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2021 年普通高等学校招生全国统一考试 全国乙卷（文）
数学
一、选择题(本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，则∁U(M∪N)等于( )
A．{5}
B．{1,2}
C．{3,4}
D．{1,2,3,4}
答案 A
解析 方法一 (先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．
又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．
方法二 (先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)，∁UM＝{3,4,5}，∁UN＝{1,2,5}，所
以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．
2．设iz＝4＋3i，则z 等于( )
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i
答案 C
解析 方法一 (转化为复数除法运算)因为iz＝4＋3i，所以z＝＝＝＝3－4i.
方法二 (利用复数的代数形式)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由iz＝4＋3i，可得i(a＋bi)＝4＋
3i，即－b＋ai＝4＋3i，所以
即所以z＝3－4i.
方法三 (巧用同乘技巧)因为iz＝4＋3i，所以iz·i＝(4＋3i)·i，所以－z＝4i－3，所以z＝3
－4i.
3．已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1.则下列命题中为真命题的是(
)
A．p∧q
B．綈p∧q
C．p∧綈q
D．綈(p∨q)
答案 A
解析 由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p 为真命题．对
任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1 成立，故命题q 为真命题，所以命题p∧q 为真命题．
4．函数f(x)＝sin ＋cos 最小正周期和最大值分别是( )
A．3π 和
B．3π 和2
C．6π 和
D．6π 和2
答案 C
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解析 因为函数f(x)＝sin ＋cos
＝
＝＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.
5．若x，y 满足约束条件则z＝3x＋y 的最小值为( )
A．18 B．10 C．6 D．4
答案 C
解析 方法一 (数形结合法)作出可行域如图中阴影部分所示，
作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y＝－3x＋
z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．
解方程组得即点A 的坐标为(1,3)．从而z＝3x＋y 的最小值为3×1＋3＝6.
方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以
只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．
易知直线x＋y＝4 与y＝3 的交点坐标为(1,3)，直线x＋y＝4 与x－y＝2 的交点坐标为(3,1)，
直线x－y＝2 与y＝3 的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z＝3x＋y 可得z 的
值分别为6,10,18，所以比较可知zmin＝6.
方法三 (巧用不等式的性质)因为x＋y≥4，所以3x＋3y≥12.①
因为y≤3，所以－2y≥－6.②
于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，
当且仅当x＋y＝4 且y＝3，即x＝1，y＝3 时不等式取等号，易知此时不等式x－y≤2 成立．
6．cos2 －cos2 等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 (公式法)因为cos ＝sin＝sin ，所以cos2 －cos2 ＝cos2 －sin2 ＝cos＝cos ＝.
方法二 (构造法)设cos2 －cos2 ＝a，sin2 －sin2
＝b，则a＋b＝－
＝1－1＝0，①
a－b＝－＝cos－cos＝cos －cos
＝2cos ＝，②
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所以根据①＋②可得2a＝，即a＝，
即cos2 －cos2 ＝.
方法三 (代值法)因为cos ＝，cos ＝，所以cos2 －cos2
＝2－2＝.
7．在区间随机取一个数，则取到的数小于的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为区间的长度为，区间的长度为，所以在区间随机取一个数，则取到的数小于的
概率P＝÷＝.
8．若x，y 满足约束条件则z＝3x＋y 的最小值为( )
A．18 B．10 C．6 D．4
答案 C
解析 方法一 (数形结合法)作出可行域如图中阴影部分所示，
作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y＝－3x＋
z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．
解方程组得即点A 的坐标为(1,3)．从而z＝3x＋y 的最小值为3×1＋3＝6.
方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以
只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．
易知直线x＋y＝4 与y＝3 的交点坐标为(1,3)，直线x＋y＝4 与x－y＝2 的交点坐标为(3,1)，
直线x－y＝2 与y＝3 的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z＝3x＋y 可得z 的
值分别为6,10,18，所以比较可知zmin＝6.
方法三 (巧用不等式的性质)因为x＋y≥4，所以3x＋3y≥12.①
因为y≤3，所以－2y≥－6.②
于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，
当且仅当x＋y＝4 且y＝3，即x＝1，y＝3 时不等式取等号，易知此时不等式x－y≤2 成立．
9．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1
B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1
D．f(x＋1)＋1
答案 B
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解析 方法一 因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称．
方法二 f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移
一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P 为B1D1的中点，则直线PB 与AD1所成的角为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 如图，
连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1 是正方体，且P 为B1D1 的中点，所以C1P⊥B1D1，又
C1P⊥BB1 ，所以C1P⊥平面B1BP. 又BP⊂平面B1BP ，所以C1P⊥BP. 连接BC1 ，则
AD1∥BC1，所以∠PBC1 为直线PB 与AD1 所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为
2，则在Rt△C1PB 中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝.
方法二 如图所示，
连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB 与AD1所成的角等于直线PB
与BC1所成的角．根据P 为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共
线，且P 为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1
＝，又P 为A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝.
11．设B 是椭圆C：＋y2＝1 的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( )
A. B. C. D．2
答案 A
解析 方法一 (消元转化法)设点P(x，y)，则根据点P 在椭圆＋y2＝1 上可得x2＝5－5y2.易
知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y
＋6＝－2.
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当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.
方法二 (利用椭圆的参数方程)因为点P 在椭圆＋y2＝1 上，所以可设点P(cos θ，sin θ)．
易知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sin θ＋
2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝－2.易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|
PB|max＝.
12．设a≠0，若x＝a 为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )
A．a<b
B．a>b
C．ab<a2
D．ab>a2
答案 D
解析 方法一 (分类与整合法)因为函数f(x)＝a(x－a)2·(x－b)，所以f′(x)＝2a(x－a)(x－b)
＋a(x－a)2＝a(x－a)·(3x－a－2b)．令f′(x)＝0，结合a≠0 可得x＝a 或x＝.
(1)当a>0 时，
①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在上单调递减，所以x＝a 为
函数f(x)的极大值点，满足题意；
②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R 上单调递增，无极值点，不满足题意；
③若<a，即b<a，此时易知函数f(x)在上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以x＝a 为
函数f(x)的极小值点，不满足题意．
(2)当a<0 时，
①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递减，在上单调递增，所以x＝a 为
函数f(x)的极小值点，不满足题意；
②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R 上单调递减，无极值点，不满足题意；
③若<a，即b<a，此时易知函数f(x)在上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，所以x＝a 为
函数f(x)的极大值点，满足题意．
综上，a>0 且b>a 满足题意，a<0 且b<a 也满足题意．因此，可知必有ab>a2成立．
方法二 当a＝1，b＝2 时，函数f(x)＝(x－1)2·(x－2)，画出该函数的图象如图1 所示，可
知x＝1 为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝1，b＝2 可判断选项B，C 错误；
当a＝－1，b＝－2 时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，画出该函数的图象如图2 所示，可知x
＝－1 为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝－1，b＝－2 可判断选项A 错误．
图1 图2
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方法三 当a>0 时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图3 所示，观察可知b>a.
图3
当a<0 时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图4 所示，观察可知a>b.
图4
综上，可知必有ab>a2成立．
二、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分)
13．已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.
答案
解析 方法一 (定义法)因为a∥b，所以a＝kb，即(2,5)＝k(λ，4)，得解得
方法二 (结论法)因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，
解得λ＝.
14．双曲线－＝1 的右焦点到直线x＋2y－8＝0 的距离为________．
答案
解析 由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3,0)，所
以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0 的距离d＝＝.
15．记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则
b＝________.
答案 2
解析 由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝
a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥
的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即
可．)
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答案 ③④(答案不唯一，②⑤也可)
解析 根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤
只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或
②⑤.若是③④，则原几何体如图1 所示；若是②⑤，则原几何体如图2 所示．
三、解答题(共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题(共60 分)
17．(12 分)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无
提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.
1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s 和s.
(1)求，，s，s；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果－≥2，则认为新
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
解 (1)由表格中的数据易得
＝
＋10.0
＝10.0，
＝
＋10.0
＝10.3，
s ＝×[(9.7 －10.0)2 ＋2×(9.8 －10.0)2 ＋(9.9 －10.0)2 ＋2×(10.0 －10.0)2 ＋(10.1 －10.0)2 ＋
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2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，
s＝×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋
(10.6－10.3)2]＝0.04.
(2)由(1)中数据可得－＝10.3－10.0＝0.3，而2＝＝，显然有－>2 成立，所以认为新设备生
产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
18.(12 分)如图，四棱锥P－ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M 为BC 的中点，且
PB⊥AM.
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD 的体积．
(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，
∴PD⊥AM.
∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，
∴AM⊥平面PBD.
又AM⊂平面PAM，
∴平面PAM⊥平面PBD.
(2)解 ∵M 为BC 的中点，∴BM＝AD.
由题意知AB＝DC＝1.
∵AM⊥平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AM⊥BD，
由∠BAM＋∠MAD＝90°，∠MAD＋∠ADB＝90°，得∠BAM＝∠ADB，
易得△BAM∽△ADB，∴＝，
即＝，得AD＝，
∴S 矩形ABCD＝AD·DC＝×1＝，
则四棱锥P－ABCD 的体积VP－ABCD＝S 矩形ABCD·PD＝××1＝.
19．(12 分)设{an}是首项为1 的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n 项和．证明：Tn<.
(1)解 设{an}的公比为q，则an＝qn－1.
因为a1,3a2,9a3成等差数列，
所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，
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故an＝，bn＝.
(2)证明 由(1)知Sn＝＝，
Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－，
整理得Tn＝－，
则2Tn－Sn＝2－＝－<0，故Tn<.
20．(12 分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2.
(1)求C 的方程；
(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ＝9QF，求直线OQ 斜率的最大值．
解 (1)由抛物线的定义可知，焦点F 到准线的距离为p，故p＝2，
所以C 的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则PQ＝(x2－x1，y2－y1)，QF＝(1－x2，－y2)，
因为PQ＝9QF，所以
可得
又点P 在抛物线C 上，所以y＝4x1，
即(10y2)2＝4(10x2－9)，化简得y＝x2－，
则点Q 的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ 的方程为y＝kx，易知当直线OQ 与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大，
联立y＝kx 与y2＝x－并化简，得k2x2－x＋＝0，
令Δ＝2－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直线OQ 斜率的最大值为.
21．(12 分)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．
解 (1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a
＝4(1－3a)．
①当a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R 上单调递增；
②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，
解得x1＝，x2＝，
令f′(x)>0，则x<x1或x>x2；
令f′(x)<0，则x1<x<x2.
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所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
综上，当a≥时，f(x)在R 上单调递增；当a<时，f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增．
(2)记曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，x－x＋ax0＋1)，
因为f′(x0)＝3x－2x0＋a，所以切线l 的方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0)．
由l 过坐标原点，得2x－x－1＝0，解得x0＝1，所以切线l 的方程为y＝(1＋a)x.
令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x，则x3－x2－x＋1＝0，解得x＝±1，所以曲线y＝f(x)过坐标原点
的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1,1＋a)和(－1，－1－a)．
(二)选考题(共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分)
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10 分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心为C(2,1)，
半径为1.
(1)写出圆C 的一个参数方程；
(2)过点F(4,1)作⊙C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
这两条切线的极坐标方程．
解 (1)因为⊙C 的圆心为(2,1)，半径为1，所以⊙C 的参数方程为(θ 为参数)．
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时圆心到直线距离为2>r，舍去；
当直线斜率存在时，设切线y＝k(x－4)＋1，即kx－y－4k＋1＝0，
故＝1，即|2k|＝，
4k2＝1＋k2，解得k＝±.
故直线方程为y＝(x－4)＋1 或y＝－(x－4)＋1.
故两条切线的极坐标方程为
ρsin θ＝ρcos θ－＋1 或
ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1.
即ρsin＝2－或ρsin＝2＋.
23．[选修4－5：不等式选讲](10 分)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.
(1)当a＝1 时，求不等式f(x)≥6 的解集；
(2)若f(x)>－a，求a 的取值范围．
解 (1)当a＝1 时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，
即求|x－1|＋|x＋3|≥6 的解集，
当x≥1 时，2x＋2≥6，得x≥2；
当－3<x<1 时，4≥6，此时没有x 满足条件；
当x≤－3 时，－2x－2≥6，得x≤－4.
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综上，不等式f(x)≥6 的解集为{x|x≤－4 或x≥2}．
(2)f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|a＋3|，
当且仅当(x－a)(x＋3)≤0 时，等号成立．
所以f(x)min＝|a＋3|>－a，
当a<－3 时，－a－3>－a，无解；
当a≥－3 时，a＋3>－a，解得a>－，
综上所述，a 的取值范围是.
