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通州区 2024 年高三年级模拟考试
数学试卷
2024年4月
本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
3. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. 60 B. 120 C. 180 D. 240
4. 下列函数中，是奇函数且在区间 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在梯形ABCD中， ， ， ，则 （ ）
A. B. 8 C. 12 D.
6. 在平面直角坐标系xOy中，角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
，则 （ ）.
A B. C. D.
7. 已知圆心为C的圆 与双曲线E： （ ）交于A，B两点，且
，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为
（ ，且 ），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是 ， ， ，则 ．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 已知等差数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 已知函数 ， ，若关于x的方程 恰有
3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知函数 的定义域为____________．
12. 已知点 为抛物线 上一点，则点P到抛物线C的焦点的距离为
____________．
13. 已知数列 为等比数列， ， ，则 ____________；数列 的前4项和为
____________．
14. 已知的数 （ ），若 的最小正周期为 ， 的图象向左平移 个
单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，则
____________；若 在区间 上有3个零点，则 的一个取值为____________．
15. 如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几
何体，点G是圆弧 的中点，点H是圆弧 上的动点， ，给出下列四个结论：
①不存在点H，使得平面 平面CEG；
②存在点H，使得 平面CEG；
③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于 ；
④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为 ．
其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，几何体ABCDE中， ，四边形ABDE是矩形， ，点F为CE的中点，
， ．
（1）求证： 平面ADF；
（2）求平面BCD与平面ADF所成角的余弦值．
17. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
的
（2）若 ， ， 为 边上 一点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择
一个作为已知，求 的面积．
条件①； ；
条件②： ．
18. 随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越重视．为了解人们的健康情况v某地区一体检机
构统计了 年 岁到 岁来体检的人数及年龄在 ， ， ， 的体检
人数的频率分布情况，如下表．该体检机构进一步分析体检数据发现： 岁到 岁（不含 岁）体检人群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如图．
年龄 频
组别
（岁） 率
第一
组
第二
组
第三
组
第四
组
注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等 余种常见健康问题．
（1）根据上表，求从 年该体检机构 岁到 岁体检人群中随机抽取 人，此人年龄不低于 岁
的频率；
（2）用频率估计概率，从 年该地区 岁到 岁体检人群中随机抽取 人，其中不低于 岁的人
数记为 ，求 的分布列及数学期望；
（3）根据图的统计结果，有人认为“该体检机构 年 岁到 岁（不含 岁）体检人群健康问题
个数平均值一定大于 个，且小于 个”．判断这种说法是否正确，并说明理由．
.
19 已知函数 ， ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求 的单调区间；（3）在（2）的条件下，若对于任意 ，不等式 成立，求a的取值范围．
20. 已知椭圆 ： （ ）的长轴长为4，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于 两点（不与左右顶点重合），点 在 轴正半轴
上，直线 交 轴于点P，直线 交 轴于点 ，问是否存在 ，使得 为定值？若存在，求出
的值及定值；若不存在，请说明理由．
21. 从数列 中选取第 项，第 项， ，第 项（ ），若数列 ， ， ，
是递增数列或递减数列（规定 时，该数列既是递增数列，也是递减数列），称 ， ， ， 为
数列 的长度为m的单调子列.已知有穷数列A： ， ， ， （ ），任意两项均不相同，现
以A的每一项 为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有 项，则 ， ， ， 构成一个新
数列B.
（1）当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；
（ⅰ）1，3，5，7；
（ⅱ）4，1，2，6，3.
（2）若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；
（3）若数列A共有（）项，求证：A必存在一个长度为的单调子列.
