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第七章 相交线与平行线单元测试（提升卷）
一、选择题
1．下列命题：
①两相交直线组成的四个角相等，则这两条直线垂直；
②两相交直线组成的四个角中，若有一直角，则四个角都相等；
③两直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；
④两直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用垂直的定义逐一进行判断后即可得到答案．
【解答】解：∵①两相交直线组成的四个角相等且和为360°，故每一个都为90°，故这两条直线垂直
正确；
②两相交直线组成的四个角中，若有一直角，则四个角都相等，正确；
③两直线相交，无论什么时候一角的两邻补角相等，但不一定两直线垂直，故错误；
④两直线相交，一角与其邻补角相等，则都为90°，故这两条直线垂直，正确．
故正确的有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是知道两直线相交所成的四个角中，若有一个角
为直角，则这两条直线垂直．
2．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，
请你数一数，错误的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据垂线段的定义直接观察图形进行判断．
【解答】解：从左向右第一个图形中，垂线段是线段，图中画的是射线，故错误；
第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；
第三个图形中，是过点A作的AC的垂线，所以错误；
第四个图形中，过点B作的BC的垂线，也错误．
故选：D．【点评】过点B作线段AC所在直线的垂线段，是一条线段，且垂足应在线段AC所在的直线上．
3．直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，那么P点到直线l
的距离是（ ）
A．等于2cm B．小于2cm
C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm
【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答．
【解答】解：∵PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，
∴P点到直线l的距离不大于2cm．
故选：C．
【点评】本题考查了点到直线的距离以及垂线段性质，熟记概念与性质是解题的关键．
4．如图，图中的同旁内角共有（ ）
A．7对 B．8对 C．9对 D．10对
【分析】根据同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且
在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角可得答案．
【解答】解：同旁内角有：∠A和∠B，∠A和∠ADE，∠A和∠AED，∠A和∠C，∠B和∠C，∠B
和∠BDE，∠C和∠CED，∠BDE和∠CED，∠ADE和∠AED，共9对，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同旁内角的边构成“U”形．
5．如图，若直线l ∥l ，则下列结论错误的是（ ）
1 2
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°
【分析】根据平行线的性质判断即可．【解答】解：∵直线l ∥l ，
1 2
∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，∠4＝∠5，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等和两直线平行同旁内角互补解
答．
6．如图，AB∥CD，则下列等式成立的是（ ）
A．∠B+∠F+∠D＝∠E+∠G B．∠E+∠F+∠G＝∠B+∠D
C．∠F+∠G+∠D＝∠B+∠E D．∠B+∠E+∠F＝∠G+∠D
【分析】E作EM∥AB，过F作FH∥AB，过G作GN∥AB，推出AB∥EM∥GN∥CD∥FH，得出∠B
＝∠BEM，∠FEM＝∠HFE，∠HFG＝∠FGN，∠D＝∠NGN，求出∠B+∠EFH+∠HFG+∠D＝
∠BEM+∠MEF+∠FGN+∠NGD即可．
【解答】
解：过E作EM∥AB，过F作FH∥AB，过G作GN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥GN∥CD∥FH，
∴∠B＝∠BEM，∠FEM＝∠HFE，∠HFG＝∠FGN，∠D＝∠NGN，
∴∠B+∠EFH+∠HFG+∠D＝∠BEM+∠MEF+∠FGN+∠NGD，
∴∠B+∠EFG+∠D＝∠EFG+∠FGD，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．
7．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能
是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130
【分析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案．
【解答】解：如图：
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的判定．注意数形结合法的应用，注意掌握同位角相等，两直线平行．
8．若∠A和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．70° C．30°或70° D．100°
【分析】由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，又由∠A比∠B的2倍少
30°，即可求得∠B的度数．
【解答】解：∵∠A和∠B的两边分别平行，
∴∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，
∵∠A比∠B的两倍少30°，
即∠A＝2∠B﹣30°，
∴∠B＝30°或∠B＝70°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质与方程组的解法．此题难度不大，解题的关键是掌握由∠A和∠B
的两边分别平行，即可得∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，注意分类讨论思想的应用．
9．如图，△ABC 沿着 BC 方向平移得到△A′B′C′，点 P 是直线 AA′上任意一点，若△ABC，
△PB′C′的面积分别为S ，S ，则下列关系正确的是（ ）
1 2
A．S ＞S B．S ＜S C．S ＝S D．S ＝2S
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】根据平行线间的距离相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形面积相
等即可得到答案．
【解答】解：
∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，∴AA′∥BC′，
∵点P是直线AA′上任意一点，
∴△ABC，△PB′C′的高相等，
∴S ＝S ，
1 2
故选：C．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的
线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
10．如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：
①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；
②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；
③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；
④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．
【解答】解：
①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；
②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；
③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣
∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．二、填空题
11．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°，∠1和∠2互为 对顶 角：∠1和∠4互为 邻
补 角；∠2和∠3互为 余 角；∠1和∠3互为 余 角；∠2和∠4互为 邻补 角．
【分析】依据对顶角、邻补角以及余角的定义进行判断即可．有一个公共顶点，并且一个角的两边分
别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．只有一条公共边，它
们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
【解答】解：直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°，∠1和∠2互为对顶角：∠1和∠4互为邻补角；
∠2和∠3互为余角；∠1和∠3互为余角；∠2和∠4互为邻补角．
故答案为：对顶，邻补，余，余，邻补．
【点评】本题主要考查了邻补角、对顶角以及余角的定义，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，
一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它
们都是在两直线相交的前提下形成的．
12．如图，有一个与地面成30°角的斜坡，现要在斜坡上竖起一根电线杆，设电线杆与斜坡所夹的角为
∠1，当∠1的度数为 60 ° 时，电线杆与地面垂直．
【分析】将∠1的一边延长，找∠1的对顶角与30°，90°的关系，再根据对顶角相等求∠1．
【解答】解：如图，要使CB⊥AB，则在△ABC中，∠CBA＝90°，
∴∠1＝∠ACB＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了垂线的定义，解答本题的关键是构造直角三角形，利用直角三角形的性质求
解．
13．如图，将网格中的三条线段AB、CD、EF沿网格线（水平和铅直方向）平移，使它们首尾相接构成
三角形，至少需要移动 7 格．【分析】要使平移的个数最少，可将它们朝同一个点共同移动，此时需要平移的格数最少．
【解答】解：如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，
根据平移的基本性质知：线段AB向右平移1格，再向下平移2格；
EF向上平移2格；
CD向左平移2格；
此时平移的格数最少为：2+2+2+1＝7
其它平移方法都超过7格，
故答案为：7．
【点评】本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移
前后物体的位置．
14．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：
① GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是
①②③④ ．
【分析】①由题意可得∠G＝∠MPG＝90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；
②由题意可得∠EFG＝30°，利用邻补角即可求∠EFN＝150°；
③过点F作FH∥AB，可得FH∥CD，从而得∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFH＝105°，再利用平
行线的性质即可求得∠BEF＝75°；
④利用角的计算可求得∠AEG＝∠PMN＝45°，∠GPM＝90，即可得出答案．
【解答】解：①由题意，∵∠G＝∠MPG＝90°，∴∠G＝∠MPG＝90°，
∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG＝30°，
∴EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③正确；
④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，
∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，
∵∠MNP＝45°，
∴∠AEG+∠MNP＝90°，
∵∠GPN＝180°﹣∠MPN＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AEG+∠MNP＝∠GPM，故④正确．
综上所述，正确的有4个．
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查平行线判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
15．如图，AB∥CD，P E 平分∠P EB，P F 平分∠P FD，若设∠P EB＝x°，∠P FD＝y°则∠P ＝
2 1 2 1 1 1 1
（ x + y ） 度（用x，y的代数式表示），若P E平分∠P EB，P F平分∠P FD，可得∠P ，P E平分
3 2 3 2 3 4
1
∠P EB，P F平分∠P FD，可得∠P …，依次平分下去，则∠P ＝ （ ） n ﹣ 1 （ x + y ） 度．
3 4 3 4 n
2
【分析】本题的关键是作过P 的辅助线MN∥AB，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归
1
纳推理思想解决本题．
【解答】解：（1）如图，分别过点P 、P 作直线MN∥AB，GH∥AB，
1 2∴∠P EB＝∠MP E＝x°．
1 1
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P FD＝∠FP M＝y°．
1 1
∴∠EP F＝∠EP M+∠FP M＝x°+y°．
1 1 1
（2）∵P E平分∠BEP ，P F平分∠DFP ，
2 1 2 1
1 1 1 1
∴∠BEP = ∠BEP = x°，∠DFP = ∠DFP = y°．
2 2 1 2 2 2 1 2
1 1 1
同理可证：∠EP F=∠BEP +DFP = x°+ y°= (x°+ y°)．
2 2 2 2 2 2
1 1 1
以此类推：P =( ) 2 (x°+ y°)，P =( ) 3 (x°+ y°)，...，P =( ) n−1 (x°+ y°)．
3 2 4 2 n 2
1
故答案为：（x+y），（ ）n﹣1（x+y）．
2
【点评】主要考查平行线的性质及角平分线的定义，利用归纳推理的思想解决．
三、解答题
16．按要求画图：
①画∠AOB＝60°；
②在∠AOB的内部作OC平分∠AOB；
③在射线OC上任取一点P，使OP＝4cm，过点P作OA、OB的垂线段，垂足分别为M、N；
④量得PM＝ 2 ，PN＝ 2 ．
【分析】①用量角器作出∠AOB＝60°即可；
②用量角器作出∠AOC＝30°，射线OC即为所求射线；
③在射线OC上任取一点P，使OP＝4cm，过点P作OA、OB的垂线段即可；
④量得PM、PN的长度填写即可求解．
【解答】解：（1））如图所示：
测量可得PM＝2，PN＝2．故答案为：2；2．
【点评】本题考查了复杂作图，主要涉及量角器和刻度尺的应用，是基础题．
17．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度
数．
【分析】先设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角的定义得2x+3x＝180°，解得x＝36°，则∠EOC＝2x
＝72°，根据角平分线定义得到∠AOC＝ ∠EOC＝ ×72°＝36°，然后根据对顶角相等得到∠BOD＝
∠AOC＝36°．
【解答】解：设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠EOC＝2x＝72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝ ∠EOC＝ ×72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
【点评】考查了角的计算，角平分线的定义和对顶角的性质．解题的关键是明确：1直角＝90°；1平
角＝180°，以及对顶角相等．
18．补全推理过程：
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点
G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴AD∥EF．（ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ）
∴∠2+∠EAD＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∵∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠1＝∠ EAD ．（同角的补角相等）
∴AE∥HG．（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠B＝∠BDH．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠B＝50°，（已知）
∴∠BDH＝50°．（等量代换）∵AD⊥BC，（已知）
∴∠ADB＝90°．（ 垂直的定义 ）
∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）
∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）
∵AD∥EF，（已证）
∴∠H＝∠1＝ 4 0 °．（ 两直线平行，同位角相等 ）
【分析】先证明 AD∥EF，得∠2+∠EAD＝180°，进而证明∠1＝∠EAD，得 AE∥HG，则∠B＝
∠BDH，再求出∠1＝40°，然后由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴AD∥EF．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）
∴∠2+∠EAD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠1＝∠EAD．（同角的补角相等）
∴AE∥HG．（内错角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠BDH．（两直线平行，内错角相等）
∵∠B＝50°，（已知）
∴∠BDH＝50°．（等量代换）
∵AD⊥BC，（已知）
∴∠ADB＝90°．（垂直的定义）
∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）
∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）
∵AD∥EF，（已证）
∴∠H＝∠1＝40°．（两直线平行，同位角相等）
故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EAD；
内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；40，两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及补角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解
题的关键．
19．如图，已知∠FEA＝∠EAF，AE平分∠CAF．
（1）求证：EF∥AC；
（2）若AC平分∠DAB，∠BAF与∠BAD互补，∠FEA﹣∠DAC＝50°，求∠F．【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定解答即可；
（2）题干条件没有给出任何一个具体角的度数，故可设其中一个角为x，用x表示其他的角，以
∠BAF与∠BAD互补为等量关系列方程来求解．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAF，
∴∠EAF＝∠EAC，
∵∠FEA＝∠EAF，
∴∠FEA＝∠EAC，
∴EF∥AC；
（2）解：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC＝∠BAC
设∠DAC＝∠BAC＝x，则∠DAB＝2x
∵∠FEA﹣∠DAC＝50°
∴∠FEA＝∠DAC+50°＝x+50°
∴∠EAF＝∠EAC＝∠FEA＝x+50°
∴∠BAF＝∠EAF+∠EAC+∠BAC＝x+50°+x+50°+x＝3x+100°
∵∠BAF与∠BAD互补
∴∠BAF+∠BAD＝180°
∴3x+100°+2x＝180°
解得：x＝16°
∴∠EAF＝∠FEA＝x+50°＝66°
∴∠F＝180°﹣∠FEA﹣∠EAF＝180°﹣66°﹣66°＝48°
【点评】本题考查了角平分线性质、平行线的判定．第（2）小题的解题关键为设一个角度为x，利用
方程思想来求解具体角度．
20．如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，
即可得出答案．
【解答】解：
过E作EF∥AD，交CD于F，
则∠ADE＝∠DEF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADE，
∴∠1＝∠DEF，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEF+∠FEC＝90°，
∴∠2＝∠FEC，
∵CE平分∠DCB，
∴∠2＝∠BCE，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴BC∥EF，
∴BC∥AD，
∵DA⊥AB，
∴BC⊥AB．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定
理进行推理是解此题的关键．
21．如图，AB∥CD，∠A＝∠BDC．
（1）求证：AE∥BD．
（2）若∠AEC的平分线交CD的延长线于点F，且∠BDC＝140°，∠F＝22°．求∠CEF的度数．【分析】（1）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠BDC+∠B＝180°，结合∠A＝∠BDC易
得∠A+∠B＝180°，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”证明结论即可；
（2）过点E作EG∥AB，易得∠A+∠AEG＝180°，进而解得∠AEG的值，再证明CD∥EG，由“两直
线平行，内错角相等”可得∠FEG＝∠F＝22°，进而求得∠AEF的值，然后根据角平分线的定义确定
∠CEF的度数即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BDC+∠B＝180°，
∵∠A＝∠BDC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AE∥BD；
（2）解：如图，过点E作EG∥AB，
∴∠A+∠AEG＝180°，
∵∠BDC＝∠A＝140°，
∴∠AEG＝180°﹣∠A＝40°，
∵AB∥CD，AB∥EG，∠F＝22°，
∴CD∥EG，
∴∠FEG＝∠F＝22°，
∴∠AEF＝∠AEG+∠FEG＝62°，
∵EF是∠AEC的平分线，
∴∠CEF＝∠AEF＝62°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线等知识，理解并掌握平行线的性质是解题关
键．
22．【发现问题】
如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射
后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．
【提出问题】
小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？【分析问题】
已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究．
【解决问题】
探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 ∠ AMP ＝∠ P + ∠ CNP ；如图③，已知
∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 14 5 °（不需要写解答过程）
利用探究一得到的结论解决下列问题：
如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条
射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数．
【分析】探究一：由平行线的性质推出∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP，得到∠BPN+∠DPN＝
∠ABP+∠CDP，即可解决问题；
探究二：如图②，由平行线的性质推出∠MKP＝∠CNP，由三角形外角的性质即可得到∠AMP＝
∠P+∠CNP；
如图③，由平行线的性质推出∠ALC＝∠C＝60°，求出∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°，由三角形外角
的性质得到∠BAE＝∠B+∠ALB＝145°；
如图④，由探究一的结论得到∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF，而∠P＝
1 1 1
2∠F，推出∠PMF= ∠AMP，又∠PME= ∠PMB，得到∠FME= ∠AMB＝90°．
2 2 2
【解答】解：探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下：
如图①，
∵AB∥MN∥CD，
∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP，
∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP，
∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP．
探究二：如图②，
∠AMP＝∠P+∠CNP，理由如下：∵AB∥CD，
∴∠MKP＝∠CNP，
∵∠AMP＝∠P+∠MKP，
∴∠AMP＝∠P+∠CNP．
如图③，延长EA交BC于L，
∵AE∥CD，
∴∠ALC＝∠C＝60°，
∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°，
∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°．
故答案为：∠AMP＝∠P+∠CNP，145．
∵射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，
1
∴∠PME= ∠PMB，∠CNF＝∠PNF，
2
如图④，
由探究一的结论得：∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF，
∵∠P＝2∠F，
∴∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF＝2∠AMF+2∠CNF，
∵∠CNF＝∠PNF，
∴∠AMF+∠PMF＝2∠AMF，
1
∴∠PMF＝∠AMF= ∠AMP，
2
1
∴∠PMF+∠PME= （∠AMP+∠PMB），
2
1 1
∴∠FME= ∠AMB= ×180°＝90°．
2 2
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BPD＝∠ABP+∠CDP，由此结论来解
决问题．
23．如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点
E．∠ADC＝70°．
（1）求∠EDC的度数；
（2）若∠ABC＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；
（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的
度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义即可求∠EDC的度数；
（2）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
（3）∠BED的度数改变．分三种情况讨论，分别过点 E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：
∠ABE＝ ∠ABC＝ n°，∠CDE＝ ∠ADC＝35°，然后根据平行线的性质即可得到∠BED的度数．
【解答】解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝70°，
∴∠EDC＝ ∠ADC＝ ×70°＝35°；
（2）过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝ ∠ABC＝ n°，∠CDE＝ ∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝ n°+35°；
（3）分三种情况：
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝ ∠ABC＝ n°，∠CDG＝ ∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠ABE＝ n°，∠CDG＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF＝ n°﹣35°．
如图所示，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝ ∠ABC＝ n°，∠CDE＝ ∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣ n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣ n°+35°＝215°﹣ n°．
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABG＝ ∠ABC＝ n°，∠CDE＝ ∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠ABG＝ n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF＝ n°﹣35°．
综上所述，∠BED的度数为 n°﹣35°或215°﹣ n°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：正确添加辅助线，及作出（3）中的图形．
