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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第二十一章 四边形·基础通关
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若一个五边形的每个内角都是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查多边形内角和公式的应用．先利用 边形内角和公式求出五边形的内角和，再结合每个
内角相等的条件列方程求解即可．
【详解】∵ 边形内角和公式为 ，
∴五边形的内角和为 ，
∵五边形的每个内角都是 ，
∴ ，
解得： ．
故选：A．
2．如图，在 中， 于点E，若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解
题的关键．根据平行四边形的性质得到 ，进而求出 ，再由垂直的定义得到 ，
则 ．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
3．如图，在 中， ，D为 中点，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定和性质，熟记“在直角三角形
中，斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质得到 ，
进而得出 为等边三角形，再根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】解：在 中， ，D为 的中点，
则 ，
，
，
为等边三角形，
．
故选： ．
4．如图，在菱形 中，点 是对角线 上的一点， ，连接 ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到， ， ， ，由
，得到 ，从而根据“等边对等角”得到 ，根据角的和差即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴在菱形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
5．如图，在 中， ．添加一个条件，能判定四边形 是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据相关知识点逐项判断即可．
【详解】解：由题意知， 平分 ，
又∵ ，
∴四边形 是菱形；
A：四边形 是菱形，则必有 ，无法判定四边形 是正方形，故该选项不合题意；
B：四边形 是菱形，当 时，四边形 是正方形，故该选项符合题意；
C：四边形 是菱形，则必有 ，无法判定四边形 是正方形，故该选项不合题意；
D：四边形 是菱形，则必有 ，无法判定四边形 是正方形，故该选项不合题意．
故选：B ．
6．如图， 的对角线 ， 相交于点O， 的平分线与边 相交于点P，E是 的中点，若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，等腰三角形的性质和判定，利用平行四边形的性质
求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
由平行四边形的性质及角平分线的定义得 ，从而得 的长，由三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵E是 的中点， ，
∴ ，
故选：B．
7．在矩形 中，对角线 、 相交于点 的角平分线交 于点 ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得
，结合 ，可得 的度数，又根据角平分线的定义可得 的度数，则可求．
【详解】解：∵矩形 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B ．
8．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F
五个转角处都转了 ，那么他在A处转过多少度角才能仍面向 所指的方向（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键．
根据转过的角度之和等于多边形外角和 ，解答即可．
【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了 ，
由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了 ，
则他在A处转过的度数为
故选：D．
9． 如图，在菱形 中， ， ，分别以点 、 为圆心，以大于
长为半径作弧，两弧交于 两点，作直线 与 交于点 ，如果点 为线段 上一动点，那
么 的最小值为（ ）A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】先证明 ，推出 ，推出当点 与点 重合时， 的值最小，
求出 即可．
【详解】解：如图，连接 ， ， ，设 交 于点 ， ， 交于点O．
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 都是等边三角形，
∵ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
由作图可知 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ 在直线 上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∵D，B关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∴当点P与点 重合时， 的值最小，此时 ，
根据 垂直平分 ，
∴此时 ，
∴ 的值最小为 ．
故选：B．
10．如图，正方形 中， ，点E在边 上， ，将 沿 对折至 ，延
长 交边 于点G，连接 、 ，给出以下结论：① ；② ；③ ；
④ ．其中正确结论的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行
线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、
面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性．
【详解】解：如图，由题意可知， ， ，
，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∵正方形边长是12，
，
设 ，则 ， ，
由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ，
， ， ，故②正确；
，故③错误；
，
，
， ，
，
，故④正确；∴①②④正确，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．四边形外角和的度数是 ．
【答案】 /360度
【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和均为 ，四边形作
为多边形的一种，其外角和自然为 ．
【详解】解：由多边形外角和定理可知，所有多边形的外角和都等于 ，因此四边形的外角和为 ．
故答案为： ．
12．如图，在 中， 是 的延长线上的一点．若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角的定义知识点，掌握平行四边形对角相等的性质是解题的
关键．
先利用邻补角的定义求出 的度数，再根据平行四边形对角相等的性质得到 的度数．
【详解】解：∵ 四边形 是平行四边形，
∴
∵ 点 在 的延长线上，
∴
∵
∴
∴ ．
故答案为： ．
13．如图，在矩形 中， ， 相交于点O， 于E，若 ， ，则 的长为
．【答案】4
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形的中位线的性质，先根据矩形的性质得 ，
点O是 的中点， ， ，再由勾股定理求出 ，然后由点O是 的中点得
出 是 的中位线，所以 ．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，点O是 的中点， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是 中点，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为：4．
14．如图，菱形 的对角线相交于点 ，点 在 边上，连接并延长 交 于点 ．若 ，
，则 与 的面积之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质和全等三角形的
判定与性质及面积计算．
利用菱形对边平行、对角线互相垂直平分的性质，证明 与 全等，进而将两个三角形的面积之
和转化为 的面积求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， 是等边三角形， ，对角线 ，∴ ， ， ；
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
故答案为： ．
15．四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形 ．如果
，那么菱形 与正方形ABCD的面积之比是 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含 角的直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公
式是解决问题的关键．
过点 作 于点 ，利用含 角的直角三角形的三边关系，在直角三角形中得到 ，
从而 ，菱形 的面积 ，两个面积作比即可得到答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，如图所示，则 ．
∵四边形 是正方形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴菱形 的面积 ，
∴菱形 与正方形 的面积之比 ．
故答案为： ．
16． 在矩形 中， ， ，点 是折线 上的动点（且点 不与点 重
合），当 的长为整数时，则 的长是 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，点 在折线 上运动，不与点 重合．分两种情况：
当点 在 上运动时，当点 在 上运动时，分别结合勾股定理计算即可得出结果，采用分类讨论的思
想是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，∵点 是折线 上的动点（且点 不与点 重合），
∴当点 在 上运动时，如图：
，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的长为整数，
∴当 时， ，此时 （负值不符合题意，舍去），此时 ；
当 时， ，此时 （负值不符合题意，舍去），此时 ；
当点 在 上运动时，如图：
，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的长为整数，
∴当 时， ，此时 （即点 与点 重合），此时 ；
综上所述，当 为整数时， 的长为 或 或 ，故答案为： 或 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．（6分）已知一个多边形的边数为 ．
(1)若 ，求这个多边形共有多少条对角线．
(2)若这个多边形的内角和等于外角和的 倍，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，多边形的对角线，熟练掌握多边形内角和公式
以及多边形的外角和为 是解本题的关键．
（1）直接根据多边形对角线公式 求解即可；
（2）根据多边形的外角和为 ，然后根据多边形内角和列方程求解即可．
【详解】（1）解： ，多边形对角线为
（2）解：
解得 ．
18．（6分）如图，在平行四边形 中，过点A作 交 边于点E，点F在边 上，且
．
(1)求证：四边形 是矩形．
(2)若 平分 ，且 ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明四边形 是矩形
是解题的关键．（1）先证明四边形 是平行四边形，又由 即可证明结论成立；
（2）求出 ，利用勾股定理求出 ，在 中，利用勾股定理即
可求出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
，
在 中， ．
即 的长是 ．
19．（6分）如图，在 中， ， 是 边上的中线，过点C作 的平行线 ，且
，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)当 满足 时，四边形 是正方形．请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析【分析】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质
等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由直角三角形的性质可得 ，推出 ，结合 得出四边形 是平行四边形，
再结合 即可得证；
（2）由等腰直角三角形的性质可得 ，即 ，即可得证．
【详解】（1）证明：∵在 中， ， 是 边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：当 满足 时，四边形 是正方形，理由如下：
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 是正方形，
故答案为： ．
20．（6分）如图，在菱形 的边 上有一点 （不与点 ， 重合），请仅用无刻度的直尺按下列
要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中的菱形 的边上找一点 ，作线段 ，使 ．
(2)在图②中的菱形 的边上找点 ， ，使 ，并作出等腰三角形 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】（1）结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质，连接 交 于点 ，连接 并延长，交
于点 即可；
（2）结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质，连接 ， 相交于点 ， 交 于点 ，连接
并延长，交 于点 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 ， ， 即可．
【详解】（1）解：如图①，线段 即为所作．
（2）解：如图②， 即为所作．
【点睛】本题考查无刻度的直尺作图、菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练
掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21．（8分）在四边形 中， ．
(1)如图①，若 和 的平分线交于点 ，则 的度数为___________；
(2)在（1）的条件下，若延长 交于点 (如图②)，将原来的条件“ ”改为“
”，其他条件不变， 的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出
的度数．
【答案】(1) ；
(2) 的度数不变，为
【分析】本题考查四边形内角和定理、角平分线的定义、三角形内角和定理．关键是通过内角和关系，结
合角平分线求出相关角的和，进而计算目标角．（1）先利用四边形内角和求出 的度数，再根据角平分线性质得到 的度数，
最后用三角形内角和求出 ；
（2）先在 中利用三角形内角和求出 的度数，再结合角平分线性质得到
的度数，进而求出 ，判断度数是否变化．
【详解】（1）解：∵四边形 的内角和为 ， ， ，
∴ ；
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ；
在 中， ；
故答案为： ．
（2）解： 的度数不会发生变化，理由如下：
在 中， ，
∴ ；
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ；
在 中， ；
答： 的度数不变，为 ．
22．（8分）如图，点 是菱形 对角线 上一动点， ．在线段 的同侧作线段 ，
使得 ，连接 ．
(1)补全图形，并回答问题：当 时， ；
(2)连接 ，交 于点 ，若 ，探索 与 的数量关系，并证明；
(3)直接写出当 时， 将平行 ．【答案】(1)图见详解， ；
(2) ，证明见详解；
(3) ．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；过点 作 交 于点 ，连接 ，证明四边形
为平行四边形，得出 ，即 ，得出当 时， ，当
时，四边形 为菱形，得出 ， ，得出当点 在对角线的交点 上时，符
合题意，此时 ；
（2）连接 、 ， 证明 ，得出 ，证明 ，得出
， ，证明四边形 为矩形，得出 ， ，根据
，即可得出 ；
（3）连接 ， ，证明 ，得出 ，证明 ，由（2）得四边形 为平
行四边形，得出 ，从而得出 ．
【详解】（1）解：补全图形，如图所示：
过点 作 交 于点 ，连接 ，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，，即 ，
当 时， ，
，
四边形 为菱形，
， ，
当点 在对角线的交点 上时，符合题意，
此时 ，
故答案为： ；
（2） ；
证明：连接 、 ，如图所示：
，
，
四边形 为菱形，
， ， ，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
四边形 为平行四边形，
，四边形 为矩形，
， ，
，
，
；
（3）解：连接 ， ，如图所示：
四边形 为菱形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
根据解析（2）可知，四边形 为平行四边形，
，
，
即当 时， 将平行 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形
的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定．
23．（8分）我们知道：平行四边形的面积 （底边） （这条底边上的高）．如图，四边形 都是平
行四边形， ， ，设它的面积为 ．(1)如图①，点 为 上任意一点，则 的面积 ， 的面积 与 的面积 的
数量关系是 ．
(2)如图②，设 、 交于点 ，则 为 、 的中点，试探究 的面积与 的面积之和
与平行四边形的面积 的数量关系．
(3)如图③，点 为平行四边形 内任意一点时，记 的面积为 ， 的面积为 ，平行四
边形 的面积为 ，猜想得 、 的和与 的数量关系式为 ．
(4)如图④，已知点 为平行四边形 内任意一点， 的面积为 ， 的面积为 ，求
的面积．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形及三角形的面积公式是解答此题的关键．
（1）设 中 边上的高为 ， 边上的高为 ，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式
求解即可；
（2）根据 为 、 的中点，故可得出 ；
（3）设 中 边上的高为 ， 中 边上的高为 ， 中 边上的高为 ，再根据平
行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可；
（4）根据 即可得出结论．
【详解】（1）解：设 中 边上的高为 ， 边上的高为 ，
，
， ，， ，
故答案为： ， ；
（2） 为 、 的中点，
；
（3）设 中 边上的高为 ， 中 边上高为 ， 中 边上的高为 ，
，
，
，
即 ，
故答案为： ；
（4） ， ， ，
，
即 ．
24．（12分）如图，已知四边形 为正方形， ，点E为对角线 上一动点，连接 ，过
点E作 ，交 于点F，以 为邻边作矩形 ，连接 ．
(1)求证：矩形 是正方形．
(2)探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)直接写出 的最小值．【答案】(1)见解析
(2)是定值，6
(3)
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助
线是解题的关键．
（ ）过 作 于 点，过 作 于 点，可证四边形 是正方形，得 ，进
而证明 ，得到 ，即可求证；
（ ）证明 ，可得 ，即得 ，即可求解；
（3）由矩形 为正方形，得到 ，根据垂线段最短可知，当 时， 取得最小值，
最小值为 ，此时， 有最小值，即可解答．
【详解】（1）证明：如图，过 作 于 点，过 作 于 点，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是正方形 对角线的一点，
∴ ，
，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 为正方形；
（2）解： 是定值，定值为 ，理由如下：
∵矩形 为正方形，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是定值，定值为 ．
（3）解：∵矩形 为正方形，
∴ ，
由垂线段最短可知，当 时， 取得最小值，最小值为 ，
此时， 有最小值，
由（2）知 ，∴ 的最小值为 ．
25． （12分）已知点E，F分别在矩形纸片 的边 、 所在直线上，连接 ，将
矩形纸片 沿 折叠，点A落在 处，点B落在 '处．当 ， 时，请解决下列问题：
(1)如图1，若点 恰好与点D重合， 与 相交于点O，连接 、 ，求 的长；
(2)如图2，若点 恰好在边 上时， 交 于点G，且满足 ，求证： ；
(3)若点 在边 所在直线上，且满足 ，求 的长．
【答案】(1) 的长为
(2)见解析
(3) 的长为5或3
【分析】（1）利用折叠的性质和勾股定理即可求解；
（2）利用折叠的性质得出 ， ，利用 证得 ，得到 ，利
用等边对等角得到 ，然后证得 ，得到 ，即可证得
；
（3）分①当 在 的延长线上时，②当 在线段 时，两种情况讨论，根据折叠的性质．利用勾股定
理即可求解．
【详解】（1）解：设 ，则 ，由折叠的性质可知 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）证明：由折叠的性质可知 ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①当 在 的延长线上时，如图①，由 ，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
②当 在线段 时，如图②，
设 ，则 ，
由折叠的性质可知 ，
∵ ， ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
综上， 的长为5或3．
方法总结
1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。
2. 利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。
解题技巧
1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。
2. 设元列方程：常设未知线段长为x，在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。
