文档文本内容
hthttp://taourl.com/o1adntp://taourl.com/o1adn
如何进行多项式除以多项式的运算
多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现
举例说明如下：
例1 计算
规范解法
∴
解法步骤说明：
（1）先把被除式 与除式 分别按字母的降幂排列好．
（2）将被除式 的第一项 除以除式 的第一项 ，得 ，
这就是商的第一项．
（3）以商的第一项 与除式 相乘，得 ，写在 的下面．
（4）从 减去 ，得差 ，写在下面，就是被除式去掉
后的一部分．
（5）再用 的第一项 除以除式的第一项 ，得 ，这是商的第二
项，写在第一项 的后面，写成代数和的形式．
（6）以商式的第二项5与除式 相乘，得 ，写在上述的差 的下
面．
（7）相减得差0，表示恰好能除尽．
（8）写出运算结果，
例2 计算 ．
规范解法
教育网址 1hthttp://taourl.com/o1adntp://taourl.com/o1adn
∴
……………………………余 ．
注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除
式的次数．
另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．
∴
……………………………余 ．
8．什么是综合除法？
由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次
式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．
如：计算 ．
教育网址 2hthttp://taourl.com/o1adntp://taourl.com/o1adn
因为除法只对系数进行，和 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．
还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意
到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可
以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就
简化成了算式（30的形式：
将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换
成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个
数是商式的系数，末尾一个数是余数．
多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项
系数为1．
例1 用综合除法求 除以 的商式和余式．
规范解法
∴ 商式 ，余式＝10．
例2 用综合除法证明 能被 整除．
规范证法 这里 ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除
式按降幂排列，缺项补0．）
因余数是0，所以 能被 整除．
当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合
除法．．
例3 求 除以 的商式和余数．
教育网址 3hthttp://taourl.com/o1adntp://taourl.com/o1adn
规范解法 把 除以2，化为 ，用综合除法．
但是，商式 ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，
应当除以2才是所求的商式；余数没有变．
∴ 商式 ，余数 ．
为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．
用 除以 ，得商式 ，余数为 ，即
∴
．
即 除以 的商式 ，余数仍为 ．
教育网址 4
