文档内容
专题 02 二次根式中的易错题
一．二次根式的定义（共4小题）
1．已知n是正整数，❑√20n是整数，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：❑√20n=❑√4×5n=2❑√5n，
∵❑√20n是整数，
∴n的最小值是5，
故选：D．
2．已知❑√13−m是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．1 D．4
【答案】D
【解答】解：∵❑√13−m是整数，
∴13﹣m为完全平方数，
∵当m最小取4时，13﹣m＝13﹣4＝9，此时❑√13−m=❑√9=3，
∴自然数m的最小值为4．
故选：D．
3．❑√54n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：根据题意，
因为❑√54n=❑√9×6n=3❑√6n，
且❑√54n是整数，
所以3❑√6n是整数，即被开方数6n是完全平方数，
根据完全平方数的概念，
所以6的最小正整数值为6．
故选：C．
4．❑√24n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：∵❑√24n=❑√4×6n=2❑√6n，
∴当n＝6时，❑√6n=6，
∴原式＝2❑√6n=12，
∴n的最小值为6．
故选：C．二．二次根式有意义的条件（共7小题）
5．若❑√−xy和❑√x−y（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（ ）
A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0
【答案】C
【解答】解：根据题意得﹣xy＞0且x﹣y≥0，
解得x＞0，y＜0．
故选：C．
6．若y=❑√2x−1+3❑√1−2x−2，则代数式xy的值为（ ）
1 1
A．4 B． C．﹣4 D．−
4 4
【答案】A
【解答】解：根据题意，得
{2x−1≥0)
，
1−2x≥0
1
解得x= ，
2
∴y＝﹣2；
1 −2
∴xy=( ) =4．
2
故选：A．
7．已知a，b为实数，且b=❑√a−8−❑√8−a+25，则√3 a+❑√b的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，a﹣8≥0，8﹣a≥0，
解得：a＝8，b＝25，
∴√3 a+❑√b=√38+❑√25=2+5=7．
故选：D．
8．若y=❑√x−2+❑√2−x+5，求x+y的值（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．7 D．5
【答案】C
{x−2≥0)
【解答】解：由二次根式有意义的条件，可得 ，
2−x≥0
{x≥2)
解得： ，
x≤2
∴x＝2，
∴y＝5，∴x+y＝2+5＝7．
故选：C．
9．已知实数a满足|2024−a|+❑√a−2025=a，则a﹣20242的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．20242 D．20252
【答案】B
【解答】解：已知实数a满足|2024−a|+❑√a−2025=a，
∵❑√a−2025要有意义，
∴a﹣2025≥0，
∴a≥2025，
∴2024﹣a＜0，
∴|2024−a|+❑√a−2025=a−2024+❑√a−2025=a，即❑√a−2025=2024，
∴a﹣2025＝20242，
∴a﹣20242＝2025，
故选：B．
10．已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，且a，b满足b=❑√a−2+❑√2−a+5，则此等腰三角形的
周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．无法计算
【答案】A
{a−2≥0)
【解答】解：由条件可知 ，
2−a≥0
∴a＝2，
∴b=❑√a−2+❑√2−a+5=5，
当腰长为2时，则等腰三角形的三边长为2，2，5，
∵2+2＜5，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为5时，则等腰三角形的三边长为2，5，5，
∵2+5＞5，
∴此时能构成三角形，符合题意
∴此等腰三角形的周长为2+5+5＝12；
故选：A．
❑√16−x2+❑√x2−16−1 7
11．已知实数x、y满足y= ，求 x+ y的立方根．
x+4 8
3
【答案】 ．
2
【解答】解：∵16﹣x2≥0，x2﹣16≥0，
∴x2＝16，解得x＝±4，
又∵分母中x+4≠0，
∴x≠﹣4，
∴x＝4，
0+0−1 1
∴y= =− ，
4+4 8
7 7 1 27
∴ x+ y= ×4− = ，
8 8 8 8
7 √27 3
∴ x+ y的立方根为3 = ．
8 8 2
三．二次根式的性质与化简（共8小题）
12．若x−❑√(x−2) 2=2，则（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
【答案】A
【解答】解：∵x−❑√(x−2) 2=2，
∴❑√(x−2) 2=x﹣2，
∴x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：A．
13．若❑√(a−5) 2=5−a，则a的取值范围是（ ）
A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5
【答案】D
【解答】解：若❑√(a−5) 2=5−a，
则a﹣5≤0，
解得a≤5，
故选：D．
14．已知y=❑√(x−2) 2−x+4，当x分别取1，2，3，⋯，2025时，所对应y值的总和是（ ）
A．2027 B．2025 C．4048 D．4052
【答案】D
【解答】解：由条件可知❑√(x−2) 2−x+4=|x−2|−x+4，需分两种情况讨论如下：
a．当 x≤2 时，|x﹣2|＝2﹣x，
∴y＝（2﹣x）﹣x+4＝6﹣2x，
x取1和2：
x＝1时，y＝6﹣2×1＝4，
x＝2时，y＝6﹣2×2＝2，∴总和为 4+2＝6；
b．当x＞2时，|x﹣2|＝x﹣2，
∴y＝（x﹣2）﹣x+4＝2；
x从3到2025，共2023个值，每个y＝2，
∴和为2023×2＝4046，
综上，6+4046＝4052．
故选：D．
15．如果3＜x＜5，则❑√(x−6) 2+❑√(2−x) 2的值为（ ）
A．﹣2x+8 B．2x﹣8 C．4 D．﹣8
【答案】C
【解答】解：∵3＜x＜5，
∴x﹣6＜0，2﹣x＜0，
∴原式＝﹣x+6+x﹣2＝4．
故选：C．
√ 1
16．二次根式x❑− 化成最简结果为（ ）
x
A．❑√x B．−❑√−x C．−❑√x D．❑√−x
【答案】B
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知：
x＜0，
√ 1
∴原式=−❑ x2×(− )=−❑√−x．
x
故选：B．
√ 1 1
17．当0＜a＜1时，化简❑(a− ) 2− =（ ）
a a
2 2
A．a B．﹣a C．a− D． −a
a a
【答案】B
【解答】解：∵0＜a＜1，
1
∴a＜ ，
a
√ 1 1 1 1
∴❑(a− ) 2− =| −a|− =−a，
a a a a
故选：B．
√ a+1
18．化简二次根式a❑− ，结果是（ ）
a2A．❑√a+1 B．−❑√a−1 C．−❑√−a−1 D．−❑√−a+1
【答案】C
a+1
【解答】解：∵a2＞0，− ≥0，
a2
∴﹣（a+1）≥0，
∴a≤﹣1，
❑√−a−1
∴原式=a×
−a
=−❑√−a−1．
故选：C．
19．化简❑√ 23−6❑√10+4❑√3−2❑√2的结果是（ ）
A．3+❑√2 B．3−2❑√2 C．3+2❑√2 D．3−❑√2
【答案】D
【解答】解：❑√ 23−6❑√10+4❑√3−2❑√2
=❑√ 23−6❑√ 10+4❑√ (❑√2−1) 2
=❑√23−6❑√10+4(❑√2−1)
=❑√23−6❑√10+4❑√2−4
=❑√23−6❑√4❑√2+6
=❑√ 23−6❑√ (2+❑√2) 2
=❑√23−6(2+❑√2)
=❑√23−12−6❑√2
=❑√11−6❑√2
=❑√ (3−❑√2) 2
=3−❑√2，
故选：D．
四．最简二次根式（共2小题）
20．在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．❑√1.3x B．❑√a2+a8 C．❑√a2+b2 D．❑√18
【答案】C
√13 ❑√130x
【解答】解：A、❑√1.3x=❑ x= 不是最简二次根式，不符合题意；
10 10
B、❑√a2+a8=|a|❑√1+a6不是最简二次根式，不符合题意；
C、❑√a2+b2是最简二次根式，符合题意；D、❑√18=3❑√2不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
21．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ a B．❑√a3 C．❑√35a D．❑√a2+2a+1
2
【答案】C
【解答】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、❑√a2+2a+1=❑√(a+1) 2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
五．二次根式的乘除法（共6小题）
22．若m＝20222﹣2021×2022，n=❑√20232−4×2022，k=❑√2022×2020，则m，n，k的大小关系是（
）
A．m＜n＜k B．m＜k＜n C．n＜k＜m D．k＜n＜m
【答案】D
【解答】解：m＝20222﹣2021×2022＝2022×（2022﹣2021）＝2022×1＝2022，
∵m＝2022，
∴n=❑√20232−4×2022=❑√(m+1) 2−4×m=❑√(m−1) 2=m−1=2021，
∴n＜m，
∵n＝2021，
∴k=❑√2022×2020=❑√(n+1)×(n−1)=❑√n2−1＜❑√n2=n，
∴k＜n＜m．
故选：D．
√3−x ❑√3−x
23．等式❑ = 成立的条件是（ ）
1+x ❑√1+x
A．x≤3 且 x≠﹣1 B．x＞﹣1
C．﹣1＜x≤3 D．x≤3
【答案】C
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得3﹣x≥0且1+x＞0，
解得：﹣1＜x≤3．
故选：C．
√ 1
24．把(1−x)❑ 根号外面的因式移到根号内得（ ）
x−1
A．❑√1−x B．❑√x−1 C．−❑√1−x D．−❑√x−1【答案】D
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣1＞0，则1﹣x＜0，
√ 1
∴原式＝﹣（x﹣1）❑
x−1
√ 1
=−❑√(x−1) 2 ⋅❑
x−1
√ 1
=−❑(x−1) 2 ⋅ =−❑√x−1．
x−1
故选：D．
25．使❑√(x+2)(3−x)=❑√x+2⋅❑√3−x成立的条件是（ ）
A．x≤3 B．x≥﹣2 C．﹣2≤x≤3 D．﹣2＜x＜3
【答案】C
【解答】解：∵二次根式中的被开方数是非负数，
{x+2≥0)
∴ ，
3−x≥0
解得：﹣2≤x≤3．
故选：C．
26．若❑√x(3−x)=❑√x⋅❑√3−x，化简❑√(x+1) 2+|x−4|的结果是（ ）
A．﹣3 B．5 C．2x﹣3 D．3﹣2x
【答案】B
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：
∴x≥0，3﹣x≥0，
∴0≤x≤3，
∴x+1＞0，x﹣4＜0，
∴❑√(x+1) 2+|x−4|=x+1+4−x=5．
故选：B．
27．若❑√5=m，❑√3=n，则下列表示❑√75正确的是（ ）
A．5m B．5n C．5mn D．5❑√mn
【答案】B
【解答】解：❑√75=❑√25×❑√3=5❑√3=5n，
故选：B．
六．分母有理化（共3小题）
28．已知x≠y且x与y都是正数．下列各式中，不是❑√x−❑√y的有理化因式的是（ ）
1
A．❑√x+❑√y B．−❑√x−❑√y C．❑√x+ y D．
❑√x−❑√y【答案】C
【解答】解：A、(❑√x−❑√y)(❑√x+❑√y)=x−y，结果不含根式，不符合题意；
B、(❑√x−❑√y)(−❑√x−❑√y)=−(❑√x−❑√y)(❑√x+❑√y)=−(x−y)=−x+ y，结果不含根式，不符合题
意；
C、(❑√x−❑√y)⋅❑√x+ y=❑√x(x+ y)−❑√y(x+ y)，结果仍含根式，符合题意；
1
D、(❑√x−❑√y)⋅ =1，结果不含根式，不符合题意．
❑√x−❑√y
故选：C．
2
29．已知a=❑√5+❑√3，b = ，则a与b的关系是（ ）
❑√5−❑√3
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5
【答案】A
2 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
【解答】解：b= = =❑√5+❑√3，a=❑√5+❑√3，
❑√5−❑√3 ❑√5−❑√3
故选：A．
❑√n+1−❑√n ❑√n+1+❑√n
30．已知x= ，y= ，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为（ ）
❑√n+1+❑√n ❑√n+1−❑√n
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
(❑√n+1−❑√n)(❑√n+1−❑√n)
【解答】解：∵x= =n+1+n−2❑√n(n+1)=2n+1−2❑√n(n+1)，
(❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n)
(❑√n+1+❑√n)(❑√n+1+❑√n)
y= =n+1+n+2❑√n(n+1)=2n+1+2❑√n(n+1)，
(❑√n+1−❑√n)(❑√n+1+❑√n)
∴x+y＝4n+2，
❑√n+1−❑√n ❑√n+1+❑√n
∵xy= ⋅ =1，
❑√n+1+❑√n ❑√n+1−❑√n
∵19x2+123xy+19y2＝1985，
∴19（x+y）2+85xy＝1985，
∴19（4n+2）2+85＝1985，即n2+n﹣6＝0，
解得n＝2或n＝﹣3（与n为正整数不符，舍去），
故选：D．
七．同类二次根式（共3小题）
31．若❑√12与最简二次根式❑√2t−1能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【解答】解：❑√12=2❑√3，而❑√12与最简二次根式❑√2t−1能合并成一项，所以2t﹣1＝3，
解得t＝2，
故选：C．
32．若最简二次根式❑√1+a与❑√4−2a能进行合并，则a的值为（ ）
3 4
A．a=− B．a= C．a＝1 D．a＝﹣1
4 3
【答案】C
【解答】解：∵最简二次根式❑√1+a与❑√4−2a能进行合并，
∴1+a＝4﹣2a，
解得：a＝1，
故选：C．
33．若❑√18与最简二次根式❑√m+1能合并，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：❑√18=3❑√2，
∵❑√18与最简二次根式❑√m+1能合并，
∴m+1＝2，
∴m＝1．
故选：B．
八．二次根式的加减法（共3小题）
34．若❑√a+❑√b=❑√8，则a和b的值不可能是（ ）
1 9
A．a＝2，b＝2 B．a= ，b= C．a＝0，b＝8 D．a＝4，b＝2
2 2
【答案】D
【解答】解：A．当a＝2，b＝2时，❑√a+❑√b=❑√2+❑√2=2❑√2=❑√8，故选项不符合题意；
1 9 √1 √9 ❑√2 3❑√2
B．当a= ，b= 时，❑√a+❑√b=❑ +❑ = + =2❑√2=❑√8，故选项不符合题意；
2 2 2 2 2 2
C．当a＝0，b＝8时，❑√a+❑√b=❑√0+❑√8=0+2❑√2=2❑√2=❑√8，故选项不符合题意；
D．当a＝4，b＝2时，❑√a+❑√b=❑√4+❑√2=2+❑√2≠2❑√2=❑√8，故选项符合题意．
故选：D．
35．已知整数x、y满足❑√x+2❑√y=❑√50，那么能满足条件的整数x的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：∵❑√50=5❑√2，
∴❑√x+2❑√y=5❑√2，
∴当y＝0时，x＝50，当y＝2时，x＝18，
当y＝8时，x＝2，
综上，满足条件的整数x有3个．
故选：D．
36．阅读下述解题过程：
例：若代数式❑√(a−1) 2+❑√(a−3) 2的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）．
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答
案
（1）当2≤a≤5时，化简：❑√(a−2) 2+❑√(a−5) 2= 3 ；
（2）若等式❑√(3−a) 2+❑√(a−7) 2=4成立，则a的取值范围是 3 ≤ a ≤ 7 ；
（3）若❑√(a+1) 2+❑√(a−5) 2=4❑√5，求a的值．
【答案】（1）3；
（2）3≤a≤7；
（3）a=2−2❑√5或a=2❑√5+2．
【解答】解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5），
＝a﹣2﹣a+5
＝3，
故答案为：3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3．
当3＜a＜7时，3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7．
当a≥7时，3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，∴a＝7．
综上，a的取值范围是3≤a≤7，
故答案为：3≤a≤7；
（3）由题意得，|a+1|+|a−5|=4❑√5，
∴当a≤﹣1时，a+1≤0，a﹣5＜0，
∴−a−1−(a−5)=4❑√5，
∴a=2−2❑√5．
当﹣1＜a＜5时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴(a+1)−(a−5)=4❑√5，
∴此方程无解，故﹣1＜a＜5，不符合题意；
当a≥5时，a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a−5=4❑√5，
∴a=2❑√5+2．
综上，a=2−2❑√5或a=2❑√5+2．
九．二次根式的混合运算（共3小题）
37．若a，b都是有理数，且a+❑√2b=(3−2❑√2) 2，则（ ）
A．a＝11，b＝﹣6 B．a＝17，b＝﹣6
C．a＝11，b＝﹣12 D．a＝17，b＝﹣12
【答案】D
【解答】解：∵（3﹣2❑√2）2＝9﹣12❑√2+8＝17﹣12❑√2，
∴a＝17，b＝﹣12；
故选：D．
38．计算(❑√2+1) 2026 ⋅(❑√2−1) 2025的结果为（ ）
A．❑√2+1 B．❑√2−1 C．1 D．3
【答案】A
【解答】解：原式=(❑√2+1) 1+2025 ⋅(❑√2−1) 2025
=(❑√2+1)(❑√2+1) 2025 (❑√2−1) 2025
=(❑√2+1)[(❑√2+1)(❑√2−1)] 2025
=(❑√2+1)(2−1) 2025
=(❑√2+1)，
故选：A．
39．计算(❑√3+2) 2025 (❑√3−2) 2025的结果是（ ）
A．2+❑√3 B．❑√3−2 C．﹣1 D．1【答案】C
【 解 答 】 解 ： 利 用 积 的 乘 方 的 逆 运 算 及 平 方 差 公 式 计 算 可 得 ：
(❑√3+2) 2025 (❑√3−2) 2025=[(❑√3+2)(❑√3−2)] 2025=(3−4) 2025=−1，
故选：C．
十．二次根式的化简求值（共3小题）
1 1
40．已知❑√a− =2，则❑√a+ 值为（ ）
❑√a ❑√a
A．2❑√2 B．±2❑√2 C．2❑√3 D．±2❑√3
【答案】A
【解答】解：由条件可知a≥0且a≠0，
∴a＞0，
∴❑√a＞0，
1
∴❑√a+ ＞0，
❑√a
1 √ 1 2 √ 1 2
∴❑√a+ =❑(❑√a+ ) =❑(❑√a− ) +4=❑√22+4=2❑√2，
❑√a ❑√a ❑√a
1
∴❑√a+ 值为2❑√2．
❑√a
故选：A．
41 ． 已 知 实 数 a 、 b 、 c 满 足 a≠ b ， 且 2025(a−b)+❑√2025(b−c)+(c−a)=0， 则
(c−b)(c−a)
−❑√2025=
（ ）
(a−b) 2
1 1
A．﹣2025 B．2025 C． D．−
2025 2025
【答案】B
【解答】解：设❑√2025=x，
∴x2（a﹣b）+x（b﹣c）+c﹣a＝0，
∴a（x+1）（x﹣1）﹣bx（x﹣1）﹣c（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（ax+a﹣bx﹣c）＝0，
∵x﹣1≠0，
∴ax+a﹣bx﹣c＝0，
∴c﹣a＝x（a﹣b）=❑√2025（a﹣b），
(c−b)⋅❑√2025(a−b)
∴原式= −❑√2025
(a−b) 2
c−b
＝（ −1）×❑√2025
a−bc−b−a+b
= ×❑√2025
a−b
c−a
= ×❑√2025
a−b
❑√2025(a−b)
= ×❑√2025
a−b
＝2025．
故选：B．
42．已知x﹣y＝6，❑√x2−xy+❑√xy−y2=9，则❑√x2−xy−❑√xy−y2的值为（ ）
A．3 B．4 C．2❑√6 D．15
【答案】B
【解答】解：∵x﹣y＝6，
∴(❑√x+❑√y)(❑√x−❑√y)=6，
6
∴❑√x+❑√y= ．
❑√x−❑√y
∵❑√x2−xy+❑√xy−y2=❑√x⋅❑√x−y+❑√y⋅❑√x−y=❑√x−y(❑√x+❑√y)=9，
6❑√6 6❑√6
∴ =9，即❑√x−❑√y= ，
❑√x−❑√y 9
6❑√6
∴❑√x2−xy−❑√xy−y2=❑√x−y⋅(❑√x−❑√y)=❑√6× =4．
9
故选：B．
