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2022 北京朝阳高三一模
数学
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
.
1 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
2. 直线 被圆 截得的弦长为（ ）
.
A 1 B. C. 2 D.
3. 已知平面向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C. D. 3
4. 设 ，若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，若 ，则实数 的值为（ ）
.
A B. C. 1 D. 2
6. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知三棱锥 ，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶
点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
8. 已知数列 ，若存在一个正整数 使得对任意 ，都有 ，则称 为数列 的周期.若四个数列分别满足：
① ， ；
② ， ；
③ ， ， ；
④ ， .
则上述数列中，8为其周期的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工
业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为
，上口半径为 ，下口半径为 ，高为 .在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的
平面直角坐标系，设 ， ， ， ，则双曲线的方程近似为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A. B. C. D.
10. 在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示， ， ， 两两垂直， （单位：
），小明同学计划通过侧面 内任意一点 将木块锯开，使截面平行于直线 和 ，则该截面面积（单位： ）的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.
11. 计算 ________．
12. 已知数列 是首项为3，公比为 的等比数列， 是其前 项的和，若 ，则
___________； ___________.
13. 已知直线 和 是曲线 的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个
的值是___________.
14. 某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为 的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一
块三角形绿地 ，其中 在 上， ，垂足为 ， ，垂足为 ，设
，则 ___________（用 表示）；当 在 上运动时，这块三角形绿地的最
大面积是___________.15. 在平面直线坐标系 中，设抛物线 ： 的焦点为 ，直线 ： 与抛物线 交
于点 ，且点 在 轴上方，过点 作抛物线 的切线与抛物线 的准线交于点 ，与 轴交于点 .给
出下列四个结论：
① 的面积是 ；
②点 的坐标是 ；
③在 轴上存在点 使 ；
④以 为直径的圆与 轴的负半轴交于点 ，则 .
其中所有正确结论的序号是___________.
三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
（1）求 ；
（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使 存在且唯一确定，求
的面积.
条件①： ；条件②： ；条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解
答计分.
17. 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组： ，
， ， ， ， ，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
（2）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用 表示其成绩在 中的人数，
求 的分布列及数学期望；
（3）在（2）抽取的3人中，用 表示其成绩在 的人数，试判断方差 与 的大小.（直
接写结果）
18. 如图1，在四边形 中， ， ， ， ， ， 分别是
， 上的点， ， ， ， .将 沿 折起到 的位
置，得到五棱锥 ，如图2.
（1）求证： 平面 ；（2）若平面 平面 ，
（i）求二面角 的余弦值；
（ii）对线段 上任意一点 ，求证：直线 与平面 相交.
19. 已知 ， .
（1）若曲线 在点 处的切线与 轴重合，求 的值；
（2）若函数 在区间 上存在极值，求 的取值范围；
（3）设 ，在（2）的条件下，试判断函数 在区间 上的单调性，并说明理由.
20. 已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程和离心率；
（2）过点 且与 轴不重合的直线 与椭圆 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，点 满足
轴， 轴，试求直线 的斜率与直线 的斜率的比值.
21. 对非空数集 ， ，定义 与 的和集 .对任意有限集 ，记 为集
合 中元素的个数.
（1）若集合 ， ，写出集合 与 ；
（2）若集合 满足 ， ，且 ，求证：数列 ， ，
， 是等差数列；
（3）设集合满足，，且，集合（，），求证：存在集合满足且.
