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昌平区 2022 年高三年级第二次统一练习
数学试卷
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将答题卡收回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 设复数z满足 ，则z= （ ）
A. -1+i B. -1-i C. 1+i D. 1-i
3. 为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得
了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照
分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（ ）
A. B. C. D.
4. 记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）A. B. C. D.
5. 已知双曲线 的焦距为 ，其右焦点到双曲线 的一条渐近线的距离为 ，则
双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. “ ”是“函数 在区间 上单调递减”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 如图，在正四棱柱 中， 是底面 的中心， 分别是 的中点，则
下列结论正确的是（ ）
A. //
.
B
C. //平面
D. 平面
8. 已知直线 与圆 相交于两点 ，当 变化时， 的面积的最
△
大值为（ ）A. B. C. D.
的
9. 已知函数 ，则关于 不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
10. 在 中， 只需添加一个条件，即可使 存在且唯一.条件：① ；
△ △
② ；③ 中，所有可以选择 条件的序号为（ ）
的
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
的
11. 抛物线 准线方程为__________．
12. 展开式中常数项为___________（用数字作答）.
13. 已知 是△ 的边 的中点， ， ，则 ______；
______
14. 若函数 有且仅有两个零点，则实数 的一个取值为______.
15. 刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个
螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形 ，取正三角形
各边的三等分点 ，得到第一个阴影三角形 ；在正三角形 中，再取各边的
三等分点 ，得到第二个阴影三角形 ；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则
______;图中螺旋形图案的面积为______.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
的
16. 如图，在棱长为 正方体 中，点 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小；
（3）求点 到平面 的距离.
17. 已知函数 ，且 的最小正周期为 ，再从条件①、条件
②、条件③中选择两个作为一组已知条件.
（1）求 的解析式；
（2）设 ，若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值．
条件①： 的最小值为 ；
条件②： 的图象经过点 ；
条件③；直线 是函数 的图象的一条对称轴.
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18. 某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二
等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上
随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.
产品等级 优等品 一等品 二等品 普通品
样本数量（件） 30 50 60 60
（1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；
（2）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为 ，用频率估计概率，求
随机变量 的分布列和数学期望;
（3）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.
设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为 ，比较 的大小.（请直接写出结论）
19. 已知椭圆 的离心率为 ，上下顶点分别为 ，且 .过点
的直线与椭圆 相交于不同的两点 （不与点 重合）.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与直线 相交于点 ，求证： 三点共线.
20. 已知函数 ， .
（1）若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，求实数 的值；
（2）若函数 无零点，求实数 的取值范围；
（3）当 时，函数 在 处取得极小值，求实数 的取值范围.
21. 已知数列 ，给出两个性质：
①对于任意的 ，存在 ，当 时，都有 成立；②对于任意的 ，存在 ，当 时，都有 成立．
（1）已知数列 满足性质①，且 ， ，试写出 的值；
（2）已知数列 的通项公式为 ，证明：数列 满足性质①；
（3）若数列 满足性质①②，且当 时，同时满足性质①②的 存在且唯一.证明：数列
是等差数列．
