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2025-2026 学年河南省洛阳市洛龙区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）下列数学符号是轴对称图形的是（ ）
A．≠
B．≌
C．≥
D．±
2 ．（3 分）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD 依次是△ABC 的（ ）
A．中线，角平分线，高线
B．角平分线，高线，中线
C．角平分线，中线，高线
D．高线，中线，角平分线
3．（3 分）把一根长12 厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）如图，△ACE≌△DBF，A，B，C，D 四点在同一直线上，若AD＝8，BC＝2，则BD 的长为
（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
5．（3 分）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D 在BC 上，下列条件不能说明AD⊥BC 的是
（ ）
2
A．∠ADB＝∠ADC
B．∠B＝∠C
C．BD＝CD
D．AD 平分∠BAC
6．（3 分）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们
是这样做的：
①在河流的一条岸边B 点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m 有一树C，继续前行20m 到达D 处；
③从D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达A 树正好被C 树遮挡住的E 处停止行走；
④测得DE 的长为12m．
那么，河的宽度是（ ）
A．8m
B．10m
C．12m
D．15m
7．（3 分）下列四个条件：
①在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角；
②△ABC 的三个内角的度数之比是1：2：3；
③在△ABC 中，∠A﹣∠B＝∠C；
④△ABC 的三个外角的度数之比是3：4：5．
其中能确定△ABC 是直角三角形的是（ ）
A．②③
B．②④
C．②③④
D．①②③④
8．（3 分）如图所示的三角形纸片ABC 中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝5cm．沿过点B 的直线折叠这个
三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD，则△AED 的周长为（ ）
3
A．14cm
B．13cm
C．11cm
D．9cm
9．（3 分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G 在小正方形的顶点
上．三角形匀质薄板ABC 放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板ABC 的重心是（ ）
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
10．（3 分）已知：如图，在△ABC，△ADE 中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，
E 三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；
③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
二、填空题（每小题3 分，共15 分）
11．（3 分）港珠澳大桥全长约55 公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海
通道，是迄今世界最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三
角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是 ．
12．（3 分）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB＝AC，添加一个条件 ，
使△ABE≌△ACD（填一个即可）．
4
13．（3 分）如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时45 海里的速度向正北方
向航行，2 小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为 海里．
14．（3 分）如图，△ACB 中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以点A，B 为圆心，以大于1
2
AB 的长为半径画
弧交于点M，N，直线MN 交AB 于点E，交AC 于点D．若CD＝3，则AD＝ ．
15．（3 分）当三角形中一个内角α 是另一个内角β 的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中
α 称为“ 特征角” ．如果一个直角三角形为“ 特征三角形” ，那么它的“ 特征角” 等于
度．
三、解答题（本大题共8 个小题，共75 分）
16．（8 分）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的角平分线．若∠B＝50°，∠C＝
80°，求∠EAD 的度数．
17．（9 分）如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为AC 中点，连接DE 并延长至点F，使得EF＝
ED，连接CF．
（1）试判断CF 与AB 的位置关系，并说明理由；
5
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，AC 平分∠BCF，求∠A 的度数．
18．（9 分）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是A（﹣2，4），B（﹣3，2），C
（﹣1，1），直线l 经过点（1，0）且与y 轴平行．
（1）若△A1B1C1与△ABC 关于x 轴对称，请写出△A1B1C1三个顶点的坐标：
A1 ，B1 ，C1 ；
（2）请在平面直角坐标系中画出△ABC 关于直线l 对称的图形△A2B2C2；
（3）若点P（m，n）是△ABC 上一点，则点P 关于直线l 对称的点的坐标是 ．
19．（9 分）如图，已知∠AOB＝50°，点C 在边OA 上．请用尺规作图法，在∠AOB 的内部求作一点P，
使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（9 分）如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至点E，使CE＝CD．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若F 是BE 的中点，连接DF，且CF＝2，求△ABC 的周长．
6
21．（9 分）在《全等三角形》学习中，“睿思小组”对课本上的一道题进行深入研究后，尝试将其结论
推广到更一般的情形．请你和他们一起完成探究．
（1）如图1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN 过点C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足
分别为D，E．试探究BE，DE，AD 之间的数量关系，并加以证明；
（2）小组同学通过在几何画板中操作发现，随着图1 中直线MN 位置的变化，BE，DE，AD 之间的数
量关系也会变化．当直线MN 在∠BCA 内部位于图2 所示的位置时，请直接写出BE，DE，AD 之间的
数量关系： ；
（3）小组同学进一步思考：如图3，若AC＝BC 不变，∠BCA＝α，直线MN 过点C 且经过∠BCA 外
部，D 在E 的左侧，且∠BEC＝∠ADC＝α，若BE＝a，DE＝b，则AD 的长为 ．
22．（11 分）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个
有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A 出发，到一条笔直的河边饮马
后再回到点B 宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程最短呢？
【分析问题】小明：如图2，将A，B 两地抽象为两个点，将河流抽象为一条直线l．如图3，小明作点
B 关于直线l 的对称点B'，连接AB'与直线l 交于点C，点C 就是饮马的地方，此时所走的路程AC﹣CB
就是最短的．小智：如图4，在直线l 上另取一点C'（与点C 不重合），连接AC'，BC'，B'C'，只要证
明AC+CB＜AC'+C'B 即可．
【解决问题】
任务一：（1）“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将两点位于直线“同侧”问题，
转化为两点位于直线“异侧”问题来解决．小智在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是
7
．
请你完成下列填空：
如图4，在直线l 上另取任意一点C'（与点C 不重合），连接AC'，BC'，B'C'．
∵点B 与B'关于直线l 对称，
∴直线l 是BB'的垂直平分线．
∴CB＝ ，C′B＝ ．
∴AC+CB＝AC+ ＝ ．
在△AB'C'中，AB'＜AC'+C'B'，∴AB'＜AC'+C'B∴AC+CB＜AC'+C'B，即AC+CB 最小．
任务二：（2）如图5，将军牵马从军营P 处出发，先到河边OA 饮马，再到草地OB 牧马，最后回到P
处，试分别在OA 和OB 上各找一点E，F，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，
最短路径用实线）；
任务三：（3）如图6，等边△ABC 中，D 为AC 的中点，点P，Q 分别为AB，AD 上的点，BP＝AQ＝
8，QD＝6，在BD 上有一动点E，则PE+QE 的最小值为 ．
23．（11 分）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，OP 平分∠MON，点A 为OM 上一点，
过点A 作AC⊥OP，垂足为C，延长AC 交ON 于点B，则△AOC≌△BOC．
（1）【初步感知】
如图1，根据以上条件，容易发现AC 与BC 的数量关系为： ；
（2）【类比解答】
如图2，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，AE⊥CD 于E，若∠B＝35°，∠EAC＝61°，通过上述
构造全等的方法，可求得∠EAD 的度数为 ；
（3）【拓展应用】
8
①如图3，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E 在CD 的延长线
上，试探究BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论；
②如图4，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点F 在线段BC 上，∠EFB = 1
2
∠C，BE⊥EF，垂
足为E，EF 与AB 相交于点D．若△BDF 的面积为36，请直接写出BE 的长 ．
9
2025-2026 学年河南省洛阳市洛龙区八年级（上）期中数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
B
B
C
C
D
A
D
11.三角形具有稳定性 12.AE＝AD（或CE＝BD 或∠AEB＝∠ADC） 13.90 14.6
15.90 或60
选择题、填空题解法提示
10．解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD 和△CAE 中，{
AB = AC
∠BAD =∠CAE
AD = AE
，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
故本选项正确，符合题意；
②∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
故本选项正确，符合题意；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，
故本选项正确，符合题意；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
故此选项正确，符合题意；
故选：D．
15．解：①“特征角”α 为90°；
②“特征角”与“另一个内角”都不是直角时，设“特征角是2x”，
10
由题意得，x+2x＝90°，
解得：x＝30°，
所以，“特征角”是60°，
综上所述，这个“特征角”的度数为90°或60°．
故答案为：90 或60．
解答题参考答案
16．解：∵∠B＝20°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣20°﹣50°＝110°，
∵AE 是∠BAC 的角平分线，
∴∠CAE= 1
2
∠BAC= 1
2 ×110°＝55°，
∵AD 是BC 边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝55°﹣40°＝15°．
17．（1）证明：CF∥AB，
∵E 为AC 中点，
∴AE＝CE，
在△AED 和△CEF 中，
{
AE =CE
∠AED =∠CEF
DE = EF
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵AC 平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠A＝∠ACF，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，
∴2∠A＝130°，
∴∠A＝65°．
11
18．解：（1）由题意得，A1（﹣2，﹣4），B1（﹣3，﹣2），C1（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣4）；（﹣3，﹣2）；（﹣1，﹣1）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）由题意得，点P（m，n）关于直线l 对称的点的坐标是（2﹣m，n）．
故答案为：（2﹣m，n）．
19．解：如图，先作∠AOB 的平分线，再以点C 为圆心，OC 的长为半径画弧，交射线OD 于点P，
∴∠CPO =∠COP =∠BOP = 1
2 ∠AOB =25°，
∴∠AOP＝25°，CP∥OB，
则点P 即为所求．
20．（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
又∵BD 是中线，
∴BD 平分∠ABC，
∴∠DBC = 1
2 ∠ABC =30°．
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE．
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
12
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DB＝DE．
（2）解：由（1）可知DB＝DE，
又∵F 是BE 的中点，
∴DF⊥BE．
∵∠ACB＝60°，
∴∠CDF＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
又∵△CDF 为直角三角形，
∴CF = 1
2 CD，
∴CD＝2CF＝4．
∵BD 是中线，
∴AC＝2CD＝8．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝8，
∴△ABC 的周长＝8+8+8＝24．
21．解：（1）①AD+DE＝BE．
理由如下：
∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ACD 与△CBE 中，
{
∠DAC =∠BCE
∠ADC =∠BEC =90°
AC =CB
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵CE+DE＝CD，
∴AD+DE＝BE；
（2）DE＝AD﹣BE，
13
理由：同理可证得△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣BE；
故答案为：DE＝AD﹣BE；
（3）b﹣a，
理由：同理可证得△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE＝a，AD＝CE，
∵DE＝CE+CD，
∴AD＝CE＝DE﹣DC＝b﹣a；
故答案为：b﹣a．
22．解：（1）由题可知数学依据是两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边”）；
在直线l 上另取任意一点C'（与点C 不重合），连接AC'，BC'，B'C'．
∵点B 与B'关于直线l 对称，
∴直线l 是BB'的垂直平分线．
∴CB＝CB'，C′B＝C'B'，
∴AC+CB＝AC+CB'＝AB'，
在△AB'C'中，AB'＜AC'+C'B'，
∴AB'＜AC'+C'B，
∴AC+CB＜AC'+C'B，即AC+CB 最小．
故答案为：两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边”），CB'，C'B'，CB'，AB'；
（2）如图所示，分别作点P 关于OA，OB 的对称点C、D，连接CD 分别交OA，OB 于E、F，则路线
PE，EF，PF 即为所求．
∵CE＝PE，DF＝PF，则PE+EF+PF＝CE+EF+DF，
根据两点之间线段最短可得路线PE，EF，PF 即为所求．
14
（3）如图，∵△ABC 是等边三角形，
∴BA＝BC，∠A＝60°
∵D 为AC 中点，
∴BD⊥AC，
作点Q 关于BD 的对称点Q′，连接PQ′交BD 于E，连接QE，此时PE+EQ 的值最小．最小值
PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵BP＝AQ＝8，QD＝6，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝14，QD＝DQ′＝6，
∴CQ′＝CD﹣DQ′＝8＝BP，
∴AP＝AQ′＝20，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝20，
∴PE+QE 的最小值为20．
故答案为：20．
23．解：（1）∵OP 平分∠MON，
∴∠BOC＝∠AOC，
∵AC⊥OP，
∴∠BCO＝∠ACO＝90°，
在△OBC 与△OAC 中，
15
{
∠BOC =∠AOC
OC =OC
∠BCO =∠ACO =90°
，
∴△OBC≌△OAC（ASA），
∴AC＝BC，
故答案为：AC＝BC；
（2）∵AE⊥CD，∠EAC＝61°，
∴∠ACD＝90°﹣61°＝29°，
∵CD 是∠ACB 的角平分线，
∴∠ACB＝2∠ACD＝58°，
∴∠BAC＝180°﹣58°﹣35°＝87°，
∴∠EAD＝87°﹣61°＝26°；
故答案为：26°；
（3）①BE = 1
2 CD，理由如下：
延长BE，CA 交于点F，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝180°﹣∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠BAC＝90°，
∴∠F+∠FBA＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠CEF＝90°，
∴∠F+∠ECF＝90°，
∴∠FBA＝∠ECF，
在△ABF 与△ACD 中，
{
∠FBA =∠ECF
AB = AC
∠BAF =∠BAC =90°
，
16
∴△ABF≌△ACD（ASA），
∴BF＝CD，
∵CD 平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE．
在△CEF 与△CEB 中，
{
∠CEB =∠CEF
CE =CE
∠ACE = BCE
，
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴BE＝FE，
∴BE = 1
2 BF，
∴BE = 1
2 CD；
②过F 作FH∥AC 交BE 的延长线于H，交AB 于G，
，
∴△BGF 是等腰直角三角形，
由①可知，BE= 1
2
DF，
∵△BDF 的面积为36，
∴1
2 DF ⋅BE = 1
2 ×2BE×BE =36，
∴BE＝6．
故答案为：6．
