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昌平区 2024 年高三年级第二次统一练习
数学试卷
本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知数列 满足 ，则数列 的前4项和等于（ ）
A. 16 B. 24 C. 30 D. 62
3. 已知抛物线 的焦点和双曲线 的右顶点重合，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
4. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. B. 15 C. 30 D. 360
5. 若 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若圆 与 轴， 轴均有公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 ，则“ ”是“ ”的（
）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数 若对任意的 都有 恒成立，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
9. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，
再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin
后的温度为 ，可选择函数 来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上
述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据： ）
A. B. C. 6min D.
10. 已知数列 满足 ，该数列的前 项和为 ，则下列论断中错误的是（
）
.
A B.
C. 非零常数 ，使得 D. ，都有
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知复数 ，则 ______．
12. 已知 中， ，则 ______．
13. 已知正方形 的边长为1，点 满足 ．当 时， ______；当
______时， 取得最大值．14. 已知 ：设函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，若 ，则
在区间 内无零点．能说明 为假命题的一个函数的解析式是______．
15. 已知曲线 为坐标原点．给出下列四个结论：
①曲线 关于直线 成轴对称图形；
②经过坐标原点 的直线 与曲线 有且仅有一个公共点；
的
③直线 与曲线 所围成 图形的面积为 ；
④设直线 ，当 时，直线 与曲线 恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是
______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 的图像经过点 ．
（1）求实数 的值，并求 的单调递减区间；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
17. 如图，在棱长均为2的四棱柱 中，点 是 的中点， 交平面 于点 ．
（1）求证：点 为线段 的中点；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱 存在
且唯一确定．（i）求二面角 的余弦值；
（ii）求点 到平面 的距离．
条件①： 平面 ；
条件②：四边形 是正方形；
条件③：平面 平面 ．
注：如果选择的条件不符合要求，则第2问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
18. 某行业举行专业能力测试，该测试由 三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结
果相互独立．当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当 项测试成绩合格，且 两项中恰有一项
成绩合格时，认定分为5分；当 项测试成绩不合格，且 两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其
它测试成绩，认定分为0分．甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计
如下表：
测试
项
频数 16 15 10
用频率估计概率．
（1）试估计甲参加该专业能力 项测试成绩合格的概率；
（2）设 表示甲获得的认定分，求 的分布列和数学期望 ；
（3）若乙参加该专业能力测试，三项测试成绩合格的概率均为 ．试估计甲、乙两人获得认定分的大小，
并说明理由．
19. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
的
（2）设 是椭圆 左、右顶点， 是椭圆 的右焦点．过点 的直线 与椭圆 相交于两点（点 在 轴的上方），直线 分别与 轴交于点 ，试判断 是否为定值？若是定值，
求出这个定值；若不是定值，说明理由．
.
20 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
的
（2）求 在区间 上 最小值；
（3）若 ，当 时，求证： ．
21. 已知 为有穷正整数数列， ，且 ．从 中选取第
项，第 项， ，第 项 ，称数列 ， 为 的长度为 的子列．规定：数
列 的任意一项都是 的长度为1的子列．若对于任意的正整数 ，数列 存在长度为 的子列
，使得 ，则称数列 为全覆盖数列．
（1）判断数列 和数列 是否为全覆盖数列；
（2）在数列 中，若 ，求证：当 时， ；
（3）若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列．
