曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
12.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
三年模拟
一、选择题
1.(2022山东模拟,8)将x,x,y,y,z,z填入2行3列的表格中,每格填一个字母,若随机变量X
表示列字母相同的数量,则( )
(注:横为行,竖为列)
A.X的可能取值有0,1,2,3
1
B.P(X=0)=
3
3
C.E(X)=
5
12
D.D(X)=
25
答案 C 对于A,若2列字母相同,则余下的一列字母一定相同,故X的取值不可能为2,
故A错误.对于B,将x,x,y,y,z,z填入2行3列的表格中,先填x有 种,再填y有 种,最后
C2 C2
6 4
填z有 种,所以总填法有 =90种.每列字母均不相同的填法有两类,第一类:第一
C2 C2C2C2
2 6 4 2
行字母均不相同,有 种;第二类,第一行有两个字母相同,有 种,所以共有
A3C1 C1C2C1C1
3 2 3 3 2 2
+
A3C1
3 2
48 8 36 2 6 1 3 16
C1C2C1C1=48种,所以P(X=0)= = ,故B错误.因为P(X=1)= = ,P(X=3)= = ,所以E(X)= ,D(X)=
3 3 2 2 90 15 90 5 90 15 5 25
故C正确,D错误.故选C.
2.(2022河南中原名校联考,7)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口
三个赛区志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.
记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则( )
A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)
B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)
C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)
D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)
答案 D 由题意得X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=C1
1,
3=
33 9
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P(X=2)=C2A2
2,
3 3=
33 3
P(X=3)=A3
2,
3=
33 9
1 2 2 19
∴E(X)=1× +2× +3× = ,
9 3 9 9
D(X)=( 19) 2 1+( 19) 2 2+( 19) 2 2 26.
1- × 2- × 3- × =
9 9 9 3 9 9 81
Y的可能取值为0,1,2,
则P(Y=0)=A3
2
C2A2
2,
3= ,P(Y =1)= 3 3=
3 9 33 3
3
P(Y=2)=C1
1,
3=
33 9
2 2 1 8
∴E(Y)=0× +1× +2× = ,
9 3 9 9
D(Y)=( 8) 2 2+( 8) 2 2+( 8) 2 1 26.
0- × 1- × 2- × =
9 9 9 3 9 9 81
∴E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故选D.
3.(2022海淀一模,10)甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人.经检测
后分为确诊组和排除组,患者年龄分布如下表:
年龄
[0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,+∞) 总计
(岁)
确诊组
0 3 7 4 0 14
人数
排除组
7 41 15 19 2 84
人数
为研究患病与年龄的关系,现采用两种抽样方式.第一种:从98人中随机抽取7人.第二种:
从排除组的84人中随机抽取7人.用X,Y分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数
与80岁以下的人数之比.给出下列四个结论:
①在第一种抽样方式下,抽取的7人中一定有1人在确诊组;
②在第二种抽样方式下,抽取的7人都小于20岁的概率是0;
③X,Y的取值范围都是{ 1 2};
0, ,
6 5
④E(X)<E(Y).
其中,正确结论的个数为( )
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A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B 对于①:98人中确诊的有14人,若抽取的7人都是84人的排除组的,则7人都
不在确诊组,①中结论错误.
C7
对于②:排除组中小于20岁的人有7人,抽取的7人都小于20岁的概率为P= 7 ≠0,故②
C7
84
中结论错误.
对于③:第一种[0,80)有96人,[80,+∞)有2人;
第二种[0,80)有82人,[80,+∞)有2人,
设抽取80岁以上的人数为M,则M=0,1,2,
1
当M=0时,X=Y=0,当M=1时,X=Y= ,
6
2
当M=2时,X=Y= ,故③中结论正确.
5
对于④:P(X=0)= C7 96 C 2 0 = 585 ,P ( X= 1) = C6 96 C1 2= 13 ,P ( X= 2) = C5 96 C 2 2 = 3 .
C7 679 6 C7 97 5 C7 679
98 98 98
P(Y=0)= C7 82 C 2 0 = 209 ,P ( Y = 1) = C6 82 C1 2= 77 ,P ( Y = 2) = C5 82 C 2 2 = 1 .
C7 249 6 C7 498 5 C7 166
84 84 84
585 1 13 2 3
E(X)=0× + × + × ≈0.024,
679 6 97 5 679
209 1 77 2 1
E(Y)=0× + × + × ≈0.028,
249 6 498 5 166
E(X)<E(Y).故④中结论正确.故选B.
4.(多选)(2021湖南三湘名校联盟联考(五),10)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑
球,4个白球,现从中任取4个球,设取出的4个球中白球的个数为X,则下列结论正确的是(
)
3
A.P(X=2)=
7
B.随机变量X服从二项分布
C.随机变量X服从超几何分布
8
D.E(X)=
5
答案 ACD 由题意知随机变量X服从超几何分布,故B中结论错误,C中结论正确;随机
变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=
C4
1
C1C3
8
C2C2
3
C3C1
4
C4
1
6 = ,P(X=1)= 4 6= ,P(X=2)= 4 6= ,P(X=3)= 4 6= ,P(X=4)= 4 =
C4 14 C4 21 C4 7 C4 35 C4 210
10 10 10 10 10
,
1 8 3 4 1 8
故E(X)=0× +1× +2× +3× +4× = ,故A,D中结论正确,故选ACD.
14 21 7 35 210 5
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二、解答题
5.(2022四川宜宾二诊,18)2018年12月18日上午10时,在人民大会堂举行了庆祝改革开
放40周年大会.40年众志成城,40年砥砺奋进,40年春风化雨,中国人民用双手书写了国
家和民族发展的壮丽史诗.会后,央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念改革开放40
周年变化的老照片,并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40周年图片展”,
其作者年龄集中在[25,85]之间,根据统计结果,作出频率分布直方图如图:
(1)求这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值
作代表);
(2)央视媒体平台从年龄在[45,55)和[65,75)的作者中,按照分层抽样的方法抽出了7人参
加“改革开放40周年图片展”表彰大会,现要从中选出3人作为代表发言,设这3位发言
者的年龄落在区间[45,55)的人数是Y,求变量Y的分布列和数学期望.
解析 (1)x=30×0.05+40×0.1+50×0.15+60×0.35+70×0.2+80×0.15=60,s2=(-30)2×0.05+
(-20)2×0.1+(-10)2×0.15+0×0.35+102×0.2+202×0.15=180.
(2)根据分层抽样可知抽取的7人中年龄在[45,55)内的有3人,在[65,75)内的有4人,Y的
所有可能值为0,1,2,3,P(Y=0)=
C
3
0C3
4=
4
,P(Y =1)=
C1
3
C2
4=
18
,P(Y =2)=
C
3
2C1
4=
12
,P(Y =3)=
C
3
3C0
4=
1 ,所以
C3 35 C3 35 C3 35 C3 35
7 7 7 7
Y的分布列为
Y 0 1 2 3
4 18 12 1
P
35 35 35 35
4 18 12 1 9
所以Y的数学期望E(Y)=0× +1× +2× +3× = .
35 35 35 35 7
6.(2022丰台一模,18)为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向,某调查
公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1 000人作为样本进行调查,结果如下:
毕业 继续学 单位 自主 自由
慢就业
去向 习深造 就业 创业 职业
人数 200 560 14 128 98
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假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立.
(1)若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2 500,试根据样本估计该校2021届
大学毕业生选择“单位就业”的人数;
(2)从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人,记随机变量X为这3人中选择“继续学
习深造”的人数.以样本的频率估计概率,求X的分布列和数学期望E(X);
(3)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查,发现仅有选择“慢就业”的毕业生中
的a(0<a<98)人选择了上表中其他的毕业去向,记此时表中五种毕业去向对应人数的方差
为s2.当a为何值时,s2最小.(结论不要求证明)
560
解析 (1)由题意得,该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为2 500×
1 000
=1 400.
200 1
(2)由题意得,样本中1 000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为 = .
1 000 5
用频率估计概率,从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生,估计该生选择“继
1
续学习深造”的概率为 .
5
随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以P(X=0)= C0(1) 0 (
1-
1) 3
=
64 ,
3 5 5 125
P(X=1)= C1(1) 1 (
1-
1) 2
=
48 ,
3 5 5 125
P(X=2)= C2(1) 2 (
1-
1) 1
=
12 ,
3 5 5 125
P(X=3)= C3(1) 3 (
1-
1) 0
=
1 .
3 5 5 125
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
64 48 12 1
P
125 125 125 125
64 48 12 1 3
E(X)=0× +1× +2× +3× = .
125 125 125 125 5
(3)易知五种毕业去向的人数的平均数为200,要使方差最小,则数据波动性越小,故当自主
创业和慢就业人数相等时方差最小,所以a=42.
7.(2022顺义二模,18)为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况,对高一年级的(1)
班~(8)班进行了抽测,采取如下方式抽样:每班随机各抽10名学生进行身体素质检测.经
统计,每班10名学生中身体素质检测成绩达到优秀的人数散点图如下(x表示对应的班号,
y表示对应的优秀人数).
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(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况,从高一年级学生中任意抽测1人,求该生
身体素质检测成绩达到优秀的概率;
(2)若从以上统计的高一(4)班的10名学生中抽出2人,设X表示2人中身体素质检测成
绩达到优秀的人数,求X的分布列及数学期望;
(3)假设每个班的学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀
率相等.现在从每班中分别随机抽取1名学生,用“ξ =1”表示k(k=1,2,…,8)班抽到的这名
k
学生身体素质检测成绩达到优秀,“ξ =0”表示k班抽到的这名学生身体素质检测成绩没
k
有达到优秀.写出方差D(ξ ),D(ξ ),D(ξ ),D(ξ )的大小关系(不必写出证明过程).
1 2 3 4
解析 (1)从高一年级(1)班~(8)班学生中共抽测了80人,其中身体素质检测成绩达到优秀
7
的人数为8+6+9+4+7+5+9+8=56,所以样本中身体素质检测成绩达到优秀的概率是 .
10
用样本估计总体,可知从高一年级学生中任意抽测一人,该生身体素质检测成绩达到优秀
7
的概率是 .
10
(2)因为高一(4)班抽出的10名学生中,身体素质检测成绩达到优秀的有4人,所以从中抽
出2人,X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)= C 6 2 = 1 ,P(X=1)= C1 6 C1 4= 8 ,
C2 3 C2 15
10 10
P(X=2)=
C2
4 = 2 ,
C2 15
10
所以X的分布列为
X 0 1 2
1 8 2
P
3 15 15
1 8 2 4
数学期望E(X)=0× +1× +2× = .
3 15 15 5
(3)D(ξ )=D(ξ )>D(ξ )>D(ξ ).
4 2 1 3
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8.(2021天津一中月考,17)甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其
2
中每道题的概率都是 ,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机
3
抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率;
(2)求乙答对的题目数X的分布列与期望.
解析 (1)甲恰有2个题目答对的概率为 C2(2) 2 ×(1) 2
=
8 .
4 3 3 27
(2)X的所有可能取值为2,3,4,
P(X=2)= C 2 2C2 8= 28 = 2 ,
C4 210 15
10
P(X=3)=
C1
2
C3
8= 112 = 8 ,
C4 210 15
10
P(X=4)= C 8 4 = 70 = 1.
C4 210 3
10
∴X的分布列为
X 2 3 4
2 8 1
P
15 15 3
2 8 1 16
∴E(X)=2× +3× +4× = .
15 15 3 5
9.(2022四川宜宾二诊,18)2018年12月18日上午10时,在人民大会堂举行了庆祝改革开
放40周年大会.40年众志成城,40年砥砺奋进,40年春风化雨,中国人民用双手书写了国
家和民族发展的壮丽史诗.会后,央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念改革开放40
周年变化的老照片,并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40周年图片展”,
其作者年龄集中在[25,85]之间,根据统计结果,作出频率分布直方图如图:
(1)求这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值
作代表);
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(2)央视媒体平台从年龄在[45,55)和[65,75)的作者中,按照分层抽样的方法抽出了7人参
加“改革开放40周年图片展”表彰大会,现要从中选出3人作为代表发言,设这3位发言
者的年龄落在区间[45,55)的人数是Y,求变量Y的分布列和数学期望.
解析 (1)x=30×0.05+40×0.1+50×0.15+60×0.35+70×0.2+80×0.15=60,s2=(-30)2×0.05+
(-20)2×0.1+(-10)2×0.15+0×0.35+102×0.2+202×0.15=180.
(2)根据分层抽样可知抽取的7人中年龄在[45,55)内的有3人,在[65,75)内的有4人,Y的
所有可能值为0,1,2,3,P(Y=0)=
C
3
0C3
4=
4
,P(Y =1)=
C1
3
C2
4=
18
,P(Y =2)=
C
3
2C1
4=
12
,P(Y =3)=
C
3
3C0
4=
1 ,所以
C3 35 C3 35 C3 35 C3 35
7 7 7 7
Y的分布列为
Y 0 1 2 3
4 18 12 1
P
35 35 35 35
4 18 12 1 9
所以Y的数学期望E(Y)=0× +1× +2× +3× = .
35 35 35 35 7
一年创新
1.(2022 5·3原创题)某次乒乓球单打比赛中,A,B,C,D四人进入半决赛并争夺1—4名.比
赛规则如下:第一阶段(半决赛),A,B两人进行一场比赛,决出胜负,C,D两人进行一场比赛,
决出胜负;第二阶段(决赛),半决赛中的两位获胜者进行一场比赛决出第1,2名,其余两人
进行一场比赛决出第3,4名.已知在单局比赛中,A胜B,B胜C,C胜A的概率均为
2 1
,D胜其他任何人的概率均为 ,比赛各局相互独立且比赛中没有平局.记比赛结束
3 2
后,A,B,C,D四人的名次分别为随机变量X,Y,Z,W,则下列说法正确的是( )
A.D(X+Y+Z+W)>0
B.P(X=1)=P(Y=1)=P(Z=1)=P(W=1)
C.E(X)=E(Y)=E(Z)=E(W)
D.P(W=1)=P(W=2)=P(W=3)=P(W=4)
答案 D 显然,无论四人的名次如何,X+Y+Z+W=1+2+3+4=10,是一个常数,其方差为0,
故A错误;
以符号M
N
表示在一场比赛中M战胜N,其中{M,N}⊆{A,B,C,D},根据比赛规则可知:
2 1 1 2 1 1 5
P(X=1)=P(A )P(C )P(A )+P(A )P(D )P(A )= × × + × × = ,
B D C B C D
3 2 3 3 2 2 18
2 1 2 2 1 1 7
P(X=2)=P(A )P(C )P(C )+P(A )P(D )P(D )= × × + × × = ,
B D A B C A
3 2 3 3 2 2 18
1 1 1 1 1 1 5
P(X=3)=P(B )P(C )P(A )+P(B )P(D )P(A )= × × + × × = ,
A D D A C C
3 2 2 3 2 3 36
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1 1 1 1 1 2 7
P(X=4)=P(B )P(C )P(D )+P(B )P(D )P(C )= × × + × × = ,
A D A A C A
3 2 2 3 2 3 36
故X的分布列为
X 1 2 3 4
10 14 5 7
P
36 36 36 36
9
进而得到E(X)= .
4
同理可得
Y 1 2 3 4
7 5 14 10
P
36 36 36 36
Z 1 2 3 4
10 8 8 10
P
36 36 36 36
W 1 2 3 4
9 9 9 9
P
36 36 36 36
11 10 5 10 5
进而E(Y)= ,E(Z)= = ,E(W)= = .
4 4 2 4 2
故选项B,C错误,选项D正确.
第 9 页 共 9 页
