新高考全国Ⅱ卷
一、选择题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．(2021·新高考全国卷II，1)复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．(2021·新高考全国卷II，2)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,6}，B＝{2,3,4}，则
A∩(∁UB)等于( )
A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3}
3．(2021·新高考全国卷II，3)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1 的距离为，则p 等
于( )
A．1 B．2 C．2 D．4
4．(2021·新高考全国卷II，4)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在
卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000
km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是一个球心为O，半径r 为6 400 km
的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地
球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2(1－
cos α)(单位：km2)，则S 占地球表面积的百分比约为( )
A．26 % B．34 % C．42 % D．50 %
5．(2021·新高考全国卷II，5)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其
体积为( )
A．20＋12 B．28
C. D.
6．(2021·新高考全国卷II，6)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不
正确的是( )
A．σ 越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ 越小，该物理量在一次测量中大于10 的概率为0.5
C．σ 越小，该物理量在一次测量中小于9.99 与大于10.01 的概率相等
D．σ 越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
7．(2021·新高考全国卷II，7)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是( )
A．c<b<a
B．b<a<c
C．a<c<b
D．a<b<c
8．(2021·新高考全国卷II，8)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇
函数，则( )
A．f ＝0
B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0
D．f(4)＝0
二、选择题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分)
9．(2021·新高考全国卷II，9)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是(
)
A．样本x1，x2，…，xn的标准差
B．样本x1，x2，…，xn的中位数
C．样本x1，x2，…，xn的极差
D．样本x1，x2，…，xn的平均数
10．(2021·新高考全国卷II，10)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，
M，N 为正方体的顶点．则满足MN⊥OP 的是( )
11．(2021·新高考全国卷II，11)已知直线l：ax＋by－r2＝0 与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，
b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离
C．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离
D．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切
12．(2021·新高考全国卷II，12)设正整数n＝a0·20＋a1·2＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中
ai∈{0,1}，记ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak.则( )
A．ω(2n)＝ω(n)
B．ω(2n＋3)＝ω(n)＋1
C．ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)
D．ω(2n－1)＝n
三、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分)
13．(2021·新高考全国卷II，13)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲
线C 的渐近线方程为________．
14．(2021·新高考全国卷II，14)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；
②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；
③f′(x)是奇函数．
15．(2021·新高考全国卷II，15)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a
＝________.
16．(2021·新高考全国卷II，16)已知函数f(x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f(x)的图象在点
A(x1，f(x1))和点B(x2，f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则的取值范
围是________．
四、解答题(本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(2021·新高考全国卷II，17)记Sn是公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和，若a3＝S5，
a2a4＝S4.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求使Sn>an成立的n 的最小值．
18．(2021·新高考全国卷II，18)在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，b＝a
＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC 的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理
由．
19．(2021·新高考全国卷II，19)在四棱锥Q－ABCD 中，底面ABCD 是正方形，若AD＝
2，QD＝QA＝，QC＝3.
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角B－QD－A 的平面角的余弦值．
20．(2021·新高考全国卷II，20)已知椭圆C 的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且
离心率为.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设M，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F 三点
共线的充要条件是|MN|＝.
21．(2021·新高考全国卷II，21)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个
这种微生物为第0 代，经过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2 代……，该微生
物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1 个微生物个体繁殖下一代的
个数，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3)．
(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；
(2)设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：p0＋p1x＋p2x2
＋p3x3＝x 的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1 时，p＝1，当E(X)>1 时，p<1；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
22．(2021·新高考全国卷II，22)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．
①<a≤，b>2a；
②0<a<，b≤2a.
答案精析
1．A [＝＝＝，所以该复数对应的点为，该点在第一象限．]
2．B [由题设可得∁UB＝{1,5,6}，故A∩(∁UB)＝{1,6}．]
3．B [抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0 的距离d＝＝，解得p＝2(p＝－6 舍
去)．]
4．C [由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为
＝＝≈0.42＝42 %.]
5．D [作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，
因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，
所以该棱台的高h＝＝，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝××(16＋4＋)＝.]
6．D [对于A，σ2为数据的方差，所以σ 越小，数据在μ＝10 附近越集中，所以测量结果
落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A 正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10 的概率为0.5，故B
正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01 的概率与小
于9.99 的概率相等，故C 正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所
以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D 错误．]
7．C [a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b.]
8．B [因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，
因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，
所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，即f(x)＝f(x＋4)，
故函数f(x)是以4 为周期的周期函数，
又f(1)＝0，故f(－1)＝f(5)＝f(1)＝0，其他三个选项未知．]
9．AC [由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势．]
10．BC [设正方体的棱长为2，
对于A，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，
故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN 所成的角，
在Rt△OPC 中，OC＝，CP＝1，
故tan∠POC＝＝，
故MN⊥OP 不成立，故A 错误．
对于B，如图(2)所示，取AN 的中点B，连接PB，OB，
则OP＝＝，PB＝，OB＝＝，
所以OP2＋PB2＝OB2，所以OP⊥PB，又PB∥MN，所以OP⊥MN.
图(2)
对于C，如图(3)所示，取AD 的中点C，连接OC，PC，BD，因为P，C 分别是DE，AD 的
中点，所以CP⊥BD，又OC⊥平面ADEB，BD⊂平面ADEB，
所以OC⊥BD ，又OC∩CP ＝C ，OC ，CP⊂平面OCP ，所以BD⊥平面OCP ，所以
BD⊥OP，又BD∥MN，所以OP⊥MN.
图(3)
对于D，如图(4)所示，取AN 的中点B，ME 的中点F，连接PB，BF，OF，
若OP⊥MN，又OF⊥平面MENA，所以OF⊥MN，所以MN⊥平面OFBP，
所以MN⊥BF，显然，MN 与BF 不可能垂直，所以OP⊥MN 不成立．
图(4)]
11．ABD [圆心C(0,0)到直线l 的距离d＝，
若点A(a，b)在圆C 上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；
若点A(a，b)在圆C 内，则a2＋b2<r2，所以d＝>|r|，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；
若点A(a，b)在圆C 外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；
若点A(a，b)在直线l 上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，则直线l 与圆C 相切，故D 正确．]
12．ACD [对于A 选项，ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak,2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，
所以ω(2n)＝a0＋a1＋…＋ak＝ω(n)，A 选项正确；
对于B 选项，取n＝2,2n＋3＝7＝1·20＋1·21＋1·22，所以ω(7)＝3，
而2＝0·20＋1·21，则ω(2)＝1，即ω(7)≠ω(2)＋1，B 选项错误；
对于C 选项，8n＋5＝a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3＋5＝1·20＋1·22＋a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3，
所以ω(8n＋5)＝2＋a0＋a1＋…＋ak，
4n＋3＝a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2＋3＝1·20＋1·21＋a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2，
所以ω(4n＋3)＝2＋a0＋a1＋…＋ak，因此ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)，C 选项正确；
对于D 选项，2n－1＝20＋21＋…＋2n－1，故ω(2n－1)＝n，D 选项正确．]
13．y＝±x
解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
14．f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满足)
解析 取f(x)＝x4，则f(x1x2)＝(x1x2)4＝xx＝f(x1)f(x2)，满足①，
f′(x)＝4x3，x>0 时有f′(x)>0，满足②，
f′(x)＝4x3的定义域为R，
又f′(－x)＝－4x3＝－f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③.
15．－
解析 由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此a·b＋b·c＋c·a＝－.
16．(0,1)
解析 由题意得，f(x)＝|ex－1|＝
则f′(x)＝
所以点A(x1,1－
)和点B(x2，
－1)，kAM＝－
，kBN＝
，
所以－
·
＝－1，x1＋x2＝0，
所以AM：y－1＋
＝－
(x－x1)，M(0，
x1－
＋1)，
所以|AM|＝
＝
·|x1|，
同理|BN|＝
·|x2|，
所以＝
＝
＝
＝
∈(0,1)．
17．解 (1)由等差数列的性质可得S5＝5a3，则a3＝5a3，∴a3＝0，
设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，从而－d2＝－2d，由于公差不为
零，故d＝2，
∴数列的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－6.
(2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n，
则不等式Sn>an，即n2－5n>2n－6，
整理可得(n－1)(n－6)>0，
解得n<1 或n>6，又n 为正整数，故n 的最小值为7.
18．解 (1)因为2sin C＝3sin A，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，cos C＝
＝，所以C 为锐角，则sin C＝＝，
因此，S△ABC＝absin C＝×4×5×＝.
(2)显然c>b>a，若△ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，
由余弦定理可得
cos C＝＝
＝<0，
则0<a<3，
由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，因为a∈N*，故a＝2.
19．(1)证明 如图，取AD 的中点为O，连接QO，CO.
因为QA＝QD，OA＝OD，则QO⊥AD，
而AD＝2，QA＝，故QO＝＝2.
在正方形ABCD 中，因为AD＝2，故DO＝1，故CO＝，
因为QC＝3，故QC2＝QO2＋OC2，故△QOC 为直角三角形且QO⊥OC，
因为OC∩AD＝O，故QO⊥平面ABCD，
因为QO⊂平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.
(2)解 在平面ABCD 内，过O 作OT∥CD，交BC 于T，则OT⊥AD，
结合(1)中的QO⊥平面ABCD，故可建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0,1,0)，Q(0,0,2)，B(2，－1,0)，故BQ＝(－2,1,2)，BD＝(－2,2,0)．
设平面QBD 的法向量n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝1，z＝，
故n＝.而平面QAD 的法向量为m＝(1,0,0)，故cos〈m，n〉＝＝＝.
二面角B－QD－A 的平面角为锐角，故其余弦值为.
20．(1)解 由题意得，椭圆半焦距c＝且e＝＝，
所以a＝，
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明 由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN 的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；
当直线MN 的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
必要性：
若M，N，F 三点共线，可设直线MN：y＝k(x－)，
即kx－y－k＝0，
由直线MN 与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，
联立
可得4x2－6x＋3＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|MN|＝·＝，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋b(kb<0)，即kx－y＋b＝0，
由直线MN 与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以b2＝k2＋1，
联立
可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，
所以|MN|＝·＝
＝·＝，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或
所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋，
所以直线MN 过点F(，0)，M，N，F 三点共线，充分性成立，
所以M，N，F 三点共线的充要条件是|MN|＝.
21．(1)解 E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
(2)证明 设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0，
因为p3＋p2＋p1＋p0＝1，故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0，
若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1，故p2＋2p3≤p0.
f′(x)＝3p3x2＋2p2x－(p2＋p0＋p3)，
因为f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p0≤0，
故f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1<0<1≤x2，
且x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，
若x2＝1，因为f(x)在(x1，x2)上单调递减且f(1)＝0，
而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(x1，x2)上单调递减，故f(x)>f(x2)＝f(1)＝0，
故1 为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x 的一个最小正实根，
若x2>1，因为f(1)＝0 且在(0，x2)上单调递减，故1 为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x 的一个最小正实
根，
综上，若E(X)≤1，则p＝1.
若E(X)>1，则p1＋2p2＋3p3>1，故p2＋2p3>p0.
此时f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p0>0，
故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3<0<x4<1，
且x∈(－∞，x3)∪(x4，＋∞)时，f′(x)>0；x∈(x3，x4)时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，x3)，(x4，＋∞)上单调递增，在(x3，x4)上单调递减，
而f(1)＝0，故f(x4)<0，
又f(0)＝p0>0，故f(x)在(0，x4)上存在一个零点 p，且p<1.
所以p 为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x 的一个最小正实根，此时p<1，
故当E(X)>1 时，p<1.
(3)解 意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后
代的平均数超过1，则若干代后灭绝的概率小于1.
22．解 (1)由函数的解析式可得f′(x)＝x(ex－2a)，
当a≤0 时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；
当0<a<时，若x∈(－∞，ln(2a))，则f′(x)>0，f(x)单调递增，
若x∈(ln(2a)，0)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；
当a＝时，f′(x)≥0，f(x)在R 上单调递增；
当a>时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0，f(x)单调递增，
若x∈(0，ln(2a))，则f′(x)<0，f(x)单调递减，
若x∈(ln(2a)，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)若选择条件①：
由于<a≤，故1<2a≤e2，则b>2a>1，f(0)＝b－1>0，
f ＝
－a×＋b<0，
而函数在区间(－∞，0)上单调递增，故函数在区间(－∞ ,0)上有一个零点．
f(ln(2a))＝2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋b
>2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋2a
＝2aln(2a)－a[ln(2a)]2
＝aln(2a)[2－ln(2a)]，
由于<a≤，1<2a≤e2，故aln(2a)[2－ln(2a)]≥0，
结合函数的单调性可知函数在区间(0，＋∞)上没有零点．
综上可得，题中的结论成立．
若选择条件②：
由于0<a<，故2a<1，则f(0)＝b－1≤2a－1<0，
当b≥0 时，e2>4,4a<2，f(2)＝e2－4a＋b>0，
而函数在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数在区间(0，＋∞)上有一个零点．
当b<0 时，构造函数H(x)＝ex－x－1，则H′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，H′(x)<0，H(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，H′(x)>0，H(x)单调递增，
注意到H(0)＝0，故H(x)≥0 恒成立，从而有ex≥x＋1，此时：
f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b≥(x－1)(x＋1)－ax2＋b＝(1－a)x2＋b－1(x≥1)，
当x>时，(1－a)x2＋b－1>0，
取x0＝＋1，则f(x0)>0，
即f(0)<0，f >0，
而函数在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数在区间(0，＋∞)上有一个零点．
f(ln(2a))＝2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋b
≤2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋2a
＝2aln(2a)－a[ln(2a)]2
＝aln(2a)[2－ln(2a)]，
由于0<a<，0<2a<1，故aln(2a)[2－ln(2a)]<0，
结合函数的单调性可知函数在区间(－∞，0)上没有零点．
综上可得，题中的结论成立．
