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期末培优检测一
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．单项选择（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）化简（x+4）（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）的结果是（ ）
A．2x2﹣8 B．2x2﹣x﹣4 C．2x2+8 D．2x2+6x
2．（3分）已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确
的有（ ）
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长
②长方形ABCD的长宽之比可能为2
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
2x−1
3．（3分）若分式 的值为正数，则x需满足的条件是（ ）
x2+3
1
A．x为任意实数 B．x＜
2
1 1
C．x＞ D．x＞−
2 2
4．（3分）下列运算中，错误的是（ ）
a ac
A． =
b bc
−a−b
B． =−1
a+b
0.5a+b 5a+10b
C． =
0.2a−0.3b 2a−3by−x x−y
D． =−
y+x x+ y
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（﹣2ab2）2＝4a2b4
C．（a3）2＝a5 D．3a3b2÷a3b2＝3ab
1
6．（3分）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，这时增加了
3
乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，如果乙队单独完成总工程需多少个月？设
乙队单独完成总工程共需x个月，则下列方程正确的是（ ）
1 1 1 1 1 1
A． + + =1 B． + + =1
3 2 x 3 6 x
1 1 1 1 1 1 1
C． + + =1 D． + ( + )=1
3 2 2x 3 2 3 x
7．（3分）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边
的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG周长为16，且GE＝1，则AC的
长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于
D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC＝2AE；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）计算：a﹣5b﹣3•ab﹣2＝ （要求结果用正整数指数幂表示）．
10．（3分）若a＝2019，b＝2020，则[a2（a﹣2b）﹣a（a﹣b）2]÷b2的值为 ．
11．（3分）分解因式：3x2+6x+3＝ ．
12．（3分）若m+n＝3，则2m2+4mn+2n2﹣4的值为 ．
b a
13．（3分）已知a+b＝5，ab＝3， + = ．
a b
14．（3分）北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营．小贝和小京分别从草桥和北京
站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：
出行方式 途径站点 路程
地铁 草桥﹣大兴新城﹣大兴机场 全程约43公里
公交 北京站﹣蒲黄榆﹣榴乡桥﹣ 全程约54公里
大兴机场
由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时
到达机场．若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程： ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，△ABC的面积为
12，则CD的长为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q
分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三．解答题（共11小题，满分92分）
17．（4分）分解因式：x2m+6xm+9m．18．（8分）计算：
（1）3a3b•（﹣2ab）+（﹣3a2b）2
（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2．
2a 2a−4 a−2
19．（4分）化简： − ÷ ．
a+1 a2−1 a2−2a+1
a b−x
20．（10分）已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5
（1）当a＝1，b＝0时，求分式方程的解；
a b−x
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解为整数时，求b的值．
2x+3 x−5
21．（10分）某校“数学社团”活动中，小亮对多项式进行因式分解．m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣
mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．
以上分解因式的方法叫做“分组分解法”，请你在小亮解法的启发下，解决下面问题：
（1）因式分解a3﹣3a2﹣9a+27；
（2）因式分解x2﹣4xy+4y2﹣16；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，判断△ABC的形状并说明理
由．
22．（8分）从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1800km，高铁开通后，高铁列车的行程约为
900km，运行时间比特快列车所用的时间减少了 16h．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速
度的2.5倍，求特快列车的平均速度．
23．（8分）如图，在△ABC中，已知AC＝BC，E是AB边上一点，BE＝BC，BD平分∠CBE，分
别交CE，AC于点D，F，连接EF．
（1）若∠ACB＝100°，求∠BEC和∠FEC的度数．
（2）若∠ACB＝90°，求证：AE＝CF．
24．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）．（1）若△A B C 与△ABC关于y轴成轴对称，则△A B C 三个顶点坐标分别为：A ，B
1 1 1 1 1 1 1 1
，C ；
1
（2）若P为x轴上一点，则PA+PB的最小值为 ；
（3）计算△ABC的面积．
25．（10分）已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，
E．
（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；
（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．
26．（10分）尺规作图及探究：
已知：线段AB＝a．
（1）完成尺规作图：
a
点P在线段AB所在直线上方，PA＝PB，且点P到AB的距离等于 ，连接PA，PB．在线段AB
2
上找到一点Q使得QB＝PB，连接PQ，并直接回答∠PQB的度数；
a
（2）若将（1）中的条件“点P到AB的距离等于 ”替换为“PB取得最大值”，其余所有条件
2
都不变，此时点 P 的位置记为 P′，点 Q 的位置记为 Q′，连接 P′Q′，并直接回答∠P′Q′B的度数．
27．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在
AD 的 右 侧 作 △ ADE ， 使 AD ＝ AE ， ∠ DAE ＝ ∠ BAC ， 连 接 CE ．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度；
（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝ 度；
（3）设∠BAC＝ ，∠BCE＝ ．
①如图3，当点Dα在线段BC上β 移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，请直接写出α ，β 之间的数量关系，不用证明．
α β
