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西城区高三模拟测试试卷
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知双曲线的焦点分别为 ， ， ，双曲线上一点 满足 ，则该双曲线的
离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
3. 已知 为等差数列，首项 ，公差 ，若 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 下列函数中，与函数 的奇偶性相同，且在 上有相同单调性的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直线 与圆 ： 交于 ， 两点，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 26. 已知 是单位向量，向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数 ， ，那么“ ”是“ 在 上是增函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知 ，记关于 的方程 的所有实数根的乘积为 ，则 （ ）
A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值
C. 既有最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值
9. 若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
的
10. 如图为某商铺 、 两种商品在2022年前3个月 销售情况统计图，已知 商品卖出一件盈利20
元， 商品卖出一件盈利10元.图中点 、 、 的纵坐标分别表示 商品2022年前3个月的销售量，
点 、 、 的纵坐标分别表示 商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确
的是（ ）①2月 、 两种商品的总销售量最多；
②3月 、 两种商品的总销售量最多；
③1月 、 两种商品的总利润最多；
④2月 、 两种商品的总利润最多.
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 二项式 的展开式中 的系数为21，则 __________.
12. 已知复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ，则 为__________.
的
13. 已知抛物线 焦点为 ，准线为 ，则焦点到准线的距离为___________；直线
与抛物线分别交于 、 两点（点 在 轴上方），过点 作直线 的垂线交准线 于点
，则 __________.
14. 已知数列 是首项为16，公比为 的等比数列， 是公差为2的等差数列.若集合
中恰有3个元素，则符合题意的 的一个取值为__________.
15. 已知四棱锥 的高为1， 和 均是边长为 的等边三角形，给出下列四个结论：
①四棱锥 可能为正四棱锥；②空间中一定存在到 ， ， ， ， 距离都相等的点；
③可能有平面 平面 ；
④四棱锥 的体积的取值范围是 .
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中， .
（1）求 的大小；
（2）若 ，证明： .
17. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价
包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公
布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设
置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男
生和女生选考乒乓球的比例分别为 和 ，选考1分钟跳绳的比例分别为 和 .假设选考项目
中所有学生选择每一项相互独立.
的
（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球 概率；
（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分
钟跳绳的概率；
的
（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球 男生有60人得8
分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模
拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为 ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为
，试比较 与 的大小.（结论不需要证明）
18. 如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为4的菱形， ，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面 与棱 交于点E.
（1）求证： ；
（2）若 ，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面
所成角的正弦值.条件①：平面 平面 ；条件②： ；条件③：
.
19. 已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）当 时，
①求证： 有唯一的极值点 ；
②记 的零点为 ，是否存在 使得 ？说明理由.
20. 已知椭圆 ： 的左顶点为 ，圆 ： 经过椭圆 的上、下
顶点.
（1）求椭圆 的方程和焦距；（2）已知 ， 分别是椭圆 和圆 上的动点（ ， 不在坐标轴上），且直线 与 轴平行，线段
的垂直平分线与 轴交于点 ，圆 在点 处的切线与 轴交于点 .求线段 长度的最小值.
21. 已知数列 ： ， ，…， ，其中 是给定的正整数，且 .令 ，
， ， ， ，
.这里， 表示括号中各数的最大值， 表示括号中各数的最小值.
（1）若数列 ：2，0，2，1，-4，2，求 ， 的值；
（2）若数列 是首项为1，公比为 的等比数列，且 ，求 的值；
（3）若数列 是公差 的等差数列，数列 是数列 中所有项的一个排列，求 的所有
可能值（用 表示）.
