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第4 章 整式的加减（单元测试·培优卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．下列说法正确的是（ ）
A． 不是整式 B． 系数是 C． 的次数是6 D． 不是单项式
2．下列各组是同类项的一组是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，···，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
5．若 时，式子 的值为10，则当 时，式子 的值为（ ）
A．12 B．10 C．7 D．4
6．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若代数式 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若关于 的多项式 不含二次项和一次项，则 的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．无法确定
9．红红按照一定的规律用小棒摆出了下面的4幅图．如果按照这个规律维续摆，第五幅图要用（ ）根小棒．
A．23 B．31 C．35 D．45
10．一组有序排列的数： ， ， ，…， ，…（ 为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间
的数等于其前后两个数的积．已知 ， ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若 与 是同类项，则合并后的结果为 ．
12．若多项式 与 的和不含 项，则 ．
13．计算： ．
14．若长方形的一边长是 ，另一边长为 ，则这个长方形的周长为 ．
15．有理数 、 、 在数轴上分别对应点 、 、 的位置如图所示，则 ．
16．在1，2，3，…，399，400中，数字2一共出现了 次．
17．对于任意的有理数a，b，如果满足 ，那么我们称这一对数a，b为“特殊数对”，记为
．若 是“特殊数对”，则 ．
18．如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，小芳在探索杨辉三角每一行中所有数字之和的规律
时，将第1行的数字之和记为 ，第2行的数字之和记为 ，第3行的数字之和记为 ，…，第n行的数
字之和记为 ．根据每一行的规律，图中a的值为 ；则 ．（用含n
的式子表示）．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）计算
(1) (2)
20．（本小题满分8分）已知 ．
(1)化简 和 ；
(2)试比较 的值与 的大小．
21．（本小题满分10分）已知：整式 和整式
(1)化简整式 ；
(2)如果 、 互为倒数，且 ，求整式 的值．
22．（本小题满分10分）【教材呈现】下题是课本93页17题：
如果代数式 的值为 ，那么代数式 的值是多少？
【阅读理解】小海在做作业时采用如下的方法，解答如下：
由题意得 ，
∴ ，
∴代数式 的值为 ．【解决问题】
（1）小海的计算过程体现了 的数学思想；
A．数形结合；B．整体；C．分类讨论；D．函数
（2）若代数式 的值为3，求代数式 的值；
【能力提升】
（3）已知 ， ， ，求 的值．
23．（本小题满分10分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，28，……叫做三角形数，这列数具
有一定的规律，若把第一个数记作 ，第二个数记作 ……，第n个数记作 ；
(1)计算： ______， ______， ______， ______，
试推测： ______（注：用含n的代数式表示推测的结论）；
(2)用（1）的结论，①计算： ；②求 的值（注：请直接写出答案）．
24．（本小题满分12分）某学校为了准备中考体育考试，在某体育用品专卖店购买200根跳绳与若干个
排球．已知该体育用品专卖店每根跳绳的定价为120元，每个排球的定价为60元，并有以下两种批发套
餐：
套餐一：买一根跳绳，赠送一个排球；
套餐二：跳绳与排球都打八折出售．
(1)若该学校购买200根跳绳与200个排球，请通过计算比较哪种套餐更省钱；
(2)若该学校购买200根跳绳与a个排球（ ），请用含a的式子表示出两种套餐所需要的费用；当
时，通过计算比较出两种套餐中最省钱的套餐；
(3)在（2）的条件下，该学校计划购买200根跳绳与400个排球，该体育用品专卖店允许将套餐组合购买，请你设计最省钱的购买方案，并说明理由参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A D D B B B B
1．D
【分析】本题考查了单项式，整式，根据单项式，整式的意义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A． 是多项式，属于整式，故A不符合题意；
B． 系数是 ，故B不符合题意；
C． 的次数是7，故C不符合题意；
D． 不是单项式，是分式，故D符合题意；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．根据同
类项的定义逐项分析即可，同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
【详解】解：A、 与 字母指数不一样，不符合题意；
B、 与 字母指数不一样，不符合题意；
C、 与 所含字母不同，不符合题意；
D、 与 是同类项；
故选：D.
3．D
【分析】根据完全平方公式；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选
项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 与 不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；D、 ，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟记公式与性质是
解题的关键．
4．A
【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给单项式的系数的特点，确定单项式的规律是解题的关键．通
过观察每一个单项式的系数可得系数的规律为 ，从而求解．
【详解】解：由题可知：第一个单项式的系数为 ，即 ；
第二个单项式的系数为 ，即 ；
第三个单项式的系数为 ，即 ；
第四个单项式的系数为 ，即 ；
第五个单项式的系数为 ，即 ；
，依此类推，
故第n个单项式的系数为 ，
第n个单项式是 ，
故选：A．
5．D
【分析】先根据 时，式子 的值为10，可得 ，再把 代入 ，再整体
代入求值即可．
【详解】解：∵ 时，式子 的值为10，
∴ ，
∴ ，
当 时，∴
．
故选D．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，由数轴可知： ，据此
可判断①③；再由b到原点的距离大于a到原点的距离，得到 ，据此可判断②；根据数轴得到
，再化简绝对值并合并同类项即可判断④．
【详解】解：由数轴可知： ，故①正确；
∵b到原点的距离大于a到原点的距离，
∴ ，而 ，
∴ ，故②正确；
∵由数轴可知： ，
∴ ，故③正确；
由数轴可知： ，
∴ ； ，故④正确；
∴一共有4个结论正确．
故选：D．
7．B
【分析】由 可得 再把 化为 ，再整体代入
求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∴故选B.
【点睛】本题考查的是已知式子的值，求代数式的值，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关
键．
8．B
【分析】本题考查整式的加减，根据多项式不含 的一次项和 的二次项，得 ， ，是解决问题
的关键．
【详解】解：∵关于 的多项式 不含二次项和一次项，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ．
故选：B．
9．B
【分析】本题考查图形变化的规律，能用含 的代数式表示第 幅图要用的小棒根数是解题的关键．
依次求出图形中小棒的根数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第1幅图要用的小棒根数为： ；
第2幅图要用的小棒根数为： ；
第3幅图要用的小棒根数为： ；
第4幅图要用的小棒根数为： ；
，
所以第 幅图要用的小棒根数为 根，
当 时，
（根 ，
即第5幅图要用的小棒根数为31根．
故选：B．10．B
【分析】本题考查了数的规律探究，完全平方公式．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
根据题意，计算可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则 ， ， ，
由 ，可得 ，则 ，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由题意知， ， ， ， ，
同理， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ，……
∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
解得， ，
∴ ，
故选：B．
11．
【分析】本题考查了同类项，利用同类项是字母相同且相同字母的指数也相同得出a、b的值是解题的关键．
根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得a、b的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵ 与 是同类项，∴ ， ，
解得： ， ． 故原式为： 与
+ ．
故答案为 ．
12．3
【分析】本题考查多项式加减运算，涉及多项式和不含某项，根据题意，先利用多项式加减运算合并同类
项，再由和不含 项列式求解即可得到答案，熟练掌握多项式加减运算是解决问题的关键．
【详解】解：
，
多项式 与 的和不含 项，
，解得 ，
故答案为： ．
13．
【分析】先根据去括号法则化简，再合并同类项即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查整式的加减法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．
【分析】此题考查了整式的加减运算，长方形的周长等于两邻边之和的2倍，表示出周长，去括号合并即
可得到结果．
【详解】根据题意列得： ，
则这个长方形的周长为 ．
故答案为： ．15．
【分析】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值， 根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正
负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：根据数轴可知： ， ，
， ，
∴
∴
，
故答案为： ．
16．180
【分析】本题通过分类，分别找出2在百位、十位和个位上出现的次数，再相加即可．
【详解】由于0和400都没有出现2，可理解为0到399一共有多少个2．
当百位为2时，十位有10种选择，个位也有10种选择，共有 次；
当十位为2时，百位有4种选择，个位有10种选择，共有 次；
当个位为2时，百位有4种选择，十位有10种选择，共有 次；
所以共有 次．
答：在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了180次．
故答案为：180．
17．
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，新定义，根据新定义得到 ，进而得到 ，
再把所求式子先去括号，再合并同类项得到 ，据此代值计算即可．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∴，
故答案为： ．
18． 10
【分析】此题考查了数字变化规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出该组数字出现的规律．
根据图形可得，a的值为a上面两个数字之和，即可求出a的值；根据题意，总结出 ， ，
即可解答．
【详解】解：由图可知， ，
根据题意可得： ，
，
，
，
……
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：10， ．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查整式加减运算，涉及去括号、合并同类项等知识，熟练掌握整式加减运算法则是解决问
题的关键．（1）找出同类项，利用整式加减运算法则合并同类项即可得到答案；
（2）先去括号，再找出同类项，利用整式加减运算法则合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1) ；
(2) 的值比 小，见解析．
【分析】（ ）根据合并同类项和去括号法则即可求解；
（ ）作差值即可比较大小；
此题考查了整式的加减，熟练掌握合并同类项和去括号法则是解题的关键．
【详解】（1）
，
；
，
，
；
（2）∵
，
∵ ，
∴ 的值比 小．
21．(1)(2)
【分析】本题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）先去括号，然后合并同类项即可；
（2）把A与B代入 中，去括号合并得到最简结果，由a，b互为倒数得到 ，代入计算即可求
出值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵ ，
∴
，
∴ ，
∵ 、 互为倒数，
∴ ，
∴原式 ，
即整式 的值为-3．
22．（1）B；（2）7；（3）
【分析】此题考查了整式的加减——化简求值，掌握去括号，合并同类项的运算法则，利用整体代入的思
想是解题的关键．
（1）把 作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为整体思想；
（2）原式变形后，把 代入计算即可求出值；
（3）原式变形后，把 ， ， 代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）把 作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为整体思想；
故选：B；
（2） ，
，；
（3） ， ， ，
∴
．
23．(1)2；3；4；5；
(2)① ；②
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，找到规律是解题的关键．
（1）观察所给式子即可得到答案；找到规律可知 ；
（2）①根据（1）可知 ， ，三式相加即可得到答案；
②仿照上题进行求解即可．
【详解】（1）解：观察可知 ； ； ； ；
…
∴ ，
故答案为：2；3；4；5； ；
（2）解：①由（1）可知 ， ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ， ， ，… ，∴
，
∴ ．
24．(1)套餐一更省钱
(2)套餐一： ；套餐二： ，按套餐一购买最省钱
(3)先套餐一购买200根跳绳，同时赠送200个排球，再按套餐二购买200个排球．理由见解析
【分析】本题主要考查列代数式以及求值，正确列出每种方案的代数式，
（1）根据题意分别求得两种方案所花费的费用，求解即可；
（2）根据题意分别求得两种方案所花费的费用，再将数值代入即可求得答案；
（3）根据第二问可知优先使用第一种套餐，剩余的排球使用第二种套餐最省钱，据此求解即可．
【详解】（1）解：套餐一： （元）．
套餐二： （元）．
∵ ．
∴套餐一更省钱．
（2）当 时，
套餐一： ．
套餐二： ．
当 时，
套餐一： ．
套餐二： ．
∵ ．
∴按套餐一购买最省钱．
（3）最佳购买方案是：先套餐一购买200根跳绳，同时赠送200个排球，再按套餐二购买200个排球．
理由如下：
（元）
∵ ．∴该种方案最省钱．
