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专题 05 位似
重点 理解位似图形的概念，理解位似变化是特殊的相似变化．
难点 画位似图形，根据相似比把一个图形放大或缩小
易错 混淆位似与相似，忽略位似中心的位置
一、位似图形
（1）位似中心可以在两个图形的内部，可以在两个图形的外部，也可以在两个图形上．
（2）判断两个图形是否位似，首先看它们是否相似，再看对应的连线是否经过同一点．
【例1】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．如图是视力表的一部分，图中
的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
【答案】B
【详解】解：①和④、①和②、②和④，两个图形是相似图形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，
都是位似图形；
②和③，对应边不平行，不是位似图形，
故选：B．
【例2】如图四个图中， 均与 相似，且对应点交于一点，则 与 成位似图形的
有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：图1中， 与 成位似图形；
图2中，∵ 与 不平行， 与 不平行，∴ 与 不成位似图形；
图3中， 与 成位似图形；
图4中， 与 成位似图形；
综上， 与 成位似图形的有图1、图3、图4，共有3个．
故选：C．
二、位似图形的性质
位似图形的对应角相等，对应边成比例；位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；位似图
形的对应边互相平行或在同一条直线上；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
【例3】下列命题不正确的是（ ）
A．两个位似图形一定相似
B．位似图形的对应边若不在同一直线上，那么一定平行
C．两个位似图形的位似比就是相似比
D．两个相似图形一定是位似图形
【答案】D
【详解】解：根据位似图形变换性质知：位似是相似的特殊形式；
A、两个位似图形一定相似，正确，故不符合题意；
B、两个位似图形一定相似位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行，正确，故不符合题意；
C、两个位似图形的位似比就是相似比，正确，故不符合题意；
D、两个相似图形不一定是位似图形，错误，故符合题意．
故选：D．
三、画位似图形
用在对应点所在直线上截取的方法画位似图形时，关键是准确地按比例画出各线段的长，只有这样画出的
图形才准确．
【例4】如图，在方格纸上，以点 为位似中心，把 缩小到原来的 ，则点 的对应点为
（ ）A．点 或点 B．点 或点 C．点 或点 D．点 或点
【答案】D
【详解】解：作射线 ，
，
射线 经过点D和点G，且 ， ，
∴点A的对应点为点D或点G，
故选：D．
四、平面直角坐标系中的位似变化
位似、平移、轴对称、旋转都是图形变化的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图
形变化都是全等变化，而位似变化是相似（扩大、缩小或不变）变化．
【例5】在如图所示的正方形网格图中，已知点 ， ，若以点 为位似中心，把 放大
到原来的2倍，则点 的对应点的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ ， ，
∴平面直角坐标系如图所示，以点 为位似中心，把 放大到原来的2倍，点A的对应点为 ，
则点 的坐标为 ，
故选：C．
【例6】如图， 与 是位似图形，点 是位似中心，若 ， ，则 的
面积是（）
A．8 B．18 C．27 D．30
【答案】C
【详解】解： 与 是位似图形， ，
与 的相似比为2：3，
与 的面积比为4：9，
，
，故选：C．
一、单选题
1．如图， 与 位似，点O是它们的位似中心，其中 ，则 与 的面积之比
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ 与 位似，
∴ ， ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ 与 的面积之比是 ，
故选：D．
2．如图，以点O为位似中心，将 放大后得到 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ，
，
∵以点O为位似中心，将 放大后得到 ，，
，
故选：D．
3．在平面直角坐标系 中，以原点 为位似中心，把 缩小为原来的 ，得到 ，则点
的对应点 的坐标是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【详解】解：根据题意得，位似比是 ，且位似比是 的三角形有两个， ，
∴① 乘以 得， ；② 乘以 得， ，
故选： ．
4．如图， ABC与 DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝10，则DE的长为（ ）
A． B．15 C．30 D．20
【答案】B
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE=2：3，
∴10：DE=2：3，
∴DE=15，
故选：B．
5．如图，以点O为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到 ，以下说法中错误的是（ ）A． B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C． D．
【答案】C
【详解】解：以点O为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到 ，
∴ ，点C、点O、点C′三点在同一直线上， ， ，
∴ ，
则选项A、B、D正确，不符合题意，选项C正确，符合题意；
故选：C
6．如图，在直角坐标系中， 与 是位似图形，则位似中心为（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
【答案】D
【详解】解：连接 ，交 于点P，则点P为位似中心，
故选：D．
二、填空题
7．如图，正方形 与正方形 是位似图形，点O为位似中心，相似比为 ，点D的坐标为
，则点B的坐标为______．
【答案】
【详解】解：∵正方形 与正方形 是位似图形，点O是位似中心，相似比为 ，点D的坐
标为 ，
∴ ，则 ，
∴点B的坐标是： ．
故答案为： ．8．如图，在平面直角坐标系中，将 以原点 为位似中心放大后得到 ，若 ， ，
，则 的坐标为______．
【答案】
【详解】解：∵将 以原点O为位似中心放大后得到 ， ， ，
∴ 与 的位似比为 ，
∵点B的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
三、解答题
9．如图所示，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为 ， , ．
(1)将 向左平移4个单位长度，得到 ，请画出 ；
(2)以点O为位似中心，请你在第三象限内画出 ，使其与 位似，且相似比为 ，并写出 、两点的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析， ，
【详解】（1）解：如图， 为所作三角形；
（2）解：如图， 为所作； ， ．
10．如图所示的格点图中，每个小正方形的边长均为1， 的三个顶点均在格点上．
(1)以原点O为位似中心，画出 放大为原来的2倍后的 ．
(2)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)16
【详解】（1）解：如图，（只需画任意一个）如图， 为所求
（2）解：
∵ ，相似比为 ，
∴ ，
∴ ．
一、单选题
1．如图， 与 位似，位似中心为点O， 与 的周长之比为 ，则 的比为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ 与 位似，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ 与 的周长之比为 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
2．如图，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，相似比为 ，若 ，则 的长为（
）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】D
【详解】∵O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，
∴ ，
∵相似比为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
3．如图，在平面直角坐标系中， 与 位似，位似中心为原点 ，位似比为 ，若点 ，
则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵点C（−2，3）， 与C在原点两侧，且位似比为1：2，
∴ 坐标为[−2×（−2），2×（−3）]，即 （4，−6）．
故选：A．
4．如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，以原点 为位似中心，把这个三角
形放大为原来的 倍，得到 ，则点 的对应点 的坐标是( )
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】解： 以原点 为位似中心，把 放大为原来的 倍，得到 ， ，
点 的对应点 的坐标是 或 ，
即 或 ．
故选：C．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到
△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积是（ ）
A．3 B．5 C．11 D．6【答案】D
【详解】解：Rt△ABC中，AB= =10，由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=10﹣2x．
∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°，
∴△A′DE∽△ACB，∴ = ，即 = ，解得：x=3，∴S ADE= DE×A′D= ×（10﹣2×3）
△ ′
×3=6．故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的性质的运用．关键是根据旋转的性质得出
相似三角形，利用相似比求解．
6．在
▱
ABCD中，E是BC的中点，F是AB的中点，AE与DF交于点H，过点H作MN⊥BC，垂足为
M，交AD于N．那么 =（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】如图，延长DF使DF=FL，又因为F为AB中点，所以△DAF≌△LBF.且易知△ADH∽△ELH，所
以 .又因为E为BC中点，AD=BL，所以 ，所以选D.
二、填空题
7．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的 ，得到△COD，若点A
的坐标为（4，2），则AC的中点E的坐标是 _____．【答案】（1， ）
【详解】∵以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的 ，得到△COD，点A的坐标为（4，2），
∴点C的坐标为（4×（ ），2×（ ）），即点C的坐标为（﹣2，﹣1），
∴AC的中点E的坐标是（1， ），
故答案为：（1， ）．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把
△AOB缩小得到△AOB，△AOB 与△AOB的位似比为 ，则点A的对应点A 的坐标为_______．
1 1 1 1 1
【答案】（-2，1）或（2，-1）
【详解】解∶∵以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到 ， 与△AOB的位似比为 ，
∴点 的对应点的横纵坐标与点A的横纵坐标的比值为 或 ，
∵A（-4，2），
∴ 的坐标为 或 ， 即(-2，1)或(2，-1)，故答案为∶(-2，1)或(2，-1)．
三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)画出 绕点 顺时针旋转 后得到的△ ；
(2)以原点 为位似中心，在图中画出将△ 放大为原来的2倍后的△ ，并写出 ， 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析， 或 ， 或
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）如图， 或 即为所求．
或 ， 或 ．10．如图，在平面直角坐标系中， 和 关于点E成中心对称．
(1)在图中标出点E，写出点E的坐标；
(2)点 是 边AB上一点， 经过平移后点P的对应点 的坐标为 ，请画出上述
平移后的 ，并写出点 的坐标；
(3)若 和 关于点F成位似三角形，写出点F的坐标．
【答案】(1)作图见解析， ；
(2)作图见解析， ；
(3) ．
【详解】（1）解：点E如图所示，点E的坐标为： ．（2）解：由题意可知， 是 向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度所得，平移后
的 如图所示， 的坐标为： ．
（3）解：如图所示，连接 ， ，交点F即为位似中心，F的坐标为： ．
