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顺义区 2022 届高三第二次统练
数学试卷
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
的
1. 函数 定义域为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在复平面内，复数 对应的点为 ，则复数 （ ）
A. B. C. D.
3. 展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. 15 D. 30
4. 已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线 的一条渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 设等比数列 的前 项和为 ，公比为 .若 ， 则 （ ）
A. B. C. D.6. 为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市 户居民的月平均用电量（单位：度），以
， ， ， ， ， ， 分组的频率分
布直方图如下图.该样本数据的55%分位数大约是（ ）
A. B. C. D.
7. 在 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要件
8. 已知圆 截直线 所得弦的长度为2，那么实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
的
9. 已知向量 ， ，在正方形网格中 位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为 ，则
的最小值是（ ）A. B. C. D.
10. 如图，设 分别是长方体 棱 上的两个动点，点 在点 的左边，且满足
，有下列结论：
① 平面 ；
②三棱锥 体积为定值；
③ 平面 ；
④平面 平面 ；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5道小题，每题5分.共25分，把答案填在答题卡上.
11. 已知集合 ， ，则 ____________.
12. 已知函数 ，若 ，则 _____________.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直抛物线准线于点 .若 为等边三
角形，则点 的横坐标为___________， 的面积是________________.14. 已知 是定义在 上的函数，其值域为 ，则 可以是________.（写出一个满足条件
的函数表达式即可）
15. 向量集合 ，对于任意 ， ，以及任意 ，都有
，则称集合 是“凸集”，现有四个命题：
①集合 是“凸集”；
② 若 为“凸集”，则集合 也是“凸集”；
③若 都是“凸集”，则 也是“凸集”；
④若 都是“凸集”，且交集非空，则 也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是_____________________．
三、解答题共6道题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知函数 .
（1）求 在区间 上的最大值和最小值；
（2）设 ，求 的最小正周期.
17. 如图，在正方体 中， 为 的中点.
（1）过点 作出一条与平面 平行的直线，并说明理由；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（ ）班 （ ）班进行了抽测，采取
如下方式抽样：每班随机各抽 名学生进行身体素质监测.经统计，每班 名学生中身体素质监测成绩达
到优秀的人数散点图如下：（ 轴表示对应的班号， 轴表示对应的优秀人数）
（1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测 人，求该生身体素质监测
成绩达到优秀的概率；
的
（2）若从以上统计 高一（ ）班的 名学生中抽出 人，设 表示 人中身体素质监测成绩达到
优秀的人数，求 的分布列及其数学期望；
（3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的 名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班
中分别随机抽取 名同学，用“ ”表示第 班抽到的这名同学身体素质优秀，“ ”表示第
班抽到的这名同学身体素质不是优秀 ．写出方差 的大小关系
（不必写出证明过程）．
19. 已知椭圆 过定点 ，离心率 .（1）求椭圆 的标准方程；
（2）斜率为 的直线与椭圆交于 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值及此时直线
的方程.
20. 若函数 .
（1）判断方程 解的个数，并说明理由；
（2）当 ，设 ，求 的单调区间.
21. 设正整数数列 满足 ．
的
（1）若 ，请写出 所有可能 取值；
（2）记集合 ，证明：若集合 存在一个元素是3的倍数，则 的所有元素都是3的倍数；
（3）若为周期数列，求所有可能的取值.
