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考点 7 -3 体积与表面积
1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则
该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出母线长，再由圆锥的表面积公式求解即可.
【详解】
设圆锥的母线长为 ，则 ，解得 ，则该圆锥的表面积为 .
故选：C.
2．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的
关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】
设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 ，设球心到上下
底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或 ，
即 或 ，解得 符合题意，所以球的表面积为
．
故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒
盖，可放小球的最大半径为 .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
画出截面图，设储物盒所在球的半径为 ，从而利用 表达出小球最大半径 和正方体棱长 ，进而求出比
值.
【详解】
设储物盒所在球的半径为 ，如图，
小球最大半径 满足 ，所以 ，
正方体的最大棱长 满足 ，解得： ，
∴ ，故选：D.
4.（2022·江西·模拟预测（文））如图，在棱长为2的正方体 中，E是侧面 内的一
个动点，则三棱锥 的体积为_________.【答案】
【分析】
根据三棱锥的体积公式可求出结果.
【详解】
点E到平面 的距离为2，
所以 .
故答案为： .
5．（2022·辽宁·二模）市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一
个圆锥，对该组合体进行测量，圆台下底面半径为 ，上底面半径为 ，高为 ，上方的圆锥高为
，则此冰激凌的体积为_______ ．
【答案】
【分析】
先计算圆台的体积，再计算圆锥的体积，二者相加即可.
【详解】圆台的体积 ，圆锥的体积 ，
总体积为 ，故答案为： .
6.（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，
直三棱柱的底面是顶角为 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【分析】
作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.
【详解】
该几何体由直三棱柱 及直三棱柱 组成，作 于M，如图，
因为 ，所以 ，
因为重叠后的底面为正方形，所以 ,
在直棱柱 中， 平面BHC，则 ,
由 可得 平面 ，
设重叠后的EG与 交点为
则
则该几何体的体积为 .
故选：D.
7．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，根据圆锥的侧面积公式可得 ，再结合
圆心角之和可将 分别用 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】
解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，
则 ，所以 ，又 ，则 ，所以 ，
所以甲圆锥的高 ，乙圆锥的高 ，
所以 .故选：C.
8．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体
积的取值范围.
【详解】
∵ 球的体积为 ，所以球的半径 ,设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则 ， ,所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，所以
，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，所以该正四棱锥体积的取值范围是 .故选：C.
9.（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 垂直底面 ， ， ，若三棱锥
的内切球半径为 ，则此三棱锥的侧面积为___________.
【答案】
【分析】
设三棱锥内切球圆心为 ，以 为顶点将三棱锥 分为四个小三棱锥，通过三棱锥体积不变即可求
出三棱锥的表面积进而可求得三棱锥的侧面积.
【详解】
设三棱锥内切球圆心为 ，以 为顶点将三棱锥 分为四个小三棱锥，则三棱锥 的体积
，
垂直底面 ，
三棱锥 的体积 ，则通过三棱锥体积不变可知 ，
.故答案为： .
10．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计
算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，
其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所
示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱
的公共部分为如图2所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为 ，则该几何体的体积为
___________．
【答案】 ##
【分析】
由题设求出中间截面三角形的面积，再类比体积公式求解即可
【详解】
根据题意，图2立体图形的一半，其体积等于与其同底等高的正三棱柱中，去掉一个与其同底等高正三棱
锥之后的体积，
因为该几何体中间截面三角形边长为 ，
所以该底面积 ，
因为圆柱的直径为4，所以该几何体一半的高为2，
所以对应正三棱柱及三棱锥的高均为2，
所以对应正三棱柱的体积 ，
正三棱锥的体积 ，
所以该几何体的体积为 .
故答案为：11.（2022·浙江·三模）在四棱锥 中， ．记三棱锥
的体积分别为 ，四棱锥 的体积分别为
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 得 即可判断A，B选项；设三棱锥 的体
积分别为 ，同理得 ，则 即可判断
C，D选项.
【详解】
由题意知： ，设 到平面 的距离分别为 ，易得
，
则 ，
，则 ，即 ，则A，B错误；
设三棱锥 的体积分别为 ，设 到平面 的距离分别为 ，易得
，
则 ，
，
则 ，即 ，又 ，即 ，
又 ，则C正确，D错误.
故选：C.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知球O的体积为 ，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平
面 截球O和圆锥所得的截面面积分别为 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件，求出球O半径，平面 截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面 截圆锥
所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.
【详解】
球O半径为R，由 得 ，平面 截球O所得截面小圆半径 ，由 得
，
因此，球心O到平面 的距离 ，而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面 所成
的角为 ，
因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为 ，于是得圆锥底面圆半径
，令平面 截圆锥所得截面为等腰 ，线段AB为圆锥底面圆 的弦，点C为弦AB中点，如图，
依题意， ， ， ，弦 ，
所以 .
故选：C
13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知某正四棱锥的体积是 ，该几何体的表面积最小值是 ，
我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是 ，则 和 的值分别是（ ）
A．3； B．4； C．4； D．3；
【答案】C
【分析】
设该正四棱锥底面边长为 ，高为 ，由体积得到 ，再算出侧面积和底面积，进而得到该四棱锥
的表面积，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】
如图，O为底面ABCD的中心，E为BC的中点，连接PO，OE，
设该正四棱锥底面边长为 ，高为 ，且 ，由题意， .
易有， ，则 ，所以， ，将 代入并化简得： ，
于是，
.
当且仅当 时，取“=”.
易知，此时底面ABCD直观图的面积 .
故选：C.
14．（2022·江西·新余市第一中学模拟预测（理））以 为底的两个正三棱锥 和 内接
于同一个球，并且正三棱锥 的侧面与底面 所成的角为45°，记正三棱锥 和正三棱锥
的体积分别为 和 ，则 __________
【答案】 ##
【分析】
作图后由二面角的定义与勾股定理，列方程求出正三棱锥高与球的半径之比，再得两个三棱锥的高之比
【详解】
如图，
正三棱锥 和正三棱锥 内接于同一个球，设 到底面 的距离为 ， 到底面 的距离为 ，
则 ，取 的中点 ，连接 ， ， ，记 与平面 的交点为 ，
由两个正三棱锥 和 内接于同一个球，故 一定为球 的直径，
记其中点为 ，且由题意可知， 为正三角形 的中心，
因此， ， 分别为正三棱锥 和正三棱锥 的高 ， ，
由 ， ， ，且 为 的中点，可得 ， ， ，
则 为正三棱锥 的侧面与底面 所成的角为 ，
， ，记球的半径为 ，于是 ，
在 中，由勾股定理可得， ，
解得 ，于是 ，则 ．
故答案为：
15．（2022·浙江·模拟预测）在三棱锥 中，顶点P在底面 的投影为O，点O到侧面 ，侧
面 ，侧面 的距离均为d，若 ， ． ，且 是锐角三角形，则三棱
锥 体积的取值范围为________．
【答案】
【分析】
根据点O到三个侧面的距离相等，从而得出点O到底面三条边的距离相等，从而得到，三棱锥的体积关于
d的表达式，再通过底面三角形为锐角三角形，得到d的范围，即可得出三棱锥体积的范围.
【详解】
解析：如图，过点O作 于点D，连接 ．作 于点E，则有 ，
同理，点O到边 的距离都为 ，所以由 可知，点C轨迹为以A，B为焦点的椭圆， ，如图，当 是
锐角三角形时，点C横坐标取值范围为 ，则 ，所以 ，
所以 ；故答案为：
