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石景山区 2022 年高三统一练习
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 设全集 ，集合 ，则 （ ）
.
A B.
C. D.
2. 若复数 满足 ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
3. 从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是(
)
A. B. C. D.
4. 设 是直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
5. 已知圆C： ，过点 的直线l与圆C交于A，B两点，则弦 长度的最小值为（
）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 在等差数列 中， ，设数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. 12 B. 99 C. 132 D. 198
8. 在 中， ，若 ，则 的大小是（ ）
A. B. C. D.
9. “ ”是“ 在 上恒成立”的（ ）
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
.
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 设A，B为拋物线C： 上两个不同的点，且直线 过抛物线 的焦点 ，分别以A，B为切点
作抛物线 的切线，两条切线交于点 ．则下列结论：
①点 一定在拋物线 的准线上；
② ；③ 的面积有最大值无最小值．
其中，正确结论 的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数 的定义域是_________．
12. 的展开式中 的系数是______.（用数字填写答案）
13. 正项数列 满足 ， ．若 ， ，则 的值为_________．
14. 设点 ， 分别为椭圆C： 的左，右焦点，点 是椭圆 上任意一点，若使得
成立的点恰好是4个，则实数 的一个取值可以为_________．
15. 已知非空集合A，B满足： ， ，函数 对于下列结论：
①不存在非空集合对 ，使得 为偶函数；
②存在唯一非空集合对 ，使得 为奇函数；
③存在无穷多非空集合对 ，使得方程 无解．
其中正确结论的序号为_________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步稆或证明过程.
16. 已知函数 只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数 的最大值为2；
②函数 的图象可由 的图象平移得到；③函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出 的解析式；
（2）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ，求 面积的最大
值．
17. 某学校高一 、高二 、高三三个年级共有 名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层
抽样获得了 名教师一周的备课时间 ，数据如下表（单位 ：小时）：
高一年级
高二年级
高三年级
（1）试估计该校高三年级的教师人数 ；
（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲 ，高二年级选出
的人记为乙 ，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 ；
（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是 （单位：
小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ，表格中的数据平均数记为 ，试
判断 与 的大小. （结论不要求证明）
18. 如图1，在平面四边形 中， ， ， ， ．将
沿 翻折到 的位置，使得平面 平面 ，如图2所示．（1）设平面 与平面 的交线为 ，求证： ；
（2）在线段 上是否存在一点 （点 不与端点重合），使得二面角 的余弦值为 ，请
说明理由．
19. 设函数 ．
（1）若 ，
①求曲线 在点 处的切线方程；
②当 时，求证： ．
（2）若函数 在区间 上存在唯一零点，求实数 的取值范围．
20. 已知椭圆C： 的短轴长等于 ，离心率 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过右焦点 作斜率为 的直线 ，与椭圆 交于A，B两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，
判断 是否为定值，请说明理由．
21. 若数列 中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称 为“等比源数列”．
（1）已知数列 为4，3，2，1，数列 为1，2，6，24，分别判断 ， 是否为“等比源数列”，
并说明理由；的
（2）已知数列 通项公式为 ，判断 是否为“等比源数列”，并说明理由；
（3）已知数列 为单调递增的等差数列，且 ， ，求证 为“等比源数列”．
