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顺义区 2022 届高三第二次统练
数学试卷
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解．
【详解】由题意 ，解得 ．
故选：A．
2. 如图，在复平面内，复数 对应的点为 ，则复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点 的坐标求得复数 ，再根据复数的乘法运算，即可求得结果.
【详解】由图可知，点 的坐标为 ，故 ，
则 .
故选：D.3. 展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. 15 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】由二项式写出展开式的通项，再判断常数项对应的r值，即可求常数项.
【详解】由题设， ，
所以，当 时常数项为 .
故选：C
4. 已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线 的一条渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的焦点坐标求得 ，再求渐近线方程即可.
【详解】根据题意， ，故可得 ，则 ，
故双曲线的渐近线方程为 ，故 是其中一条渐近线.
故选：A.
5. 设等比数列 的前 项和为 ，公比为 .若 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对 通过赋值，结合数列 等比，求得 ，即可求得 .【详解】因为 ，故可得 ，
又数列 是等比数列，公比为 ，则 ，即 ，解得 或 ；
若 ，则 ；
若 ，则 不满足题意，舍去.
故 .
故选：C.
6. 为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市 户居民的月平均用电量（单位：度），以
， ， ， ， ， ， 分组的频率分
布直方图如下图.该样本数据的55%分位数大约是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，可通过频率分布直方图的性质求解出 的值，然后设出样本数据的55%分位数为 ，根
据题意列出等量关系，求解即可.
【详解】由直方图的性质可得：
，
解得 ，由已知，设该样本数据的55%分位数大约是 ，由
，
解得 .
故选：C.
7. 在 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要件
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理解三角形后，根据充分必要条件的定义判断．
【详解】 中， ，由正弦定理 ， ， ，
，所以 ， 可为锐角也可为钝角，
所以 或 ，
因此“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
8. 已知圆 截直线 所得弦的长度为2，那么实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先计算圆心到直线距离的表达式，再结合弦长公式求解即可．
【详解】圆 圆心为 半径为点 到直线 的距离为
则弦长为 ，得
解得
故选：D．
9. 已知向量 ， ，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为 ，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的几何意义，结合平面直角坐标系进行求解
【详解】如图以向量 的起点为原点建立平面直角坐标系，设 的终点为A， 的终点为B，根据向量的
几何意义可知 的最小值，表达是A点到向量 的距离，即图中虚线段的长度，
故可设向量 所在的直线方程为 ，即 ，点 ，故
故选：C10. 如图，设 分别是长方体 棱 上的两个动点，点 在点 的左边，且满足
，有下列结论：
① 平面 ；
②三棱锥 体积为定值；
③ 平面 ；
④平面 平面 ；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②．
【详解】 与 显然不垂直，而 ，因此 与 显然不垂直，从而 平面是错误的，①错；
，三棱锥 中，平面 即平面 ， 到平面 的距离为
是定值， 中， 的长不变， 到 的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正
确；
平面 就是平面 ，而 与平面 相交，③错；
长方体中 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，即平面
平面 ，④正确．
故选：C．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5道小题，每题5分.共25分，把答案填在答题卡上.
11. 已知集合 ， ，则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用并集概念及运算法则进行计算.
【详解】在数轴上画出两集合，如图：
.
故答案为：
12. 已知函数 ，若 ，则 _____________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据对数运算和指数运算，结合已知条件，即可求得结果.【详解】因为 ，则 ，则 ，即 ；
又 .
故答案为：4.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直抛物线准线于点 .若 为等边三
角形，则点 的横坐标为___________， 的面积是________________.
【答案】 ①. 3； ②. .
【解析】
【分析】利用等边三角形的性质，结合抛物线的定义、两点间距离公式进行求解即可.
【详解】设点 ，抛物线的准线为： ，
焦点坐标为： ，由题意可知： ，
因为 为等边三角形，所以有 ,
因此有 ，所以点 的横坐标为 ；
因此 ，因此 的面积是 ，
故答案为：3；
14. 已知 是定义在 上的函数，其值域为 ，则 可以是________.（写出一个满足条件
的函数表达式即可）
【答案】
【解析】
【分析】根据函数值域，直接写出满足条件的函数即可.
【详解】因为 定义域为 ，且值域为 满足题意.故 或其它满足题意的函数均可.
故答案为： .
15. 向量集合 ，对于任意 ， ，以及任意 ，都有
，则称集合 是“凸集”，现有四个命题：
①集合 是“凸集”；
② 若 为“凸集”，则集合 也是“凸集”；
③若 都是“凸集”，则 也是“凸集”；
④若 都是“凸集”，且交集非空，则 也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是_____________________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】理解新定义，对结论逐一判断
【详解】由题意得，若对于任意 ，线段 上任意一点 ，都有 ，则集合 是“凸集”，
由此对结论逐一分析
对于①， ，若对于任意 满足 ，则
，
由函数 的图象知，对线段 上任意一点 ，都有 ，即 ，故 为“凸
集”，①正确
对于②，若 为“凸集”，则对于任意 ，此时 ，其中
对于任意 ， ，故 为“凸集”，②正确
对于③，可举反例，若 ，是
易知 都 “凸集”，而 不是“凸集”，故③错误
对于④，若 都是“凸集”， 则对于任意 ，任意
则 ，且 ，
故 ，故 也是“凸集”
为
故答案 ：①②④
三、解答题共6道题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知函数 .
（1）求 在区间 上的最大值和最小值；
（2）设 ，求 的最小正周期.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数性质求解
（2）由三角恒等变化公式化简后求解
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
所以
所以 此时
，此时【小问2详解】
=
= =
= =
所以，最小正周期
17. 如图，在正方体 中， 为 的中点.
（1）过点 作出一条与平面 平行的直线，并说明理由；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）答案见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定，只需过点 作与平面 中任一一条直线平行的直线即可；
（2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求
得线面角的正弦值.【小问1详解】
取 的中点 ，连结 ，如下所示：
因为 为正方体， 为 的中点， 为 的中点，所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
故过点 可以作出 与平面 平行，也可以做出其它直线，答案不唯一.
【小问2详解】
因为 是正方体，设其棱长为 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
如下所示：
则有 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设 为平面 的一个法向量，则 ，所以有 ，令 ，可得 ，所以 ，
所以 = ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
18. 为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（ ）班 （ ）班进行了抽测，采取
如下方式抽样：每班随机各抽 名学生进行身体素质监测.经统计，每班 名学生中身体素质监测成绩达
到优秀的人数散点图如下：（ 轴表示对应的班号， 轴表示对应的优秀人数）
（1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测 人，求该生身体素质监测
成绩达到优秀的概率；
（2）若从以上统计的高一（ ）班的 名学生中抽出 人，设 表示 人中身体素质监测成绩达到优秀
的人数，求 的分布列及其数学期望；
（3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的 名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取 名同学，用“ ”表示第 班抽到的这名同学身体素质优秀，“ ”表示第
班抽到的这名同学身体素质不是优秀 ．写出方差 的大小关系
（不必写出证明过程）．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望
（3）
【解析】
【分析】（1）根据散点图可求得抽取的 人中，身体素质监测成绩达到优秀的人数，由古典概型概率公
式可得结果；
（2）首先可确定 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分
布列；根据数学期望计算公式可求得期望；
（3）由两点分布方差计算公式可求得 的值，由此可得大小关系.
【小问1详解】
抽取的 人中，身体素质监测成绩达到优秀有 人，
从高一年级学生中任意抽测 人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率 .
【小问2详解】
由散点图可知：高一（ ）班的 名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的人数为 人，
的
所有可能 取值为 ，
； ； ；
则 的分布列为：数学期望 .
【小问3详解】
由散点图知： ， ， ；
， ， ；
， ， ；
， ， ；
.
19. 已知椭圆 过定点 ，离心率 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）斜率为 的直线与椭圆交于 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值及此时直线 的方
程.
【答案】（1）
（2）1，
【解析】
【分析】（1）由题意得出 后写标准方程
（2）待定系数法设直线方程，与椭圆方程联立后由韦达定理表示 弦长与 面积，转化为函数求最值
【小问1详解】
依题意可得
所以可解得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为
【小问2详解】
设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 得 ，化简得
所以 ， 即
所以 = =
又原点 到直线 的距离
所以 =
当且仅当 即 时取等号
所以， 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为
20. 若函数 .
（1）判断方程 解的个数，并说明理由；（2）当 ，设 ，求 的单调区间.
【答案】（1）仅有一个，理由见解析；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题可得 ，进而可得函数 的极大值为 ，即得；
（2）由题可得 ，分 ， ， 讨论即得.
【小问1详解】
方程 仅有一个解，
因为 ，
所以 ，
令 可解得 ，
所以 单调性如下表：
单调递增 极大值 单调递减
又 ，即 的极大值为 ，
所以方程 仅有一个解；
【小问2详解】
因为 ，
所以 ，
令 可得 或分类讨论如下：（i）当 时，
的
所以 单调性如下
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；
（ii）当 时， ，此时 恒成立
所以 的单调增区间为 ，无单调减区间
（iii）当 ， ，
所以 的单调性如下
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 .
21. 设正整数数列 满足 ．
（1）若 ，请写出 所有可能的取值；
（2）记集合 ，证明：若集合 存在一个元素是3的倍数，则 的所有元素都是3的倍数；
（3）若 为周期数列，求 所有可能的取值.
【答案】（1） ， ，（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据递推公式求出 、 即可求出 ，再分类讨论，分别计算可得；
（2）首先证明如果存在 为3的倍数，根据递推公式得到 都是3的倍数，再证
都是3的倍数，即可得证；
（3）依题意数列 一定有最小值，设为 ，再 或 ，即可得到当数列中出现 或 时数列为周期数
列，即可得解；
【小问1详解】
解：因为正整数数列 满足 ，
当 时， ，所以 ， ，所以 ，则 或 ，即 或 ，
当 时， 或 ，所以 或 ；
当 时， ，所以 ；
所以 的可能取值为 、 、 ；
【小问2详解】
证明：如果存在正整数 ，满足 是 的倍数，则对 ， 都是 的倍数；
如果存在 为3的倍数，根据 ，可知 也是3的倍数，
以此类推， 都是3的倍数；另一方面，当 时，由于 ，当 为3的倍数时，可知 也是3的倍数，
以此类推， 都是3的倍数；
综上所述，若集合 存在一个元素是3的倍数，则 的所有元素都是3的倍数；
【小问3详解】
证明：
首先注意到 是正整数数列，则数列 一定有最小值，设为 ，下证 或 ；
当 为偶数时，设 ，则 ，与 是最小值矛盾；
所以 是奇数；不妨设 ，则 是偶数， ，
假设 ，则 ，与 是最小值矛盾；
综上， 只能是小于 的正奇数，即 或 ；
当数列 中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；
当数列 中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环；
所以数列 为周期数列时， 只能为1，2，3，4，6中某一个数；
经检验，当时，数列确实是周期数列；
