
1 2 2 2 n−1 n n n n
的长为2+22+23+…+2n=2n+1−2，据此即可求解．
本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键．
【解题过程】
解：由直线l :y=x+1可知A(0,1)，根据题意，
11 1
当y=1时，得1= x+ ，
2 2
解得x=1，
∴B (1,1)，
1
当x=1时，y=x+1=2，
∴A (1,2)，
1
∴AB =1−0=1，A B =2−1=1，
1 1 1
∴AB +A B =2，
1 1 1
1 1
当y=2时，得2= x+ ，
2 2
解得x=3，
∴B (3,2)，
2
当x=3时，y=x+1=4，
∴A (3,4)，
2
∴A B =3−1=2，A B =4−2=2，
1 2 2 2
∴A B +A B =4=22 ，
1 2 2 2
由此可得，A B +A B =2n ，
n−1 n n n
∴动点C从A到达A 处时，运动的总路径的长为2+22+23+…+2n=2n+1−2，
n
∴动点C从A到达A 处时，运动的总路径的长为22025−2．
2024
故答案为：C．
3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）正方形A B C O，A B C C ，A B C C 按如图的方式放置，
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2
A A A …和点C C C …分别在直线y=x+2和x轴上，则点B 的坐标是（ ）
1 2 3 1 2 3 2024
A．(22025−2,22024) B．(22023+2,22024)
C．(22024,22024+2) D．(22023,22024)
【思路点拨】本题考查了正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特点，找到规律是解题的关键.
根据一次函数图象上点的坐标特点和正方形的性质依次求出B (22−2,21)，B (23−2,22)，B (24−2,23)
1 2 3
，找到规律，可得点B 的坐标是(2n+1−2,2n)，即可求解.
n
【解题过程】
解：对于直线y=x+2，当x=0时，y=2，
∴A (0,2)，OA =2，
1 1
∵四边形A B C O是正方形，
1 1 1
∴OC =B C =2，即B (2,2)，B (22−2,21)
1 1 1 1 1
当x=2时，y=4，
∴A (2,4)，即A C =4，
2 2 1
∵四边形A B C C 是正方形，
2 2 2 1
∴C C =B C =4，即B (6,4)，即B (23−2,22)，
1 2 2 2 2 2
当x=6时，y=6+2=8，
∴A (6,8)，即A C =8，
3 3 2
∵四边形A B C C 是正方形，
3 3 3 2
∴C C =B C =8，即B (14,8)，即B (24−2,23)，
3 2 3 3 3 3
以此类推，可得点B 的坐标是(2n+1−2,2n)；
n
点B 的坐标是(22025−2,22024)；
2024
故选：A.
4．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A
3
逆时针旋转到△AB O 的位置，使点B的对应点B 落在直线y=− x上，再将△AB O 绕点B 逆时针旋
1 1 1 4 1 1 1
3
转到△A B O 的位置，使点O 的对应点O 也落在直线y=− x上，如此下去，……，若点B的坐标为
1 1 2 1 2 4
(0,3)，则点B 的坐标为（ ）．
37A．(180,135) B．(180,133) C．(−180,135) D．(−180,133)
【思路点拨】
本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过
程中线段长度的关系是解题的关键．通过求出点A的坐标，AB、OA、OB的长度，再根据旋转的特点逐
步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可．
【解题过程】
解：∵ AB⊥y轴，点B的坐标为(0,3)，
3
∴ OB=3，则点A的纵坐标为3，代入y=− x，
4
得：x=−4，则点A的坐标为(−4,3)．
∴ OB=3，AB=4，
OA=❑√32+42=5，
由旋转可知，OB=O B =O B =…=3，OA=O A=O A =…=5，AB=AB =A B =A B =…=4
1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2
，
∴ OB =OA+AB =4+5=9，B B =3+4+5=12，
1 1 1 3
∴ B B =B B =…=B B =12，
1 3 3 5 35 37
(37−1)
∴ OB =OB +B B =9+ ×12=225．
37 1 1 37 2
( 3 )
设点B 的坐标为 a,− a ，
37 4
则OB =❑ √ a2+ ( − 3 a ) 2 =225，
37 4
3
解得a=−180或180（舍去），则− a=135，
4
∴点B 的坐标为(−180,135)．
37故选C．
5．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，直线l:y=x+2交y轴于点A ，在x轴正方向上取点B ，使
1 1
OB =OA ；过点B 作A B ⊥x轴，交l于点A ，在x轴正方向上取点B ，使B B =B A ；过点B 作
1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2
A B ⊥x轴，交l于点A ，在x轴正方向上取点B ，使B B =B A ;……记△OA B 面积为S ，
3 2 3 3 2 3 2 3 1 1 1
△B A B 面积为S ，△B A B 面积为S ，则S 等于（ ）
1 2 2 2 2 3 3 3 2024
A．4047 B．4048 C．24047 D．24048
【思路点拨】
本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，
面积的计算方法是解题的关键．根据题意，分别算出S ,S ,S ⋯的值，找出规律即可求解．
1 2 3
【解题过程】
解：将x=0代入y=x+2得，y=2，
∴A (0,2),
1
∴OA =2，
1
∵OB =OA ，
1 1
∴OB =2，
1
1
∴S = ×2×2=2，
1 2
∵A B ⊥x轴，且点A 在直线y=x+2的图象上，
2 1 2
∴A (2,4)，
2
∴B B =B A =4，
1 2 1 2
1
∴S = ×4×4=8=23 ，
2 2
1 1
依此类推，S = ×8×8=32=25 ，S = ×16×16=128=27 ，⋯⋯，
3 2 4 2
∴S =22n−1 （n为正整数），
n当n=2024时，S =22×2024−1=24047 ，
2024
故选：C ．
6．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象为直线l，作点
A (1,0)关于直线l的对称点A ，将A 向右平移2个单位得到点A ；再作A 关于直线l的对称点A ，将A
1 2 2 3 3 4 4
向右平移2个单位得到点A ；…则按此规律，所作出的点A 的坐标为（ ）
5 2024
A．(1012,1011) B．(1012,1009) C．(1009,1012) D．(1011,1012)
【思路点拨】
本题主要考查了点的坐标规律探索，轴对称的性质，坐标与图形变化−平移，一次函数的图象和性质，通
过求出A (0,1)，A (2,1)，A (1,2)，A (3,2)，A (2,3)，进而得到规律当n=2k（k为正整数）时，
2 3 4 5 6
A (k−1,k)，当n=2k−1时，A (k,k−1)，再由2024=2×1012，即可求出答案．
n n
【解题过程】
解：如图所示，
设A A 与直线l交于点C，
2 3
∵A (1,0)，
1
∴OA =1，
1
∵函数y=x的图象为直线l，
∴∠A OC=45°，
1
由轴对称的性质可得OA =OA =1，∠A OC=∠A OC=45°，
2 1 2 1
∴∠A OA =90°，
1 2
∴A (0,1)，
2∵将A 向右平移2个单位得到点A ，
2 3
∴A (2,1)，
3
同理可得A (1,2)，
4
∴A (3,2)，A (2,3)，
5 6
......，
以此类推，可知当n=2k（k为正整数）时，A (k−1,k)，当n=2k−1时，A (k,k−1)，
n n
∵2024=2×1012，
∴A (1012−1,1012)，即A (1011,1012)．
2024 2024
故选：D．
7．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图．在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，…和B ，B ，B
1 2 3 1 2 3
1
，…分别在直线y= x+b和x轴上，△OA B ，△B A B ，△B A B ，…都是等腰直角三角形，如果
5 1 1 1 2 2 2 3 3
点A (1,1)，那么点A 的纵坐标是（ ）
1 2024
(3) 2023 (3) 2024 (4) 2023 (4) 2024
A． B． C． D．
2 2 3 3
【思路点拨】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的
规律是解题的关键．设点A ，A ，A ，…，A 坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题即
1 2 3 2024
可．
【解题过程】
解：过A 作A E ⊥x轴于E ，过A 作A E ⊥x轴于E ，过A 作A E ⊥x轴于E ，…，
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
如图，1
∵A (1,1)在直线y= x+b上，
1 5
4
∴b= ，
5
1 4
∴y= x+ ；
5 5
设A (x ,y )，A (x ,y )，A (x ,y )，A (x ,y )，…， A (x ,y )，
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 2022 2022 2022
1 4 1 4 1 4
则有y = x + ，y = x + ，y = x + ，…，
1 5 1 5 2 5 2 5 3 5 3 5
又∵△OA B ，△B A B ，△B A B ，…，都是等腰直角三角形，A E ⊥x轴，A E ⊥x轴，
1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 2 2
A E ⊥x轴，…，
3 3
∴OB =2A E，B B =2A E ，B B =2A E ，…，
1 1 1 2 2 2 2 3 3 3
∴x =2y + y ，x =2y +2y + y ，…，
2 1 2 3 1 2 3
x =2y +2y +2y +⋯+2y + y ，
2022 1 2 3 2021 2022
将点A ，A ，A ，⋯，A 的坐标依次代入直线解析式得到：
2 3 4 2024
1 1 1 3 3 3
y = y +1 ，y = y + y +1= y ，y = y ， …，y = y ，
2 2 1 3 2 1 2 2 2 2 4 2 3 2022 2 2021
又∵y =1 ，
1
3 (3) 2 (3) 3 (3) 2023
∴y = ， y = ， y = ，…，y = ；
2 2 3 2 4 2 2024 2
故选：A．
1
8．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y=− x和点P（1，0），过点
2
P作y轴的平行线交直线a于点P，过点P 作x轴的平行线交直线b于点P，过点P 作y轴的平行线交直
1 1 2 2
线a于点P，过点P 作x轴的平行线交直线b于点P，…，按此作法进行下去，则点P 的坐标为
3 3 4 2024
（ ）A．(21012,−21011
)
B．(21012,−21012
)
C．(−21012,21011
)
D．(21012,21012
)
【思路点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点坐标规律探索，首先根据点的变化规律分别求出点P 、P
1 2
1
、P 、P 的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点P 的横坐标，再根据点P 在直线y=− x上
3 4 2024 2024 2
求出纵坐标．
【解题过程】
解：∵点P的坐标为(1,0)，点P 在直线y=x上，
1
∴点P 的坐标是(1,1)，
1
∵P P ∥x轴，
1 2
∴点P 的纵坐标是1，
2
1
又∵点P 在y=− x上，
2 2
1
解方程− x=1，
2
解得：x=−2，
∴点P 的坐标是(−2,1)，
2
∵P P ∥y轴，
2 3
∴点P 的横坐标是−2，
3
又∵点P 在直线y=x上，
3
∴点P 的坐标是(−2,−2)，
3
∵P P ∥x轴，
3 4∴点P 的纵坐标是−2，
4
1
又∵点P 在直线y=− x上，
4 2
1
可得方程− x=−2，
2
解得：x=22，
∴点P 的坐标是(22,−2)，
4
根据规律可得：P 的横坐标为(−2) 1，P 的横坐标为(−2) 1，
2 3
P 的横坐标为(−2) 2，P 的横坐标为(−2) 2，
4 5
P 的横坐标为(−2) 3，P 的横坐标为(−2) 3，
6 7
⋯⋯，
∴P 的横坐标为(−2) 2n，
4n
∵2024=506×4，
∴P 的横坐标为(−2) 2×506=(−2) 1012=21012，
2024
1
又∵点P 在y=− x上，
2024 2
1 1
可得：y=− x=− ×21012=−21011 ，
2 2
∴点P 的坐标为(21012,−21011)
2024
故答案选： A．
9．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形A B C A ，A B C A ，A B C A ，…按如图所示的方式放
1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4
置，点A ，A ，A ，…和点B ，B ，B ，…分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上．已知点A (0,1)，点
1 2 3 1 2 3 1
B (1,0)，，则C 的坐标是( )
1 5A．(44,15) B．(45,16) C．(46,16) D．(47,16)
【思路点拨】
由题意可知A 纵坐标为1，A 的纵坐标为2，A 的纵坐标为4，A 的纵坐标为8，…，即可得到C ，C ，
1 2 3 4 1 2
C ，C ，C 的纵坐标，根据图象得出C (2,1)，C (5,2)，C (11,4)，即可得到C ，C ，C ，C ，
3 4 5 1 2 3 1 2 3 4
1 1
C …C 在一条直线上，直线的解析式为y= x+ ，把C 的纵坐标代入即可求得横坐标．
5 n 3 3 n
【解题过程】
解：∵A (0,1)，点B (1,0)，
1 1
∴OA =OB ，
1 1
∴A B =❑√2，
1 1
过C 作C M⊥x轴于M， 过A 作A N⊥y轴于N，
1 1 2 2
∵四边形A B C A 为正方形，
1 1 1 2
∴△A OB ≅△B MC ≅△A M A ，
1 1 1 1 1 2
∴OB =B M=MC =A N=N A =1，
1 1 1 1 2
∴C (2,1)，A (1,2)，
1 2
同理可求得：A 纵坐标为1，A 的纵坐标为2，A 的纵坐标为4，A 的纵坐标为8，…，A 和C ，A 和
1 2 3 4 1 1 2
C ，A 和C ，A 和C 的纵坐标相同，
2 3 3 4 4
∴C ，C ，C ，C ，C ，…C 的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…2n−1，
1 2 3 4 5 n
∴根据图象得出C (2,1)，C (5,2)，C (11,4)，
1 2 31 1
∴直线C C 的解析式为y= x+ ，
1 2 3 3
∵C 的纵坐标为2n−1，
n
1 1
把y=2n−1代入y= x+ ，解得x=3×2n−1−1，
3 3
∴C 的坐标是(3×2n−1−1,2n−1)，
n
当n=5时，C (47,16)，
5
故选：D．
1
10．（2024·黑龙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l:y= x+1交x轴于点B ，交y轴于点
2 0
A ，点A ，A ，A ，A ，⋯都在直线l上；点B ，B ，B ，B ，⋯都在x轴上，以A 为直角顶点作等
1 2 3 4 5 1 2 3 4 1
腰直角三角形A B B ；再以A 为直角顶点作等腰直角三角形A B B ⋯⋯如此下去，则等腰直角三角形
1 1 2 2 2 2 3
A B B 的腰长A B 为 ．
2024 2024 2025 2024 2024
【思路点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，通过罗列计算得到规律是关键．根据题意，分别计算A B 、
1 1
A B 、A B 、A B 可得边长规律，据此计算即可．
2 2 3 3 4 4
【解题过程】
1
解：在函数y= x+1中，令x=0，则y=1；令y=0，则x=−2，
2
∴A (0,1)，B (−2,0)，
1 0
∵△A B B 是等腰直角三角形，
1 1 2
∴A B =❑√2=30❑√2，
1 1
1
设A (t+1,t)代入直线解析式得t= (t+1)+1，解得t=3，
2 2∴A B =3❑√2=31❑√2，
2 2
1
设A (1+3+3+m,m)代入直线解析式得m= ×(7+m)+1，解得m=9，
3 2
∴A B =9❑√2=32❑√2，
3 3
1
设A (1+6+9+9+n,n)代入直线解析式得n= ×(25+n)+1，解得n=27，
4 2
∴A B =27❑√2=33❑√2，
4 4
⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
∴A B =32023❑√2．
2024 2024
故答案为：32023❑√2．
11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，△OA B ，△B A B ，…，△B A B 都是边
0 1 1 1 2 2024 2024 2025
长为2的等边三角形，边OA 在x轴上，点B ，B ，B ，…，B 都在直线y=❑√3x上，则点A 的坐
0 1 2 3 2025 2024
标是 ．
【思路点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标规律探究，找到平移规律，继而求出A 坐标即可．
2024
【解题过程】
解：过B 作B N⊥x轴于N，
1 1∵△OA B ，△B A B ，…，△B A B 都是边长为2的等边三角形，边OA 在x轴上，
0 1 1 1 2 2024 2024 2025 0
1
∴OA =OB =2，ON= OA =1，后面每一等边三角形都是在前一个等边三角形的基础上沿射线OB
0 1 2 0 1
平移2个单位长度，
∴B N=❑√3，A (2,0)，
1 0
∴B (1,❑√3)，
1
∴后面每一等边三角形都是在前一个等边三角形的基础上向右移动1个单位长度，再向上移动❑√3个单位长
度得到的图形；
∴点A 是在A (2,0)基础上平移2024次，每次向右移动1个单位长度，再向上移动❑√3个单位长度，
2024 0
∴点A 的坐标是(2024+2,2024❑√3)，
2024
∴A (2026,2024❑√3)．
2024
故答案为：(2026,2024❑√3)．
12．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，过点A (1,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；点A 与
1 1 2
点O关于直线A B 对称；过点A (2,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；点A 与点O关于直线A B 对
1 1 2 2 3 2 2
称；过点A 作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；按B 此规律作下去，则点B 的坐标为 ，B 的坐标
3 3 3 3 n
为 ．【思路点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性
质．先根据题意求出A 点的坐标，再根据A 点的坐标求出B 的坐标，以此类推总结规律便可求出点B 、
2 2 2 3
B 的坐标．
n
【解题过程】
解：∵点A 坐标为(1,0)，
1
∴OA =1，
1
过点A 作x轴的垂线交直线于点B ，
1 1
∴将x=1代入y=2x得y=2，
∴B 点的坐标为(1,2)，
1
∵点A 与点O关于直线A B 对称，
2 1 1
∴OA =A A =1，
1 1 2
∴OA =1+1=2，
2
∴点A 的坐标为(2,0)，同理可得B 的坐标为(2,4)，
2 2
∵点A 与点O关于直线A B 对称．
3 2 2
故点A 的坐标为(4,0)，同理B 的坐标为(4,8)，
3 3
以此类推便可求出点A 的坐标为(2n−1,0)，同理点B 的坐标为(2n−1,2n )．
n n
故答案为：(4,8)，(2n−1,2n )．
13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，点A(2, 2)在直线y=x上，过点A 作A B ∥y轴交直线
1 1 1
1
y= x于点B ，以点A 为直角顶点，A B 为直角边在A B 的右侧作等腰直角△A B C ，再过点C 作
2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 11
A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A ，B 两点，以点A 为直角顶点，A B 为直角边在A B 的右
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
侧作等腰直角△A B C …，按此规律进行下去，则等腰直角△A B C 的面积为 ．（用含正整
2 2 2 n n n
数n的代数式表示）
【思路点拨】
本题考查了一次函数规律探索、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质和一次函数的性质求解即可，
熟练掌握等腰三角形的性质和一次函数的性质是解此题的关键．
【解题过程】
1
解：∵点A(2, 2)在直线y=x上，过点A 作A B ∥y轴交直线y= x于点B ，
1 1 1 2 1
∴B (2,1)，
1
1 1
∴A B =2−1=2，即△A B C 的面积= ×12= ，
1 1 1 1 1 2 2
∵A C =A B =1，
1 1 1 1
∴A (3,3)，
2
1
∵过点C 作A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A ，B 两点，
1 2 2 2 2 2
( 3)
∴B 3, ，
2 2
3 3 1 (3) 2 9
∴A B =3− = ，即△A B C 的面积= × = ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
9 1 (9) 2 81
依次类推，A B = ，即△A B C 的面积= × = ，
3 3 4 3 3 3 2 4 32
27 1 (27) 2 729
A B = ，即△A B C 的面积= × = ，
4 4 8 4 4 4 2 8 128
…，∴A B =
(3) n−1
，△A B C 的面积=
1
×
[(3) n−1 ) 2
=
32n−2
，
n n 2 n n n 2 2 22n−1
32n−2
故答案为： ．
22n−1
❑√3
14．（2024·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y= x+1与直线l :y=❑√3x交于点
1 3 2
A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B ，过B 作l 的平行线交l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B ，过B 作
1 1 1 1 2 1 2 2 2 2
l 的平行线交l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B …按此规律，则点A 的纵坐标为 ．
2 1 3 3 3 2024
【思路点拨】
本题考查了坐标规律探究，两直线的交点，一次函数图象性质．总结归纳出点A纵坐标变化规律是解题的
❑√3 3 (❑√3 3)
关键．联立直线l 与直线l 的表达式并解得：x= ，y= ，故A , ，依次求出：点A 的纵坐标
1 2 2 2 1 2 2 2
9 27 (3) n
为 、A 的纵坐标为 ，…，A 的纵坐标为 即可求解．
4 3 8 n 2
【解题过程】
❑√3 3 (❑√3 3)
解：联立直线l 与直线l 的表达式并解得：x= ，y= ，故A , ；
1 2 2 2 1 2 2
(❑√3 )
则点B ,0 ，则直线B A 的表达式为：y=❑√3x+b，
1 2 1 2
3
将点B 坐标代入上式并解得：直线B A 的表达式为：y =❑√3x− ，
1 1 2 3 2
5❑√3 9 9 (3) 2
将表达式y 与直线l 的表达式联立并解得：x= ，y= ，即点A 的纵坐标为 = ；
3 1 4 4 2 4 227 (3) 3
同理可得A 的纵坐标为 = ，
3 8 2
…
(3) n
A 的纵坐标为
n 2
(3) 2024
按此规律，则点A 的纵坐标为 ，
2024 2
(3) 2024
故答案为： ．
2
15．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知直线y=x+1与x轴交于点B，与y轴交于点A，
过点A作直线AB的垂线，交x轴于点C，以AC为直角边向右作等腰直角三角形ACD ，∠ACD =90°
1 1
，过点D 作AC的平行线，交直线AB于点A ，交x轴于点C ，再以A C 为直角边向右作等腰直角三角形
1 1 1 1 1
A C D ，∠A C D =90°……按照此方式作下去，点D 的坐标为 ．
1 1 2 1 1 2 2025
【思路点拨】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出点D 的坐标为(3×2n﹣1−1，2n﹣1)是解决本
n
题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到点A、D 的坐标，通过相应规律得到点D 的坐标即可．
1 2025
【解题过程】
解：∵直线AB的解析式为y=x+1，
∴B(−1，0)，A(0，1)，∠ABO=45°，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵AO⊥BC，
∴BC=2BO=2，
∵△ACD 是等腰直角三角形，∠ACD =90°，
1 1∴∠A AD =∠ABO=45°，∠C CD =∠ABC=45°，
1 1 1 1
∴AD ∥OC，AB∥CD ，
1 1
∴四边形ABCD 为平行四边形，
1
∴AD =BC=2，
1
∴D (2，1)，
1
同理D (5，2)，
2
…
点D 的坐标为(3×2n﹣1−1，2n﹣1)，
n
∴点D 的坐标为(3×22024−1,22024)．
2025
故答案为：(3×22024−1,22024)．
16．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，直线y=❑√3x，点A 的坐标为(1,0)，过点A 作x轴的
1 1
垂线交直线于点B ，以原点O为原点，OB 长为半径画弧交x轴于点A ；再过点A 作x轴的垂线交直线
1 1 2 2
于点B ，以原点O为圆心，OB 长为半径画弧交x轴于点A ；…，按此作法进行下去，点A 的坐标为
2 2 3 2024
．
【思路点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐
标特征结合勾股定理，求出点A ,A ,A 的坐标并找到规律是解题的关键．
2 3 4
根据A 的坐标和函数解析式，求得OB 的长度，再由此可求得A 的坐标，依次类推，即可求出点A ,A
1 1 2 3 4
探究规律利用规律即可解决问题．
【解题过程】
解：∵直线y=❑√3x，点A 的坐标为(1,0)，过点A 作x轴的垂线交直线于点B ，
1 1 1
∴B (1,❑√3)，
1在Rt△OA B 中，OA =1,A B =❑√3，
1 1 1 1 1
∴OB =❑√OA2+A B2=2，
1 1 1 1
∴点A 的坐标为(2,0)，
2
同理，可得出：点A 的坐标为(4,0)，点A 的坐标为(8,0)，
3 4
由此可知A 的坐标为(2n−1,0)，
n
A 的坐标为(22023,0)．
2024
故答案为：(22023,0)．
17．（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系Oxy中，△P OA ，△P A A ，△P A A ，…都
1 1 2 1 2 3 2 3
1
是等腰直角三角形，其直角顶点P (3,3)，P ，P ，…均在直线y=− x+4上．设△P OA ，
1 2 3 3 1 1
△P A A ，△P A A ，…的面积分别为S ，S ，S ，…，依据图形所反映的规律，S = ．
2 1 2 3 2 3 1 2 3 2025
【思路点拨】
本题考查规律型：一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规
律，利用规律解决问题．分别过点P 、P 、P 作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个
1 2 3
等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．
【解题过程】
解：如图，分别过点P 、P 、P 作x轴的垂线，垂足分别为点C、D、E，
1 2 3
∵P (3,3)，且△OP A 为等腰直角三角形，
1 1 1
∴OC=C A =P C=3，
1 1设A D=a，则P D=a，
1 2
∴OD=6+a，
∴点P 坐标为(6+a,a)，
2
1 1
将点P 坐标代入y=− x+4，得：− (6+a)+4=a，
2 3 3
3
解得：a= ，
2
3
∴A A =2a=3，P D= ，
1 2 2 2
3 3
同理求得P E= ，A A = ，
3 4 2 3 2
1
∴S = ×6×3=9，
1 2
1 3 9
S = ×3× = ，
2 2 2 4
1 3 3 9
S = × × = ，
3 2 2 4 16
……
9
∴S = ，
n 4n−1
9
因此S = ．
2025 42024
9
故答案为： ．
42024
18．（2025·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y=x，点A 的坐标为
1
(❑√2,0)，以O为圆心，OA 为半径画弧，交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交x轴于点A ；以O为圆
1 1 1 2
心，OA 为半径画弧，交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交x轴于点A ；以O为圆心，OA 为半径画
2 2 2 3 3
弧，交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交x轴于点A ；……按照这样的规律进行下去，点B 的横坐
3 3 4 2025
标是 ．【思路点拨】
本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作
B H⊥x轴于点H，依次求出B ，B ，B ，B ，找出规律即可解决．
1 1 2 3 4
【解题过程】
解：作B H⊥x轴于点H，
1
由条件可知OH=B H，
1
∴∠B OH=45°，
1
∵A (❑√2,0)，OA =OB ，
1 1 1
∴OB =OA =❑√2，
1 1
∴OH=B H=1，
1
∴B (1,1)，
1
由条件可知OB =B A =❑√2，
1 1 2
∴由勾股定理得：OA =❑√2OB =❑√2OA =2，
2 1 1
∴A (2,0)，B (❑√2,❑√2)，
2 2
同理，OA =OB =B A =2，
2 2 2 3∴OA =❑√2OA =2❑√2=(❑√2) 3 ，
3 2
∴B ((❑√2) 2 ,(❑√2) 2)，
3
同理，OA =(❑√2) 4 ，OA =(❑√2) 5 ⋯，
4 5
B ((❑√2) 3 ,(❑√2) 3)，B ((❑√2) 4 ,(❑√2) 4) ⋯，
4 5
∴OA =(❑√2) 2025 ，B ((❑√2) 2024 ,(❑√2) 2024)即B (21012,21012)，
2025 2025 2025
即点B 的横坐标是21012，
2025
故答案为：21012．
19．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知B (1,y )，B (2,y )，B (3,y )……在直线y=2x+3
1 1 2 2 3 3
上，在x轴上取点A ，使OA =a(0
