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昌平区 2023 年高三年级第二次统一练习
数学试卷
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
2. 的展开式中 项的系数为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数 满足 ，则 的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
4. 已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
5. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减
C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减
6. 已知点 在直线 上，点 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
7. 已知双曲线 的一个焦点坐标为 ，则双曲线 的离心率为（ ）.
A B. C. 2 D. 4
8. 对于两个实数 ，设 则“ ”是“函数 的图象关于直线
对称”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知等比数列 的前 项和为 ，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
10. 某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七个公司
分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，
中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（ ）
A. 路口 B. 路口 C. 路口 D. 路口
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.
11. 三个数中最大的数是__________.
12. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 在第一象限，则点 的坐标为__________；若 ，点 到直线 的距离为__________.
13. 若函数 的最大值为2，则 __________， 的一个对称中心为
__________.
14. 已知点 在圆 上运动，且 ，若点 的坐标为 ，则 的
取值范围是__________.
15. 如图，在长方体 中， ，动点 分别在线段 和 上.
给出下列四个结论：
① ；
是
② 不可能 等边三角形；
③当 时， ；
④至少存在两组 ，使得三棱锥 的四个面均为直角三角形.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
17. 在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ，且 平面 ，
分别是 的中点， 是 上一点，且 .（1）求证： 平面 ；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值.
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.
18. 2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了
“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：
班号 1 2 3 4
人数 30 40 20 10
该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题
目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.
的
（1）求各班参加竞赛 人数；
的
（2）2班 小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题
目数为 ，求 的分布列及数学期望；
（3）若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为 ，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获
得奖品的概率.
19. 已知椭圆 上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为 .
（1）求椭圆 的方程；（2）设 分别为椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 上一点（不与 重合），直线 分别与直
线 相交于点 ，N.当点 运动时，求证：以 为直径的圆截 轴所得的弦长为定值.
20. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
的
（2）若函数 在 上有最小值，求 取值范围；
（3）如果存在 ，使得当 时，恒有 成立，求 的取值范围.
21. 若数列 满足 ，则称数列 为 数列.记
.
（1）写出一个满足 ，且 的 数列；
（2）若 ，证明： 数列 是递增数列的充要条件是 ；
（3）对任意给定的整数 ，是否存在首项为1的 数列 ，使得 ？如果存在，写出一个
满足条件的 数列 ；如果不存在，说明理由.
