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第25 章 概率初步（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角”这一事件
是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是
2．（2017秋·湖南衡阳·九年级统考期末）如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（
）
A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面
B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面
C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面
D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．任意投掷一枚质地均匀的硬币 次，出现正面朝上的次数一定是 次
B．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
C．“太阳东升西落”是不可能事件
D．调查某班 名学生的身高情况宜采用普查
4．（2023春·安徽·九年级专题练习）从正五边形 的各个顶点中任意选择三个作为三角形的顶
点，所得到的三角形为等腰三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）在一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜
色外其余都相同.搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为 ，应在该盒子中再添加红球（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个6．（2022·山西大同·校联考一模）如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样
的：正方形 的边长为4，取正方形 各边的四等分点E，F，G，H．作第2个正方形 ，
然后再取正方形 各边的四等分点M，N，P，Q．作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去，
可以认为聚成了一点，将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考二模）合肥市某校九年级（1）、（2）班共有2名女生和3
名男生分别被评为“智慧之星”，要从这5位学生中随机抽取一男一女两位学生做获奖感言，女同学杨玲
和男同学张军恰好来自同一班级，则他俩同时被抽中的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）下列事件描述中，是必然事件的是（ ）
A．在同一个圆中，等弦对等弧
B．打开电视机，正在直播2022年北京冬奥会比赛
C．二次函数 的图象与坐标轴没有交点
D．平面内任意三点可以构成一个三角形
9．（2022春·福建南平·九年级福建省南平第一中学校考自主招生）向上抛掷质地均匀的骰子（如图），
落地时向上的面点数为 （ 的可能取值为1，2，3，4，5和6），则关于 的不等式 有不大于2
的整数解的概率为（ ）A． B． C． D．
10．（2023秋·全国·九年级专题练习）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一
个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P（A）＝ ；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n
份，则可以估计π的值为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023春·全国·七年级专题练习）某公交车站共有1路、3路、16路三路车停靠，已知1路车8分
钟一辆；3路车5分钟一辆、16路车10分钟一辆，则在某一时刻，小明去公交车站最先等到 路车的
可能性最大．
12．（2018春·七年级单元测试）某校对七年级220名学生的年龄进行整理，分成11岁、12岁、13岁
三组，若11岁这组的频率为0.3，12岁这组的频率为0.45，则13岁这组的频数是 ．
13．（2021·湖北襄阳·一模）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是0.5，则
在一定时间段内，由该元件组成的图示电路 ， 之间，电流能够正常通过的概率是 ．14．（2023春·上海青浦·八年级统考期末）从① ，② ，③ ，④ 四
个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形 是平行四边形的概率是 ．
15．（2022秋·河北邯郸·九年级校考期中）在 、3、 这三个数中，选1个数作为 中k的值．
（1）使反比例函数 的图象在第一、三象限的概率是 ；
（2）若选择3，则 ，将一个均匀的正方体骰子六个面上标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷
两次骰子，朝上的数字分别记为m、n，若把m、n作为点p的横、纵坐标，则点 落在反比例函数
图象与坐标轴所围成区域内（含落在此反比例函数的图象上的点）的概率是 ．
16．（2018秋·九年级单元测试）芳芳和明明要玩一个游戏：两人轮流在一个正方形硬纸上放同样大
小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，让硬币平躺在桌面上，任何两枚硬币不能重合．谁放完最后一
枚，使得对方再也找不到空地放下一枚硬币的时候，谁就赢了．如果芳芳走第一步，她应该放在哪里才可
能稳操胜券？请说明你的理由． ．
17．（2023秋·浙江·九年级专题练习）一个口袋中有15个黑球和若干个白球，从口袋中一次摸出10
个球，求出黑球数与10的比值，不断重复上述过程，总共摸了10次，黑球数与10的比值的平均数为 ，
因此可估计口袋中大约有 个白球.
18．（2023秋·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）从 ，这五个数字
中，随机抽取一个数，记为 ，则 使得关于 的方程 的解为非负数，且 的不算式组
恰好仅有三个整数解的概率是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023秋·全国·九年级专题练习）暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满 元
的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成 个扇形），转动
转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向
某一扇形为止）
颜色 红 蓝 黑
奖券金额（元） 20 50 80
（1）甲顾客购物 元，他获得奖券的概率是___________；
（2）乙顾客购物 元，并参与该活动，他获得 元和 元奖券的概率分别是多少？
（3）为加大活动力度，现商场想调整获得 元奖券的概率为 ，其余奖券获奖概率不变，则需要将
多少个黄色区域改为红色？
20．（8分）（2023春·陕西西安·七年级校考期中）在一个不透明的袋子中装有10个黑球和5个白球，
这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球.
（1）摸出的球是黑球的概率是多少?摸出的球是白球的概率是多少?
（2）为了使摸出黑球的概率是摸出白球的概率的3倍，再放进去9个球，那么这9个球中黑球和白球
的数量分别应是多少?21．（10分）（2023秋·四川达州·九年级校考期中）在四川省达州市渠县有庆中学的文化建设进程中，
“打造书香校园”一直是其最重要的内容之一．我校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，
学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活
类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小红与小明每人从四类图书中任选一种，用树状图或列表法求二人恰好选择文史类的概率是多
少？
22．（10分）（2023·陕西西安·校考二模）随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支
付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．某超市为方便顾客购物付款，可供顾客
选择的付款方式有以下五种：A．现金支付，B．刷卡支付，C．微信支付，D．支付宝支付，E．刷脸支付．
每种付款方式被选择的可能性是相同的．
（1）小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为______________；
（2）若甲、乙两人在该超市购物，请你通过列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择不同付款方式的概率．
23．（10分）（2018·四川成都·九年级统考期中）有5张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2的不透
明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字
记为a．
（1）求a＝0的概率；
（2）求既使关于x的一次函数y＝（a+1）x+a﹣4的图象不经过第二象限，又使关于x的方程
+3= 有整数解的概率；
（3）若再从剩下的四张中任取一张，将卡片上的数字记为b，求使一元二次方程x2+2ax+b2＝0的两根
均为正数的概率．
24．（12分）（2022·四川雅安·统考中考真题）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50
户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户
用水量；（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在
30～40t的概率．
参考答案
1．B
【分析】根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角，以及必然事件、不可能事件、随机
事件的概念解答．
解：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角是必然事件，
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指
在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机
事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．A
解：A选项中，一个瓶盖可用盖面朝上表示硬币的正面，盖面朝下表示硬币的反面，两者出现的概率
一样，可作实验替代物，所以本选项正确；
B选项中，图钉尖朝上的概率大于面朝上的概率，不可做实验替代物，所以本选项错误；
C选项中，用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面，两数产生的概率不同，不能
代替抛掷硬币的实验，所以本选项错误；
D选项中，转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面，由于还有一
个“黄色区域”，本实验中有三种等可能结果，与抛掷硬币实验情况不一样，所以本选项错误；
故选A.
3．D
【分析】依据随机事件、扇形统计图、必然事件及普查的相关概念及性质进行判断即可
解：A、任意投掷一枚质地均匀的硬币 次是随机事件，出现正面朝上的次数可能是 次，选项说法
错误，不符合题意；
B、为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，选项说法错误，不符
合题意；
C、“太阳东升西落”是必然事件，选项说法错误，不符合题意；D、调查某班 名学生的身高情况宜采用普查，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了随机事件、扇形统计图、必然事件及普查的相关概念及性质；解题的关键是正确
掌握相关概念即性质．
4．D
【分析】利用正五边形的几何性质结合概率公式，即可得到答案．
解：因为五边形是正五边形，
所以从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，都是等腰三角形，
则为必然事件，故概率为1，
故选：D．
【点拨】本题考查了概率公式，正五边形几何性质的应用，注意在正五边形的五个顶点中，随机选择
三个顶点连成三角形，都是等腰三角形．
5．D
【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得 ，解此分式方程即可求得答案．
解：设应在该盒子中再添加红球x个，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解．
故选：D．
【点拨】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．C
【分析】由题意知 ， ， ， 面积相等， ， ， ，
面积相等，依此方法一直继续下去，可知阴影区域的面积占正方形面积的 ，据此可得出答案．
解： 是正方形，
，
取正方形 各边的四等分点E，F，G，H．作第2个正方形 ，
， ，
，同理得： ，
依此方法一直继续下去，可知阴影区域的面积占正方形面积的 ，
将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是： ，
故选：C．
【点拨】本题考查几何概率，理解几何概率的意义，并正确计算是解题的关键．
7．D
【分析】列出表格，共有12种等可能的结果，其中女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，被同
时抽中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：根据题意，列出表格如下：
男1 男2 男张军 女1 女杨玲
男1 男1，女1 男1，女杨玲
男2 男2，女1 男2，女杨玲
男张
男张军，女1 男张军，女杨玲
军
女1 女1，男1 女1，男2 女1，男张军
女杨 女杨玲，男张
女杨玲，男1 女杨玲，男2
玲 军
共有12种等可能的结果，其中女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，被同时抽中的结果有2种，
女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，他俩同时被抽中的概率为： ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确的列出所有可能的结果是解题的关键．
8．A
【分析】根据事件的分类，弧，弦，角的关系，构成三角形的条件和二次函数图象与坐标轴的交点问
题，逐一进行判断即可．
解：A、在同一个圆中，等弦对等弧，是必然事件，符合题意；
B、打开电视机，正在直播2022年北京冬奥会比赛是随机事件，不符合题意；
C、二次函数 的图象与坐标轴没有交点，是不可能事件，不符合题意；D、平面内任意三点可以构成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查事件的分类．解题的关键是掌握必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，不可
能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．同
时也考查了弧，弦，角的关系，构成三角形的条件和二次函数图象与坐标轴的交点问题．
9．A
【分析】将 为1，2，3，4，5和6分别代入不等式中求出对应不等式的解集，判断是否有不大于2
的整数解即可；
解：当 时，不等式 变为： ，
解得该不等式的解为： ，没有不大于2的整数解，不符合；
当 时，不等式 变为：
解得该不等式的解为： ，没有不大于2的整数解，不符合；
当 时，不等式 变为：
解得该不等式的解为： 或 ，有不大于2的整数解，符合；
当 时，不等式 变为：
解得该不等式的解为： 或 ，有不大于2的整数解，符合；
当 时，不等式 变为：
解得该不等式的解为： 或 ，有不大于2的整数解，符合；
当 时，不等式 变为：
解得该不等式的解为： 或 ，有不大于2的整数解，符合；
综上， 取值为3，4，5，6时满足要求，故概率为： ，
答案为： ；
【点拨】本题考查了概率计算以及不等式解答，熟练掌握不等式解法是解答该题的关键10．D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的
区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m
份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π
的值，得出答案．
解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用图中正方形区域表示，
∴ ，
再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴ ，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：
，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴ ，
解得 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利
用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
11．3
【分析】根据题意分析出哪路车间隔时间最长，哪路车间隔时间最短，据此解答即可．
解：∵1路车8分钟一辆，3路车5分钟一辆，16路车10分钟一辆，
∴3路车间隔时间最短，16路车间隔时间最长，
∴小明去公交车站最先等到3路车的可能性最大．故填3．
【点拨】本题主要考查了事件可能性大小的判断，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解答
本题的关键．
12．55
分析：根据频率的意义，可得13岁的频率，根据频数与频率的关系，可得答案．
解：13岁的频率为1-0.3-0.45=0.25，
13岁这组的频数是220×0.25=55，
故答案为55．
【点拨】本题考查了频数与频率，利用每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组
频数之和等于数据总和，频率= 是解题关键．
13．
【分析】根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率
为0.25，进而由概率的意义可得一定时间内AB之间电流能够正常流通的概率．
解：根据题意，某一个电子元件正常工作的概率为0.5，即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，
则两个元件同时不正常工作的概率为0.25（正常正常，正常不正常，不正常正常，不正常不正常）
故一定时间内AB之间电流能够正常流通的概率=1-0.25=0.75
故答案为：0.75．
【点拨】本题考查了等可能事件的概率，于基础题，到的知识点为：电流正常通过的概率=1-电流不能
正常通过的概率．
14．
【分析】根据一对对边平行且相等的四边形、两组对边相等的四边形、两组对边平行的四边形都是平
行四边形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答．
解：① ，② ，∴四边形ABCD是平行四边形，
① ，③ ，∴四边形ABCD是平行四边形，
① ，④ ，无法判断；
② ，③ ，无法判断；
② ，④ ∴四边形ABCD是平行四边形；
③ ，④ ∴四边形ABCD是平行四边形；故选到能够判定判定四边形 有4种结果，
∴选到能够判定 是菱形的概率是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定，概率等，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定
方法，概率的计算方法．
15．
【分析】（1）根据 图像在一三象限， 图像在二四象限，结合： 求解即可得到答案；
（2）用列表法得到所有情况，找到在区域内的数量结合： 求解即可得到答案；
解：（1）∵ 图像在一三象限， 图像在二四象限，
∴ 、 的图像在二四象限，3的图像在一三象限，
∴ ，
故答案为： ；
（2）列表如下：
第一
次
1 2 3 4 5 6
第二
次
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
由上表可知：总共有 中情况，其中点在 图象与坐标轴所围成区域内共有5种情况，∴ ，
故答案为： ；
【点拨】本题考查求概率，解题的关键是找到所有情况及符合条件的情况，结合 求解．
16．芳芳的第一步应放正方形硬纸板的中心位置．这时，明明放一枚硬币，芳芳总可以在硬纸板上放
一枚硬币，使它与明明的硬币关于中心对称，直到明明无处可放，芳芳就赢了．
【分析】根据中心对称的知识，争取先放，并把第1枚硬币放在桌面的对称中心上，根据对称性可作
出解释.
解：芳芳的第一步应放正方形硬纸板的中心位置，这时，明明放一枚硬币，芳芳总可以在硬纸板上放
一枚硬币，使它与明明的硬币关于中心对称，直到明明无处可放，芳芳就赢了.
【点拨】本题主要考查了中心对称的性质的运用，解本题的要点在于掌握中心对称的基本性质，然后
才能做到灵活运用.
17．60
【分析】把 作为黑球与总数的比，用15除以 求出总数，减去黑球数即为所求．
解：由题意知，黑球数与10的比值的平均数为 ，则说明黑球占总球数的 ，
所以总球数为 个，则白球数为 个．
故答案为：
【点拨】本题考查了利用频率估计概率，关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系求得球的总个数．
18．
【分析】首先确定能使得关于 的方程 的解为非负数，然后找到满足关于 的不等式组
至少有三个整数解的 的值，然后利用概率公式求解即可.
解：解方程 得:
∵解为非负数，且
解得: 且
解不等式组 得: ，
∵有三个整数解，
∴
∴使得关于 的方程 的解为非负数，且 的不等式组 有三个整数解的 的
值有 共 个，
．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比.
19．（1） ；（2） ， ；（3）
【分析】（1）用消费的钱数和 元比较即可确定能否参与抽奖，不能参加抽奖则获得奖金的概率为
；
（2）用概率公式求解即可；
（3）设需要将 个黄色区域改为红色，根据 元奖券的概率为 列方程求解即可．
（1）解：∵ ，
∴小明购物 元，不能获得转动转盘的机会，
∴小明获得奖金的概率为 ；
故答案为： ．
（2）解：乙顾客购物600元，能获得一次转动转盘的机会，
由题意可知，每转动一次转盘，共有 种等可能的结果，其中红色的有 种，黑色的有 种，
所以指针指向红色的概率为 ，
指针指向黑色的概率为 ，所以他获得 元和 元奖券的概率分别为 ， ．
（3）解：设需要将 个黄色区域改为红色，
则由题意得， ，
解得： ，
所以需要将 个黄色区域改为红色．
【点拨】本题考查了概率公式，根据概率进行计算，概率的意义，熟练掌握概率公式是解题的关键．
20．（1）摸出的球是黑球的概率是 ，摸出的球是白球的概率是 ；（2）这9个球中黑球有8个，
白球有1个
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）设这9个球中黑球有 个，白球有 个，根据摸出黑球的概率是摸出白球的概率的3倍列方
程求解即可．
（1）解：∵袋子中装有10个黑球和5个白球，
∴随机摸出一球，摸出的球是黑球的概率是 ，摸出的球是白球的概率是 ；
（2）解：设这9个球中黑球有 个，白球有 个，
由题意得： ，
解得： ，
则 ，
答：这9个球中黑球有8个，白球有1个．
【点拨】本题主要考查了概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式．
21．（1）200；（2）见分析；（3）
【分析】（1）根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数；
（2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数；
（3）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
（1）解： 喜欢文史类的人数为76人，占总人数的 ，
此次调查的总人数为： 人，故答案为：200；
（2）解： 喜欢生活类书籍的人数占总人数的 ，
喜欢生活类书籍的人数为： 人，
喜欢小说类书籍的人数为： 人，
如图所示：
（3）解：记社科类图书为 、文史类图书为 、生活类图书为 、小说类图书为 ，
画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能情况，其中二人恰好选择文史类的只有1种结果，
所以二人恰好选择文史类的概率为 ．
【点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总
体的百分比大小．
22．（1） ；（2）
【分析】（1）直接根据概率公式即可解答；
（2）先列表确定所有结果数和满足题意的结果数，然后再根据概率公式即可解答．
（1）解：小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为 ；
（2）列表如下：
A B C D EA
B
C
D
E
由表知，共有25种等可能结果，其中甲、乙两人选择不同付款方式的结果有20种，
∴甲、乙两人选择不同付款方式的概率为 ．
【点拨】本题考查的是用树状图法求概率．概率公式，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）首先使得关于x的分式方程 ，整数解，且关于x的一次函数y=（a+1）x+a-4的图
象不经过第二象限的数，然后直接利用概率公式求解即可求得答案；
（3）画出树状图，代入概率公式计算即可．
（1）解：a＝0的概率＝ ；
（2）解：∵关于x的分式方程 有整数解，
∴3﹣ax+3（x﹣3）＝﹣x，
解得：x＝ ，
∵x≠3，
∴a≠2，
∴当a＝﹣2，1时，分式方程 有整数解；
∵关于x的一次函数y＝（a+1）x+a﹣4的图象不经过第二象限，
∴a+1＞0，a﹣4≤0，
∴﹣1＜a≤4，∴当a＝0，1，2，时，关于x的一次函数y＝（a+1）x+a﹣4的图象不经过第二象限；
综上，当a＝1时，使得关于x的分式方程 有整数解，且关于x的一次函数y＝（a+1）
x+a﹣4的图象不经过第二象限；
∴使得关于x的分式方程 有整数解，且关于x的一次函数y＝（a+1）x+a﹣4的图象不
经过第二象限的概率是： ；
（3）∵一元二次方程x2+2ax+b2＝0的两根均为正数，
∴x +x ＝﹣2a＞0，x x ＝b2＞0， ＝4a2﹣4b2＝4（a+b）（a﹣b）≥0
1 2 1 2
∴a＜0，b≠0，且|a|≥|b| △
列树状图如图所示，
∵共有20种等可能结果，其中使一元二次方程x2+2ax+b2＝0的两根均为正数的有4种情况．
∴P＝ ．
【点拨】】此题考查了概率公式的应用、一次函数的图象与系数的关系以及分式方程的解.
24．（1）3；（2）12.4；（3）
【分析】（1）由统计图可知，用50减去其他各组用水量的户数即可；
（2）根据题意找出各组的中间值，再用各组的中间值乘以各组的户数然后把它们的总和除以总户数
即可．
（3）先列表展示所有20种等可能的结果数，再找出至少有1户用水量在30～40t的结果数，然后根
据概率公式计算．
（1）解： 50-20-25-2=3（户）
答：这50户家庭中5月用水量在20～30t的有3户．
（2）解：∵0～10的中间值为5；10～20的中间值为15；20～30的中间值为25；30～40的中间值为
35；
∴（5×20+15×25+25×3+35×2）÷50=12.4（t）．
答：估计该小区平均每户用水量为12.4t．（3）解：用水量在20～30t的家庭用A表示，有3户，用水量在30～40t的家庭用B表示，有2户，
任意抽取2户列表如下：
A A A B B
1 2 3 1 2
A AA AA AB AB
1 1 2 1 3 1 1 1 2
A AA AA AB AB
2 2 1 2 3 2 1 2 2
A AA AA AB AB
3 3 1 3 2 3 1 3 2
B BA BA BA BB
1 1 1 1 2 1 3 1 2
B BA BA BA BB
2 2 1 2 2 2 3 2 1
∵共有20种等可能结果，其中至少有1户用水量在30～40t的结果有14种，
∴P（至少有1户用水量在30～40t）= = ．
答：从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，至少有1户用水量在30～40t的概率是 ．
【点拨】此题考查了数据分析和画树状图（或列表）求概率，解题的关键是分析统计图，根据题意画
出表格，注意列举出所有的等可能结果．
