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专题 05 二元一次方程组特殊解的四种考法
类型一、整体思想的应用
例．我们知道二元一次方程组 的解是 ．现给出另一个二元一次方程组
，它的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在二元一次方程组 中，令 ，
则 ，
∵二元一次方程组 的解是 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
故选C．
【变式训练1】已知方程组 的解是 ，则方程组
的解__________．【答案】
【详解】解：令 ，
∴方程组 可转化为： ，
∵方程组 的解是 ，
∴ ，即 ，
解得： ．
【变式训练2】已知关于x，y的方程组 的解是 ，则方程组
的解为：_______．
【答案】
【详解】解：将 代入 ，
得 ，
由①-②得 ，
设 ，原方程化简为： ，
由③-④得：
将⑤代入⑥得：
整理得： ；
∴ ，即 ，解得： ．故答案为：
【变式训练3】若关于 、 的方程组 的解是 ，则方程组
解为______．
【答案】
【详解】方程组 ，可化为 ，
∵方程组 的解是 ，
∴ ，解得 ，
即方程组 解为
故答案为： ．
【变式训练4】若关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则方程组
的解为____________．
【答案】
【详解】解：方程组 整理得：，即 ，
∵二元一次方程组 的解为 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【变式训练5】若方程组 的解是 ，则方程组 的解是
_____．
【答案】
【详解】解：将方程组 的两个方程都乘以5得： ，
∵方程组 的解是 ，
∴ ，解得： ．故答案为： ．
类型二、整数解问题
例．若关于 ， 的方程组 有非负整数解，则正整数 为( )
A． ， B． ， C．1，3 D． ，3，7
【答案】C
【详解】解： ，由①+②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
∴ 原方程组的解为 ，
∵方程组有非负整数解，
∴8是 的倍数，
∴ 取1或2或4或8，
∵m为正整数，
∴m取1或3或7，
当m=1时，y=2，符合题意；
当m=3时，y=0，符合题意；
当m=7时，y=-1，不符合题意；
∴正整数 为1或3．
故选：C
【变式训练1】方程组 有正整数解，则整数k的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】解： ，
①-②得，（k+2）y=6-k，
解得 ，
∵方程组有正整数解，
∴k+2=4或k+2=2或k+2=1，
解得k=2或k=0或k=-1，
∴整数k有3个，
故选：B．
【变式训练2】如果关于 ， 的方程组 的解是整数，那么整数 的值为
________；【答案】 ， ， ，
【详解】解： ，
得： ，
解得： ，
由y为整数，得到 ， ， ， ，
∵m为整数，
∴ ， ， ， ，
故答案为：4， ， ， ．
【变式训练3】关于x，y的二元一次方程组 的解为正整数，则满足条件的所有
整数a的和为___________．
【答案】2
【详解】解：解方程组 ，得 ，
∵方程组的解为正整数，
∴ 时， ，
时， ，
∴满足条件的所有整数a的和为 ．
故答案为：2．
【变式训练4】若关于 、 的方程组 有整数解，则正整数 的值为_______．
【答案】 、 、
【详解】解： 得， ，∴ ，
将 代入 得， ，
方程组有整数解， 或 或 或 ，
或 或 或 ，
又 为正整数，故 舍去， 的值为 ， ， ．故答案为 、 、 ．
类型三、参数问题例．若关于x，y的二元一次方程组 无解，则 ______．
【答案】−
【详解】解： ，
①×2得：2mx＋6y＝18③，
②×3得：3x−6y＝3④，
③＋④得：（2m＋3）x＝21，
∴x＝ ，
∵方程组无解，
∴2m＋3＝0，
∴m＝− ．
故答案为：− ．
【变式训练1】已知 中的 满足0＜ ＜1，求k的取值范围．
【答案】
【详解】 ，
由①－②得： ，
∵ ，
∴
解得
【变式训练2】已知：方程组 的解中， 是非负数， 是正数．求所有满足
题意的整数 的和．
【答案】6
【详解】解：解该方程组得 ，∵ ，
∴ ，解该不等式组得 ，
又∵k为整数 ，
∴k =0，1，2，3，
则所有整数 的和为0+1+2+3 = 6．
【变式训练3】方程组 中，若未知数x、y满足x+y＞0，求m的取值范围．
【答案】
【详解】解：
①×2-②得， ， ，
将 代入②得， ， ，
∴方程组的解为 ，
∵未知数x、y满足x+y＞0，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故m的取值范围为： ．
【变式训练4】已知关于x、y的方程组 的解满足x是正数，y是非负数，求
a 的取值范围．
【答案】a≥-
【详解】解： ，①+②得4x=4a+4，解得x=a+1，
将x=a+1代入①，得 ，∵x是正数，y是非负数，∴ ，解得 ．
类型四、错解复原问题
例．某同学在解方程组 的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，
解得此方程组的解为 ，又已知 是关于x，y 的方程y=kx+b的一个解，则b的
正确值应该是________
【答案】
【详解】解：依题意将 代入y=kx+6，得：
2=-k+6，k=4；
将 和k=4代入y=kx+b，
得1=3×4+b，
∴b=-11．
故答案为：-11．
【变式训练1】乐乐，果果两人同解方程组 时，乐乐看错了方程①中的a，
解得 ，果果看错了方程②中的b，解得 ，求 的值．
【答案】0
【详解】解： 甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的 ，解
得 ，乙看错了方程②中的 ，解得 ，
把 代入②，得 ，解得： ，
把 代入①，得 ，解得： ，．
【变式训练2】已知方程组 的正确解是 小马虎因抄错C，解得 ，
请求出A，B，C的值．
【答案】
【详解】解：由题意得 ，
由②得C＝1，
①×3+③得14A＝28，
解得A＝2，
把A＝2代入①得B＝3．
所以 ．
【变式训练3】已知方程组 ，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为
，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ，求a+b的值是多少？
【答案】
【详解】解：根据题意 是②方程的解， 是①方程的解，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
