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门头沟区 2025 年高三年级综合练习
数学
2025.3
本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
.
1 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
4. “ ”是“直线 与双曲线 只有一个公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C. 5 D. 10
6. 已知圆 ，直线 ，当 变化时，若过直线 上任意一点总能作圆 的切线，则
的最大值为（ ）A. 0 B. C. 1 D.
7. 已知函数 ，满足 ，且 在区间 上具有单调性，则
的
值可以是（ ）
A. B. C. D.
8. 某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥 ， ，底面 是等腰直
角三角形， ，顶点 到底面 的距离为3，则点 到平面 的距离为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数 ，若 既不存在最大值也不存在最小值，则下列
， 关系中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，例如 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A. 不存在 ，使得 有无数个零点 B. 有3个零点的充要条件是C. 存在 ，使得 有4个零点 D. 存在 ，使得 有5个零点
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 的展开式中 的系数为______________.（用数字作答）
12. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 且垂直于其对称轴的直线交 于点 ， ，
若 ，则焦点到其准线的距离为_________________.
13. 在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为 ，写出一个符合
题意的 _______________.
14. 某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源
汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年
增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了_____________万个充电桩；
从第1年起，约_____________年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个
位）.
（参考数据： ， ）
15. 已知数列 满足 ， ，给出下列四个结论：
①存在 ，使得 为常数列；
②对任意的 ， 为递增数列；
③对任意的 ， 既不是等差数列也不是等比数列；
的
④对于任意 ，都有 .
其中所有正确结论的序号是_______________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，在正方体 中， 为 中点， 与平面 交于点 .（1）求证： 为 的中点；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一确定，
求 的面积.
条件①： ， ；
条件②： ， ；
条件③： 边上的高 ， .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
18. 不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对 两款不同AI
大模型 是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
款 40人 80人 60人 20人
款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对 ， 两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率，
（1）分别估计该校甲学院学生使用 款大模型的概率、该校乙学院学生使用 款大模型的概率；
（2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用 款大模型 的人数为 ，估计 的数学期望 ；
（3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用 款大模型的人数为 ，其方差估计值为
，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用 款大模型的人数为 ，其方差估计值
为 ，比较 与 的大小，（结论不要求证明）.
19. 已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 分别与 轴交于点
， ，点 关于 轴的对称点为 ，求证：四边形 为菱形.
20. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，讨论函数 的单调性；
（3）若 在定义域上单调递减，求 的取值范围.
21. 已知有限数列 ，其中 ， .在 中选取若干项按照一定
次序排列得到的数列称为 的一个子列，对某一给定正整数 ，若对任意的 ，均存在
的相应子列，使得该子列的各项之和为 ，则称 具有性质 .
（1）判断 ： ， ， ， ， ， ， 是否具有性质 ？说明理由；
（2）若 ，是否存在 具有性质 ？若存在，写出一个 ，若不存在，说明理由；（3）若 ，且存在 具有性质 ，求 的取值范围.
