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通州区 2021-2022 学年高三年级第一次模拟考试
数学试卷
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
.
A 60 B. 70 C. 120 D. 140
4. 在ABC中，已知 ， ， ，则 （ ）
△
A. 1 B. C. 2 D. 3
5. 若a， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9
枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上
项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按 ， ， ， ， 分组，
分别得到频率分布直方图如下：估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是 和 ，方差分别是
和 ，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 设 是抛物线 上的一点， 是抛物线的焦点， 是坐标原点，若 ，则
（ ）
A. B. C. D.
8. 太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为 ，
为此时太阳直射点纬度， 为当地纬度值，那么这三个量满足 ．通州区某校学生科技
社团尝试估测通州区当地纬度值（ 取正值），选择春分当日（ ）测算正午太阳高度角．他们将长
度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结
果如下：
组别 甲组 乙组 丙组 丁组
木杆影长度（米） 0.82 0.80 0.83 0.85
则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（ ）
A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组
9. 已知直线l： 和圆C： ，若存在三点A，B，D，其中点A在直线l上，点
B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.10. 已知函数 ，其中 ，且 ．给出下列三个结论：
①函数 是单调函数；
②当 时，函数 的图象关于直线 对称；
③当 时，方程 根的个数可能是1或2．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在 的展开式中， 的系数是__________．
12. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，则 __________．
13. 幂函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，能够使
是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．
14. 在矩形ABCD中， ， ，点P在AB边上，则向量 在向量 上的投影向量的长度
是_____， 的最大值是__________．
15. 如图，在棱长为2的正方体 中，点E，F，G分别是棱BC， ， 的中点，点
P为底面 上任意一点．若P与 重合，则三棱锥E-PFG的体积是____；若直线BP与平面EFG
无公共点，则BP的最小值是__________．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形， ， ． 为等边三角形，平面
的
平面ABCD，E为AD 中点．
（1）求证： ；
（2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．
17. 已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求 的值；
（2）从下面四个条件中选择两个作为已知，求 的解析式，并求其在区间 上的最大值和最
小值．
条件①： 的值域是 ；
条件②： 在区间 上单调递增；
条件③： 的图象经过点 ；
条件④： 的图象关于直线 对称．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
18. 某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位
就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲员工 30天 20天 40天 10天
乙员工 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（1）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐
的概率；
（2）记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 ；
（3）试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说
明理由．
19. 已知函数 ， ．
（1）当 时，求曲线 在点 处 的切线方程；
（2）若函数 的最小值是2，求a的值；
（3）设t为常数，求函数 的单调区间．
20. 已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，B， ，离心率为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点D为线段AB上的动点，过D作线段AB的垂线交椭圆C于不同的两点E和F，N为线段AE上一
点， ．是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明
理由．
21. 从一个无穷数列 中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为 的一个无穷递增子列．已知数列 是正实数组成的无穷数列，且满足 ．
（1）若 ， ，写出数列 前 项的所有可能情况；
（2）求证：数列 存在无穷递增子列；
（3）求证：对于任意实数 ，都存在 ，使得 ．
