第十二章全等三角形压轴题考点训练（解析版）_初中数学人教版_8上-初中数学人教版_旧版_07专项讲练_压轴必考八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

第十二章 全等三角形压轴题考点训练 1．已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（ ） A．40° B．50° C．55° D．60° 【答案】B 【详解】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W， ∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB， ∴FZ=FW， 同理FW=FY， ∴FZ=FY． ∵FZ⊥AE，FY⊥CB， ∴∠FCZ=∠FCY， ∵∠AFB=40°， ∴∠ACB=80°， ∴∠ZCY=100°， ∴∠BCF=50°． 故选B． 2．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）A．180° B．200° C．210° D．240° 【答案】A 【详解】解：过 点作 于 ，如图， 是 的角平分线， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ． 故选：A． 3．如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE,且AB+AC=BE，则∠B的大小是（ ） A．42° B．44° C．46 ° D．48° 【答案】D 【详解】如图，延长BA到F，使AF=AC，连接EF，∵AB+AC=BE， ∴AB+AF=BE，即BF=BE， ∴∠F=∠BEF= ， ∵AD⊥AE，∴∠DAE=90°， ∵∠BAD=∠DAC=9°， ∴∠FAE=180°-（∠BAD+∠DAE）=180°-（9°+90°）=81°， ∠CAE=∠DAE-∠DAC=90°-9°=81°， ∴∠FAE=∠CAE， 在△AFE和△ACE中， ，∴△AFE≌△ACE（SAS），∴∠F=∠ACE， 又∵∠ACE为△ABC的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+18°，∴∠F=∠B+18°， ∴∠B+18°= ，解得∠B=48°． 故选D. 4．如图，在 中， ， ， 平分 ， 于 ，若 ，则 为 ______． 【答案】4【详解】解：延长BA，CE交于点F， ∵∠BAC＝90°， ， ∴∠BAC=∠BEC=∠FAC， ∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°， ∵∠ADB=∠CDE， ∴∠ABD＝∠ACF， 在△ABD和△ACF中 ∴△ABD≌△ACF， ∴BD＝CF=8， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵CE⊥BD， ∴∠BEF＝∠BEC＝90° 在△BEF和△BEC中 ∴△BEF≌△BEC， ∴EF＝EC， ∴EC CF=4． 故答案为：45．如图， 为等腰 的高，其中 分别为线段 上的动点，且 ，当 取最小值时， 的度数为_____． 【答案】 【详解】解：如图1，作 ，且 ，连接 交 于M，连接 ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ∴当F为 与 的交点时，如图2， 的值最小， 此时 ， ， 故答案为： ．6．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边 BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______． 【答案】 【详解】作FH垂直于FE，交AC于点H， ∵ 又∵ ， ∴ ∵ ，FA=CF ∴ ∴FH=FE ∵ ∵ ∴ 又∵DF=DF ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ，故答案为： ．7．如图，在 中， ，BD平分 ，E是AB上一点，且 ，连接DE，过E 作 ，垂足为F，延长EF交BC于点G．现给出以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【详解】 ∵BD平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴ ,故①正确； 过D作DM⊥AB， ∵ ， ∴ ， 又∵BD平分 ， ∴ ， 在 中： ， ∴ ，故②说法错误； ∵ ，∴ ， 在四边形CDFG中 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ，故③正确； 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故④正确． 故答案为：①③④． 8．如图，三角形ABC中，BD平分 ，若 ，则 _______． 【答案】8 【详解】解：如图，延长AD交BC与点E， ∵BD平分 ∴∵BD=BD ∴ ∴AB=BE ∴ ∵ ∴ ∴ ∵AD=DE， ∴ ∴ 故答案为：8． 9．如图，在 和 中， ， ， ， ，以点 为顶点作 ，两边分别交 ， 于点 ， ，连接 ，则 的周长为______． 【答案】4 【详解】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=140°， ∴∠DBC=∠DCB=20°， ∵∠A=40°，AB=AC=2， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°， 同理可得∠NCD=90°， ∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°， 在△BDM和△CDE中， ， ∴△BDM≌△CDE（SAS）， ∴MD=ED，∠MDB=∠EDC， ∴∠MDE=∠BDC=140°， ∵∠MDN=70°， ∴∠EDN=70°=∠MDN， 在△MDN和△EDN中， ， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN=EN=CN+CE， ∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4； 故答案为：4． 10．（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【详解】（1）如图，延长 至点E，使 ． ∵AD为中线， ∴ ． ∴在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵在 中， ， ∴ ． （2）如图，延长 至点G，使 ，连接CG，EG． ∵AD为中线， ∴ ． ∴在 和 中， ，∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵在 中， ， ∴ ． 11．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求 BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使 DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： （用字母表示）； 问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程； 拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝ 90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长． 【答案】问题背景： SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6． 【详解】问题背景：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS； 问题解决：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD， 在△ADC≌△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∵AB＝4，AC＝3， ∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7， ∵DE＝AD， ∴AD＝ AE， ∴ ＜AD＜ ； 拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，由问题背景知，△BMN≌△CMA（SAS）， ∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM， ∴AC//BN， ∵AC＝AD， ∴BN＝AD， ∵AC//BN， ∴∠BAC+∠ABN＝180°， ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD＝180°， ∴∠ABN＝∠EAD， 在△ABN和△EAD中， ， ∴△ABN≌△EAD（SAS）， ∴AN＝DE， ∵MN＝AM， ∴DE＝AN＝2AM， ∵AM＝3， ∴DE＝6． 12．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC 上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．(1)当∠A＝80°时，求∠EDC的度数； (2)求证：CF＝FG＋CE． 【答案】(1) ；(2)证明见解析 【解析】（1）解：在△ABC中，∵∠A＝80°， ∴ ， ∠ABC、∠ACB的平分线交于点D， ， ， ∠EDC=∠DBC+∠DCB ； （2） 解：在线段 上取一点 ，使 ，连接 ，如图所示： 平分 ， ， 在 和 中，， ， ， ， ， 为 的一个外角， ， 为 的一个外角， ， 平分 ， ， ， ∠A＝2∠BDF， 在 和 中， ， ， ， ， ． 13．如图，ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分 BC ，DE⊥ AB 于 E ，DF ⊥ AC于 F ． （1）说明 BE  CF 的理由； （2）如果 AB  5 ， AC  3 ，求 AE 、 BE 的长．【答案】（1）见解析；（2） BE  1 ， AE  4 ． 【详解】（1）证明：连接BD，CD， AD平分BAC，DEAB，DFAC，  DEDF，BEDCFD90， DGBC且平分BC，  BDCD， 在RtBED与RtCFD中， RtBED≌RtCFD(HL)， BECF； （2）解：在AED和AFD中， AED≌AFD(AAS)， AEAF， 设BEx，则CFx， AB5，AC3，AEABBE，AFACCF，  5x3x，解得：x1， BE1，AEABBE514．14．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形， ， ， ∥ ， ∥ 点E是边BC的中点． ，且EF交正方形外角 的角平分线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证 ，所以 ． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一 点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF” 仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 【答案】（1）正确．证明见解析；②正确.证明见解析. 【详解】试题分析：（1）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，根据已知条件利用ASA判定 AME≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF． △（2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定 ANE≌△ECF，因为全等三角 形的对应边相等，所以AE=EF． △ 试题解析：（1）正确． 证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME． ∴BM=BE，∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵CF是外角平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°， ∴∠AME=∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF． （2）正确． 证明：在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE． ∴BN=BE， ∴∠N=∠NEC=45°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠FCE=45°， ∴∠N=∠ECF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BE， ∴∠DAE=∠BEA， 即∠DAE+90°=∠BEA+90°， ∴∠NAE=∠CEF， ∴△ANE≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF． 15．如图，在 ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O． △(1)求证： ． (2)如图1，若∠A=60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系． (3)如图2，∠A=90°，F是ED的中点，连接FO． ①求证：BC−BE−CD=2OF． ②延长FO交BC于点G，若OF=2， DEO的面积为10，直接写出OG的长． 【答案】(1)见解析；(2)BE+CD=BC，△；(3)①见解析；② 【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB， ∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB) =180°− (∠ABC+∠ACB) =180°− (180°−∠A) = ∠A+90°； （2）解：BE+CD=BC． 在BC上截取BM=BE，连接OM，如图： ∵∠BOC= ∠A+90°=120°， ∴∠BOE=60°，∵BD平分∠ABC， ∴∠EBO=∠MBO， ∴ BOE≌△BOM， ∴△∠BOE=∠BOM=60°， ∴∠MOC=∠DOC=60°， ∵OC为∠DCM的角平分线， ∴∠DCO=∠MCO， 在 DCO与 MCO中， △ △ ， ∴△DCO≌△MCO （ASA）， ∴CM=CD， ∴BC=BM+CM=BE+CD； （3）①证明：如图，延长OF到点M，使MF=OF，连接EM， ∴OM=2OF． ∵F是ED的中点， ∴EF=DF， ∵∠DFO=∠EFM， ∴ ODF≌ MEF(SAS)， ∴△OD=EM．△ 过点O作CE，BD的垂线，分别交BC于点K，H， ∴∠OCK+∠OKC=90°． ∵∠A=90°， ∴∠ACE+∠AEC=90° ∵∠ACE=∠OCK，∴∠AEO=∠OKC， ∴∠BEO=∠BKO， ∴ OBE≌ OBK(AAS)， 同△理可得△ODC≌ OHC， ∴EO=OK，△OD=O△H=EM，BE=BK，CD=CH． 由（1）可知∠DOE=∠BOC= ×90°+90°=135°， ∴∠BOE=∠COD=45°， ∴∠OEM=∠KOH=45°， ∴ OME≌ KHO， ∴△KH=OM，△ ∴KH=2OF． ∵BC−BK−CH=KH=2OE， ∴BC−BE−CD=KH=2OF； ②解：∵ OME≌ KHO， ∴∠EOM=△∠OKH，△ ∴FG⊥BC． 由①可知KH=2OF=4， ODF≌ MEF， ∴S DEO=S OME=S K△HO=10△， △ △ △ ∴KH×OG× =10， ∴OG=5．