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潞河中学 2023-2024 高三第三次模拟试卷
数学
2024.5
本试卷共2页，150分.考试时长120分钟．考生务必将选择题答案涂在答题卡上，非选择题
答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1. 已知 为整数集， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 记等差数列 的前n项和为 .若a =7， ，则 （ ）
5
.
A 49 B. 63 C. 70 D. 126
3. 若 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
4. 若 ，则 （ ）
A. 80 B. C. 40 D. 81
5. 已知 ， ，则“ ”是“a+b>2”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数 在区间 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）A. B. C. D.
7. 已知 ， ， 在 上的投影向量为 ，则向量 与 夹角余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知等轴双曲线的渐近线与抛物线 的准线交于 两点，抛物线焦点为 ，
的面积为4，则的 长度为（ ）
A. 2 B. C. D.
9. 已知函数 （ ， ）的图象在y轴上的截距为 ， 是该函数的最小
正零点，则（ ）
A.
B. 恒成立
C. 在 上单调递减
D. 将 的图象向右平移 个单位，得到的图象关于y轴对称
10. 在平面直角坐标系 中，已知 为圆 上动点，则
的最小值为（ ）
A. 34 B. 40 C. 44 D. 48
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知随机变量 ， ，且 ， ，则 ________．12. 已知 ， ， ，则三者大小关系为________（按从小到大顺序）
13. 已知过点 的直线（不过原点）与圆 相切，且在 轴、 轴上的截距相等，
则 的值为______.
14. 已知函数 的值域是 ，若 ，则m的取值范围是________．
15. 若数列{b }、 均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得 ，则称
n
数列{b }为数列 的“M数列”．已知数列 的前n项和为 ，则下列结论中正确的是________．
n
①存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
②存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
③存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
④存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中，内角 ， ， 所对 边分别为 ， ， .已知 .
的
（1）求角 的大小；
（2）设 ， ，求 的值.
17. 如图，在三棱锥 中， ， ，∠CAB=60°， .
（1）证明：平面 平面 ；（2）若 ， ，求二面角 的平面角的正切值.
18. 某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规
定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A
的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的
个数，具体数据如下表：
10
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日
日
元件A个
9 15 12 18 12 18 9 9 24 12
数
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
日期
日 日 日 日 日 日 日 日 日 日
元件A个
12 24 15 15 15 12 15 15 15 24
数
从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．
（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若a，b ，且b-a=6，求 最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过
4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（2）求证：当 时，关于 的不等式 在区间 上无解．（其中 ）
20. 已知椭圆 的上、下顶点为 、 ，左焦点为 ，定点 ，．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作斜率为 （ ）的直线 交椭圆 于另一点 ，直线 与 轴交于点 （ 在 ，
之间），直线 与 轴交于点 ，若 ，求 的值．
的
21. 约数，又称因数．它 定义如下：若整数a除以整数m（ ）除得的商正好是整数而没有余数，
我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a有k个正约数，即为 ， ， ， ，（ ）．
⋯
（1）当 时，是否存在 ， ，…， 构成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，
若不存在请说明理由；
（2）当 时，若 ， ， 构成等比数列，求正整数a．
⋯
（3）当 时，若 ， ，…， 是a的所有正约数的一个排列，那么 ， ， ， ，
⋯
是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
