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昌平区 2022 年高三年级第二次统一练习
数学试卷
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将答题卡收回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集的定义运算即得.
【详解】∵ ，
∴ .
故选：A.
2. 设复数z满足 ，则z= （ ）
A. -1+i B. -1-i C. 1+i D. 1-i
【答案】A
【解析】
【分析】
详解】由 得 = ，故选A.
【
【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复
数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.3. 为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得
了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照
分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率分布直方图可知样本频率，由样本频率来估计总体的概率，概率乘以总量即为所求.
【详解】由频率分布直方图可知:数据落在 的频率为 ，故该
社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为
故选:D
4. 记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式的基本运算求解.
【详解】解：设等差数列 的公差为d，
因为 ，所以 ，
解得 ，
所以 ，
故选：B
5. 已知双曲线 的焦距为 ，其右焦点到双曲线 的一条渐近线的距离为 ，则
双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由焦距可得 ，写出右焦点坐标，结合点线距离公式列方程求a、b关系，即可得渐近线方程.
【详解】由题设 则 ，可知：右焦点为 ，
又双曲线 的渐近线为 ，由题意 ，整理得 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故选：D
6. “ ”是“函数 在区间 上单调递减”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件，必要条件的定义及三角函数的性质即得.【详解】当 时， 满足在区间 上单调递减，即由“ ”可推出“函
数 在区间 上单调递减”，
反之由“函数 在区间 上单调递减”推不出“ ”，如 时，
也满足在区间 上单调递减，
∴“ ”是“函数 在区间 上单调递减”的充分而不必要条件.
故选：A.
7. 如图，在正四棱柱 中， 是底面 的中心， 分别是 的中点，则
下列结论正确的是（ ）
A. //
B.
C. //平面
D. 平面
【答案】B
【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】在正四棱柱 中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令 ， 是底面 的中心， 分别是 的中点，
则 ， ，
，
对于A，显然 与 不共线，即 与 不平行，A不正确；
对于B，因 ，则 ，即 ，B正确；
对于C，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
，因此 与 不垂直，即 不平行于平面 ，C不正确；
对于D，由选项C知， 与 不共线，即 不垂直于平面 ，D不正确.
故选：B
8. 已知直线 与圆 相交于两点 ，当 变化时， 的面积的最
△
大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】将 的面积表示出来即可求出最大值.
△
【详解】因为直线直线 恒过点 在圆内，所以直线与圆相交，
圆 的圆心 ，所以 的面积的最大值为：
△
.
故选：C.
9. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数的性质判断 区间单调性，根据解析式知 恒过 且 ，进而确定区
间值域，再由对数函数性质求 的对应区间值域，即可得不等式解集.
【详解】由题设， 对称轴为 且图象开口向下，则 在 上递增， 上递减，
由 ，即 恒过 且 ，
所以 上 ， 上 ，
而 在 上递增，且 上 ， 上 ，
所以 的解集为 .故选：C
10. 在 中， 只需添加一个条件，即可使 存在且唯一.条件：① ；
△ △
② ；③ 中，所有可以选择的条件的序号为（ ）
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解.
【详解】对于①， ，所以， ，得 ，所以，
此时， 存在且唯一，符合题意；
△
对于②， ，所以， ，解得 ，因为 ，
所以， ，所以 为锐角，此时， 存在且唯一，符合题意；
△
对于③， ，所以， ，得 ，进而 ，
可得 ，明显可见， ，与 矛盾，故③不符题意.
故可以选择的条件序号为：①②
故选：B
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 抛物线 的准线方程为__________．
【答案】
【解析】【分析】抛物线 的准线方程为 ，由此得到题目所求准线方程.
【详解】抛物线 的准线方程是 .
【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线 的准线方程为 ，直接利用公式可得
到结果.属于基础题.
12. 展开式中常数项为___________（用数字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】写出二项展开式的通项，令 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】 展开式的通项为 ，
令 得 ，
故展开式中的常数项 .
故答案为： .
13. 已知 是△ 的边 的中点， ， ，则 ______；
______
【答案】 ①. 3 ②. ##-0.75
【解析】
【分析】利用数量积的定义可得 ，利用向量的线性表示及数量积的运算即得.【详解】∵ ， ，
∴ ，
又 是△ 的边 的中点，
∴ ，
∴ .
故答案为：3； .
14. 若函数 有且仅有两个零点，则实数 的一个取值为______.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由零点的概念求解
【详解】令 ，当 时，由 得 ，即 为函数 的一个零点，
故当 时， 有一解，得
故答案为： （答案不唯一）
15. 刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个
螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形 ，取正三角形
各边的三等分点 ，得到第一个阴影三角形 ；在正三角形 中，再取各边的
三等分点 ，得到第二个阴影三角形 ；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______;图中螺旋形图案的面积为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据余弦定理得到等边三角形边长成等比数列，即可得 的长度，再根据三角形的面积公式，
求得各个阴影三角形面积成等比数列，即可求解.
【详解】解：设正三角形 的边长为 ，后续各正三角形的边长依次为 ， ， ，设第一个阴
影三角形面积为 ,后续阴影三角形面积为
由题意知 ， ， ，所以 为
以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
所以 ；所以 ，又 ，所以 是以 为首项，为 公比的等比数列，故图中阴
影部分面积为 ，
故答案为： ； .
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在棱长为 的正方体 中，点 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小；
（3）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直.（2）根据空间向量，求法向量进一步得二面角.
（3）根据空间向量法求点面距.
【小问1详解】
在正方体 中，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，即 .
因为四边形 是正方形，
所以 .
因为 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
如图，建立空间直角坐标系 ，则 ，
所以 .
由（1）知，平面 的一个法向量为
设平面 的一个法向量为 ，
则 所以 .令 ，则 ，所以 .
所以 .
由图可知，二面角 为钝角，
所以二面角 的大小为 .
【小问3详解】
设点 到平面 的距离 ， ，
则 .
所以点 到平面 距离为 .
的
17. 已知函数 ，且 的最小正周期为 ，再从条件①、条件
②、条件③中选择两个作为一组已知条件.
（1）求 的解析式；
（2）设 ，若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值．
条件①： 的最小值为 ；
条件②： 的图象经过点 ；
条件③；直线 是函数 的图象的一条对称轴.
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】【分析】（1）由最小正周期可得 ，再根据所选条件，结合正弦函数的性质求 ，即可得解析式；
（2）由（1）及和差角正弦公式可得 ，根据区间最值及正弦函数性质求参数m的范
围，即可得结果.
【小问1详解】
由题意 ，可得 ，
选①②：由 的最小值为 ，则 ，故 .
又 ，即 且 ，所以 .
所以 .
选①③：由 的最小值为 ，则 ，故 .
因为 是 的一条对称轴，则 ， ，
所以 ， 且 ，则 .
所以 .
选②③：因为 是 的一条对称轴，则 ， ，
所以 ， 且 ，则 .所以 .
又 ，则 .
所以 .
【小问2详解】
，
上 ， 的最大值为 ，则 ，可得 ，
所以 的最小值为 .
18. 某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二
等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上
随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.
产品等级 优等品 一等品 二等品 普通品
样本数量（件） 30 50 60 60
（1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；
（2）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为 ，用频率估计概率，求
随机变量 的分布列和数学期望;
（3）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.
设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为 ，比较 的大小.（请直接写出结论）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，（3）
【解析】
【分析】（1）由数据计算频率后估计概率
（2）由二项分布概念公式求解
（3）由方差计算公式判断
【小问1详解】
抽取的200件产品中优等品有30件，抽取优等品的频率是 ，
用样本估计总体，从流水线上随机抽取一件产品，估计是优等品的概率为 . .
【小问2详解】
从流水线上随机抽取一件产品，估计利润大于20元的概率为 .
的可能取值为0，1，2，3.
， ，
，
分布列为
0 1 2 3
的数学期望 . ...
【小问3详解】
设 件样本利润分别为 ，平均数为 ，则降价后 件样本利润分别为 ，平均数为 ，
由方差计算公式可得
19. 已知椭圆 的离心率为 ，上下顶点分别为 ，且 .过点
的直线与椭圆 相交于不同的两点 （不与点 重合）.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与直线 相交于点 ，求证： 三点共线.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率为 和 ，由 求解；
（2）设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，由直线 的方程为 ，令
，得到 ，再结合韦达定理，判断 即可.
【小问1详解】
解：根据题意，
解得 .所以椭圆C的方程为： . ...
（2）
【小问2详解】
由（1）知， .
根据题意，直线 的斜率一定存在，设直线 的方程为 .
由 ，得 .
根据题意， 恒成立，设
则 .
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，所以 .
因为 ，
则直线 的斜率分别为 ，
.
又 ，
，
，
.所以 ，
所以 三点共线.
20. 已知函数 ， .
（1）若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，求实数 的值；
（2）若函数 无零点，求实数 的取值范围；
（3）当 时，函数 在 处取得极小值，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出两个函数的导数，由题可知 ，求出即可；
（2）设 ，求出导数，讨论 的范围根据单调性可得出；
（3）求出 的导数，讨论 的范围，根据单调性即可得出.
【小问1详解】
因为函数 ， ，
所以 ， .
因为曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，
所以 .
则 ，解得 .【小问2详解】
由题意， ，
设 .
①当 时， ， 在 上单调递增，且 ，
所以 ，所以 在 上无零点.
②当 时，令 ，得 ．
当 ，即 时， ， 在 上单调递增，且 ，
所以 ，所以 在 上无零点.
当 时， ，
符号变化如下，
0 +
↘ 极小值 ↗
所以 .
当 ，即 时， ，
所以 ，所以 在 上无零点.
当 ，即 时，由 ， ，所以 至少存 在一个零点 ，
所以 至少存在一个零点.
综上，若 无零点，实数 的取值范围为 .
【小问3详解】当 时， ，定义域为 ．
则 ．
由（2）可知，当 时， ，
当 时， ，
所以当 时， 在 上恒成立.
此时，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 在 处取得极小值．
当 时， ，
当 时， ， ，
所以 ， 单调递减.
此时 不是极小值点．即 时，不合题意．
综上，满足条件的 的取值范围为 ．
21. 已知数列 ，给出两个性质：
①对于任意的 ，存在 ，当 时，都有 成立；
②对于任意的 ，存在 ，当 时，都有 成立．
（1）已知数列 满足性质①，且 ， ，试写出 的值；
（2）已知数列 的通项公式为 ，证明：数列 满足性质①；
（3）若数列 满足性质①②，且当 时，同时满足性质①②的 存在且唯一.证明：数列是等差数列．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由性质①，可求出 且 ，所以 ，同理可求得 的值；
（2）由 ，验证性质①，即可证明；
（3）数列 满足性质①②，带入验证，即可得：当 时， ，即可证明满足条件的
数列 是等差数列.
【小问1详解】
因为数列 满足性质①，且 ，所以 ，所以 ，又因为 ，即
，所以 ，同理可得： .
【小问2详解】
因为数列 的通项公式为 ，
所以，对于任意的 ，令 ，则 ，
.
又 ，则 ，即 .
又 ，所以 ，
即对于任意的 .
所以，对于任意的 ，令 ，则当 时，都有 成立，所以，数列 满足性质①.
【小问3详解】
由题意，数列 满足性质①②，且当 时，同时满足性质①②的 存在,
即对于任意的 ，存在 ，当 时，都有 成立，
所以，当 时， ，
即 .
对于任意的 ,有 ，
对于任意的 ,有 ,
，
又当 时，同时满足性质①②的 存在且唯一,
所以，当 时， ,
的
所以，满足条件 数列 是等差数列.
【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求
在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的
目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，
逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
