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2025 年高考全国Ⅰ卷
一、单选题
1.(1+5i)i 的虚部为( )
A.-1
B.0
C.1
D.6
答案 C
解析 因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i，所以其虚部为1.
2.已知集合U={x|x 是小于9 的正整数}，A={1，3，5}，则∁UA 中元素的个数为( )
A.0
B.3
C.5
D.8
答案 C
解析 因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5}，所以∁UA={2，4，6，7，8}，故∁UA 中元素的
个数为5.
3.已知双曲线C 的虚轴长是实轴长的√7倍，则C 的离心率为( )
A.√2
B.2
C.√7
D.2√2
答案 D
解析 设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，
由题意知b=√7a，
于是c2=a2+b2=a2+7a2=8a2，则c=2√2a，
即e=c
a=2√2.
4.已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan(x - π
3)的图象的一个对称中心，则a 的最小值为( )
A.π
6
B.π
3
C.π
2
D.4 π
3
答案 B
解析 y=2tan(x - π
3)的对称中心的横坐标满足x-π
3 =k π
2 ，k∈Z，即x=π
3 +k π
2 ，k∈Z，
所以y=2tan(x - π
3)的图象的对称中心是(
π
3 + k π
2 ，0)，k∈Z，
即a=π
3 +k π
2 ，k∈Z，
又a>0，则当k=0 时，a 最小，最小值是π
3 .
5.已知f(x)是定义在R 上且周期为2 的偶函数，当2≤x≤3 时，f(x)=5-2x，则f(- 3
4)等于( )
A.-1
2
B.-1
4
C.1
4
D.1
2
答案 A
解析 由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R 成立，
于是f (- 3
4)=f (
3
4)=f (
11
4 )=5-2×11
4 =-1
2.
6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风
速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对
应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员
在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则
该时刻的真风为( )
级数
名称
风速大小(单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A.轻风
B.微风
C.和风
D.劲风
答案 A
解析 由题意及题图得，视风风速对应的向量为n=(0，2)-(3，3)=(-3，-1)，
视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，
船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，
设真风风速对应的向量为n1，船行风风速对应的向量为n2，
∴n=n1+n2，n2=-[(3，3)-(2，0)]=(-1，-3)，
∴n1=n-n2=(-3，-1)-(-1，-3)=(-2，2)，
∴|n1|=√(-2)
2+2
2=2√2≈2.828，
由表格可得，该时刻的真风为轻风.
7.已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=√3x+2 的距离为1 的点有且仅有两个，则r 的取值范围是( )
A.(0，1)
B.(1，3)
C.(3，+∞)
D.(0，+∞)
答案 B
解析 由题意，在圆x2+(y+2)2=r2(r>0)中，圆心为E(0，-2)，半径为r，
∵圆心E(0，-2)到直线y=√3x+2 的距离为d=|0×√3+(-2)×(-1)+2|
√(√3)
2+(-1)
2
=2，
故由图可知，
当r=1 时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有1 个点(A 点)到直线y=√3x+2 的距离等于1；
当r=3 时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有3 个点(B，C，D 点)到直线y=√3x+2 的距离等于1，
则当r 的取值范围为(1，3)时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有2 个点到直线y=√3x+2 的距离等于1.
8.已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z 的大小关系不可能为( )
A.x>y>z
B.x>z>y
C.y>x>z
D.y>z>x
答案 B
解析 方法一 设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，
令m=2，则x=1，y=3-1=1
3，z=5-3= 1
125，此时x>y>z，A 有可能；
令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C 有可能；
令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D 有可能.
方法二 设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，所以x=2m-2，y=3m-3，z=5m-5，
根据指数函数的单调性，易知各方程有唯一的实数解，
作出函数y=2x-2，y=3x-3，y=5x-5的图象，以上方程的解分别是函数y=2x-2，y=3x-3，y=5x-5的图象与直线x=m 的
交点纵坐标，如图所示.
易知，随着m 的变化可能出现x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.
方法三 (数形结合法)
2+log2x=3+log3y=5+log5z
⇔2+ln x
ln2=3+ln y
ln3 =5+ln z
ln5
⇔-1+ln x
ln2=ln y
ln3 =2+ln z
ln5，
因此只需比较ln x，ln y，ln z 的大小，将ln x，ln y，ln z 看作是自变量，作出如图所示的直线，
则图中直线y=-1+ln x
ln 2，y=ln x
ln3，y=2+ln x
ln5 与虚线的交点的横坐标分别为ln x，ln y，ln z，
由图可知不可能出现ln x>ln z>ln y，即不可能出现x>z>y.
二、多选题
9.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D 为BC 的中点，则( )
A.AD⊥A1C
B.B1C1⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1
D.CC1∥平面AA1D
答案 BD
解析 方法一 如图，设D1为B1C1的中点，
由题意得AA1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，则AD⊥AA1，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C=A1，AA1，
A1C⊂平面AA1C，则AD⊥平面AA1C，因为AC⊂平面AA1C，则AD⊥AC，矛盾，故A 错误；
由题意知AD⊥BC，AA1⊥BC，
又AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面AA1D，
则BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B 正确；
由题意得AD∥A1D1，假设AD∥A1B1，则A1D1∥A1B1，与A1B1∩A1D1=A1矛盾，则AD∥A1B1不成立，故C 错
误；
由题意得CC1∥AA1，又CC1⊄平面AA1D，AA1⊂平面AA1D，故CC1∥平面AA1D，故D 正确.
方法二 对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
又AD⊂平面ABC，则AA1⊥AD，则⃗A1 A·⃗AD=0，
因为△ABC 是正三角形，D 为BC 的中点，则AD⊥BC，则⃗DC·⃗AD=0.
又⃗A1C=⃗A1 A+⃗AD+⃗DC，
所以⃗A1C·⃗AD=(⃗A1 A+⃗AD+⃗DC)·⃗AD=⃗A1 A·⃗AD+⃗AD
2+⃗DC·⃗AD=⃗AD
2≠0，
则AD⊥A1C 不成立，故A 错误；
对于B，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC，
因为△ABC 是正三角形，D 为BC 的中点，则AD⊥BC，
又AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面AA1D，
所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B 正确；
对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，
假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB=A 矛盾，
所以AD∥A1B1不成立，故C 错误；
对于D，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，
又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D 正确.
方法三 如图，建立空间直角坐标系，设AB=2，该正三棱柱的高为h，
则D(0，0，0)，A(√3，0，0)，A1(√3，0，h)，C(0，-1，0)，C1(0，-1，h)，B1(0，1，h)，
对于A，⃗AD=(-√3，0，0)，⃗A1C=(-√3，-1，-h)，
则⃗AD·⃗A1C=(-√3)×(-√3)+0+0=3≠0，
则AD⊥A1C 不成立，故A 错误；
对于B，D，⃗B1C1=(0，-2，0)，⃗C C1=(0，0，h)，⃗A A1=(0，0，h)，
设平面AA1D 的法向量为n=(x，y，z)，
则{⃗
A A1·n=hz =0,⃗
AD·n=-√3 x =0,
得x=z=0，令y=1，则n=(0，1，0)，
所以⃗B1C1=(0，-2，0)=-2n，⃗C C1·n=0，
则B1C1⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故B，D 正确；
对于C，⃗AD=(-√3，0，0)，⃗A1B1=(-√3，1，0)，
则-√3
-√3 ≠0
1，显然AD∥A1B1不成立，故C 错误.
10.已知抛物线C：y2=6x 的焦点为F，过F 的一条直线交C 于A，B 两点，过A 作直线l：x=-3
2的垂线，垂
足为D，过F 且与直线AB 垂直的直线交l 于点E，则( )
A.|AD|=|AF|
B.|AE|=|AB|
C.|AB|≥6
D.|AE|·|BE|≥18
答案 ACD
解析 方法一 对于A，抛物线C：y2=6x，
则p=3，其准线为l：x=-3
2，焦点F(
3
2 ，0)，
因为点A 在抛物线C 上，
由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A 正确；
对于B，过点B 作准线l 的垂线，垂足为P，如图，
由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，
又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB 为Rt△ABE 的斜边，则|AE|<|AB|，故B 错误；
对于C，易知直线AB 的斜率不为0，
设直线AB 的方程为x=my+3
2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立{
x =my + 3
2 ,
y
2=6 x ,
消去x，得y2-6my-9=0，
易知Δ>0，则y1+y2=6m，y1y2=-9，
又x1=my1+3
2，x2=my2+3
2，
所以|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+3+3=6m2+6≥6，
当且仅当m=0 时取等号，故C 正确；
对于D，在Rt△ABE 与Rt△AEF 中，∠BAE=∠EAF，
所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则| AE|
| AB| =| AF |
| AE| ，即|AE|2=|AF|·|AB|，
同理|BE|2=|BF|·|AB|，
又|AF|·|BF|=(x1+ 3
2)(x2+ 3
2)=(my1+3)(my2+3)
=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=-9m2+18m2+9=9(m2+1)，
|AB|=6m2+6=6(m2+1)，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=9(m2+1)×36(m
2+1)
2，
则|AE|·|BE|=3(m
2+1)
1
2×6(m2+1)=18(m
2+1)
3
2≥18，当且仅当m=0 时取等号，故D 正确.
方法二 对于A，抛物线C：y2=6x，
则p=3，其准线为l：x=-3
2，焦点F(
3
2 ，0)，
则|AD|为抛物线上的点A 到准线的距离，|AF|为抛物线上的点A 到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A 正确；
对于B，过点B 作准线l 的垂线，垂足为P，
由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，
又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB 为Rt△ABE 的斜边，则|AE|<|AB|，故B 错误；
对于C，当直线AB 的斜率不存在时，|AB|=2p=6；
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=k(x - 3
2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立{
y =k(x - 3
2),
y
2=6 x ,
消去y，得k2x2-(3k2+6)x+9
4 k2=0，
易知Δ>0，则x1+x2=3+ 6
k
2，x1x2=9
4 ，
所以|AB|=√1+ k
2|x1-x2|=√1+ k
2×√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2
=√1+k
2×√(3+ 6
k
2)
2
-9=6(1+ 1
k
2)>6，
综上，|AB|≥6，故C 正确；
对于D，在Rt△ABE 与Rt△AEF 中，∠BAE=∠EAF，
所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则| AE|
| AB| =| AF |
| AE| ，即|AE|2=|AF|·|AB|，
同理|BE|2=|BF|·|AB|，
当直线AB 的斜率不存在时，|AB|=6，|AF|=|BF|=1
2|AB|=3，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=3×3×62，即|AE|·|BE|=18；
当直线AB 的斜率存在时，|AB|=6(1+ 1
k
2)，
|AF|·|BF|=(x1+ 3
2)(x2+ 3
2)=x1x2+3
2(x1+x2)+9
4 =9
4 +3
2(3+ 6
k
2)+9
4 =9(1+ 1
k
2)，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=9(1+ 1
k
2)×36(1+ 1
k
2)
2
，
则|AE|·|BE|=3(1+ 1
k
2)
1
2×6(1+ 1
k
2)=18(1+ 1
k
2)
3
2>18，
综上，|AE|·|BE|≥18，故D 正确.
方法三 易知l 为抛物线的准线，点A 在抛物线C 上，由抛物线的定义可知A 选项正确；
设∠AFx=θ，易证△ADE≌△AFE，则∠DAE=∠EAF=θ
2，
因为|AF|=|AD|=|AF|·cos θ+p，
所以|AF|=
p
1-cosθ ，同理|BF|=
p
1+cosθ ，
所以|AE|=
| AF |
cos θ
2
=
p
(1-cosθ)cos θ
2
，
则|AB|=|AF|+|BF|=
p
1-cosθ +
p
1+cosθ = 2 p
sin
2θ ≠|AE|，选项B 错误；
|AB|= 2 p
sin
2θ ≥2p=6，选项C 正确；
由∠DAE=∠EAF=θ
2，则AE 为抛物线C 的切线，同理BE 也为抛物线C 的切线，
由阿基米德三角形可知AE⊥BE，
|AE||BE|=|AB|·|EF|= 2 p
sin
2θ ·
p
sinθ = 18
sin
3θ ≥18，选项D 正确.
11.已知△ABC 的面积为1
4 ，cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=1
4 ，则( )
A.sin C=sin2A+sin2B
B.AB=√2
C.sin A+sin B=√6
2
D.AC2+BC2=3
答案 ABC
解析 cos 2A+cos 2B+2sin C=2，由二倍角公式，得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2，
整理可得sin C=sin2A+sin2B，A 选项正确；
方法一 由诱导公式得，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，
展开可得sin Acos B+sin Bcos A=sin2A+sin2B，
即sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0，
若A+B=π
2 ，则sin A=cos B，sin B=cos A，可知等式成立；
若A+B<π
2 ，即0<A<π
2 -B，
由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin A<sin(
π
2 - B)=cos B，
同理sin B<cos A，
又sin A>0，sin B>0，于是sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)<0，
与条件不符，故A+B<π
2 不成立；
若A+B>π
2 ，同理可得sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)>0，与条件不符，故A+B>π
2 不成立.
综上可知，A+B=π
2 ，即C=π
2 .
则cos Acos Bsin C=1
4 =cos Acos B，由A+B=π
2 ，得cos B=sin A，即sin Acos A=1
4 ，
则sin 2A=1
2，同理sin 2B=1
2，因为A，B∈(0，π
2)，则2A，2B∈(0，π)，
不妨设A<B，则2A=π
6 ，2B=5 π
6 ，即A= π
12，B=5 π
12 ，
由两角和与差的正弦公式可知sin A+sin B=sin π
12+sin 5 π
12 =√6-√2
4
+√6+√2
4
=√6
2 ，C 选项正确；
由两角和的正切公式可得，tan 5 π
12 =2+√3，
设BC=t(t>0)，AC=(2+√3)t，则AB=(√2+√6)t，
由S△ABC=1
2(2+√3)t2=1
4 ，则t2=4 -2√3
4
=(
√3-1
2 )
2
，则t=√3-1
2
，
于是AB=(√2+√6)t=√2，B 选项正确；由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2=2，D 选项错误.
方法二 sin C=sin2A+sin2B，由C∈(0，π)，则sin C∈(0，1]，
于是1×sin C=sin2A+sin2B≥sin2C，
设在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得a2+b2≥c2，
由余弦定理可知cos C≥0，则C∈(0，π
2]，
若C∈(0，π
2)，则A+B>π
2 ，注意到cos Acos Bsin C=1
4 ，则cos Acos B>0，
于是cos A>0，cos B>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A，B∈(0，π
2)，
结合A+B>π
2 ⇔A>π
2 -B，而A，π
2 -B 都是锐角，则sin A>sin(
π
2 - B)=cos B>0，
于是sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和0<sin C≤1 矛盾，
故C∈(0，π
2)不成立，则C=π
2 .下同方法一.
方法三 cos 2A+cos 2B+2sin C=2⇒2sin C=1-cos 2A+1-cos 2B⇒2sin C=2sin2A+2sin2B，
所以sin C=sin2A+sin2B，故A 正确；设在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R，可得a2+b2=c·2R≥c2，若a2+b2>c2，则cos C>0，0<C<π
2 ，
则A+B>π
2 ⇒A>π
2 -B，则sin A>sin (
π
2 - B)，即sin A>cos B，代入sin C=sin2A+sin2B，
有sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，与C∈(0，π
2)矛盾，故a2+b2=c2，则C=π
2 ，
即cos C=cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0⇒cos Acos B=sin Asin B，又cos Acos Bsin C=1
4 ，则sin Asin B=1
4
，
因为S△ABC=1
2absin C=1
4 ⇒ab=1
2，
所以
ab
sin A sin B =(2R)2=2⇒2R=√2，所以
c
sinC =2R=√2⇒c=√2，故B 正确；
(sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=sin C+1
2=3
2⇒sin A+sin B=√6
2 ，故C 正确；
因为C=π
2 ，则AC2+BC2=AB2=c2=2，故D 错误.
三、填空题
12.若直线y=2x+5 是曲线y=ex+x+a 的一条切线，则a= .
答案 4
解析 y=ex+x+a 的导数为y'=ex+1，
因为直线y=2x+5 是曲线y=ex+x+a 的一条切线，直线的斜率为2，
令y'=ex+1=2，即ex=1，解得x=0，
将x=0 代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5，
所以切点坐标为(0，5)，
因为切点(0，5)在曲线y=ex+x+a 上，
所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4.
13.若一个等比数列的各项均为正数，且前4 项的和等于4，前8 项的和等于68，则这个数列的公比等于
.
答案 2
解析 方法一 设该等比数列为{an}，公比为q(q>0)，Sn是其前n 项和，则S4=4，S8=68，
当q=1 时，S4=4a1=4，即a1=1，则S8=8a1=8≠68，显然不成立，舍去；
当q≠1 时，则S4=a1(1-q
4)
1-q
=4，S8=a1(1-q
8)
1-q
=68，
两式相除得1-q
8
1-q
4=(1-q
4)(1+q
4)
1-q
4
=17，
则1+q4=17，解得q=2(舍负)，
所以这个数列的公比为2.
方法二 设该等比数列为{an}，公比为q(q>0)，Sn是其前n 项和，
则S4=a1+a2+a3+a4=4，
S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
=a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4
=(a1+a2+a3+a4)(1+q4)=68，
所以4(1+q4)=68，则1+q4=17，解得q=2(舍负)，
所以这个数列的公比为2.
方法三 设该等比数列为{an}，公比为q(q>0)，Sn是其前n 项和，则S4=4，S8=68，
故S8-S4=a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q4=68-4=64，
又S4=a1+a2+a3+a4=4，
所以4q4=64，解得q=2(舍负)，
所以这个数列的公比为2.
14.有5 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3 次，每次取1 个球.记X 为这5
个球中至少被取出1 次的球的个数，则X 的数学期望E(X)= .
答案 61
25
解析 方法一 依题意，X 的可能取值为1，2，3，
总的抽取方法数为53=125，
其中X=1 表示3 次抽取同一标号的球，选择球的标号有5 种方式，
故P(X=1)= 5
125= 1
25；
X=2 表示恰好两种不同标号的球被取出(即一球出现2 次，另一球出现1 次)，
选择出现2 次的球有5 种方式，选择出现1 次的球有4 种方式，
其中出现1 次的球第几次被取出有3 种可能，故事件X=2 的可能情况有5×4×3=60(种)，
故P(X=2)= 60
125=12
25；
X=3 表示三种不同标号的球被取出，
可能情况有5×4×3=60(种)，
故P(X=3)= 60
125=12
25，
所以E(X)=1× 1
25+2×12
25+3×12
25=61
25.
方法二 依题意，假设随机变量Xi，其中i=1，2，3，4，5，
其中Xi={
1,这3次取球中,i号球至少被取出1次,
0,这3次取球中,i号球1次都没被取出,则X=
5
Σ
i=1
Xi，
易知所有E(Xi)相等，
则E(X)=E(
5
Σ
i=1
Xi)=
5
Σ
i=1
E(Xi)=5E(Xi)，
由题意可知，i 号球在单次抽取中未被取出的概率为4
5 ，
由于每次抽取相互独立，则3 次均未取出i 号球的概率为P(Xi=0)=(
4
5)
3
= 64
125，
因此i 号球至少被取出1 次的概率为P(Xi=1)=1- 64
125= 61
125，故E(Xi)= 61
125，
所以E(X)=5E(Xi)=5× 61
125=61
25.
四、解答题
15.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000 人，得到如下列
联表：
超声波检查结果
组别
正常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1 000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p 的估计值；
(2)根据小概率值α=0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，
α
0.05
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
解 (1)根据表格可知，超声波检查结果不正常的200 人中有180 人患该疾病，
所以p 的估计值为180
200= 9
10.
(2)零假设为H0：超声波检查结果与患该疾病无关，
根据表中数据可得，χ2=1 000×(20×20-180×780)
2
200×800×800×200
=765.625>10.828=x0.001，
根据小概率值α=0.001 的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关，此推
断犯错误的概率不超过0.001.
16.已知数列{an}中，a1=3，an+1
n = an
n+1+
1
n(n+1).
(1)证明：数列{nan}为等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm，求f'(-2).
(1)证明 在数列{an}中，a1=3，an+1
n = an
n+1+
1
n(n+1)，n∈N*，
∴(n+1)an+1=nan+1，即(n+1)an+1-nan=1，又当n=1 时，1×a1=3，
∴数列{nan}是以3 为首项，1 为公差的等差数列.
(2)解 由(1)可知，nan=3+(n-1)×1=n+2，
由题意得f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+mamxm-1
=3+4x+5x2+…+(m+2)xm-1，①
又xf'(x)=3x+4x2+5x3+…+(m+1)xm-1+(m+2)xm，②
①-②得(1-x)f'(x)=3+x+x2+…+xm-1-(m+2)xm，
令x=-2，得3f'(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)(-2)m=3+-2[1-(-2)
m-1]
1-(-2)
-(m+2)(-2)m=7
3-(m+ 7
3)(-2)m，
故f'(-2)=7
9-(
m
3 + 7
9)(-2)m.
17.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=AB=√2，BC=2，AD=1+√3，且点P，B，C，D 均在球O 的球面上.
(ⅰ)证明：点O 在平面ABCD 内；
(ⅱ)求直线AC 与PO 所成角的余弦值.
(1)证明 在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，
∴AP⊥AB，
∵AB⊥AD，AP，AD⊂平面PAD，AP∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)(ⅰ)证明 方法一 以A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
如图1 所示，
∴B(√2，0，0)，C(√2，2，0)，D(0，1+√3，0)，P(0，0，√2)，
若P，B，C，D 在同一个球面上，
则OP=OB=OC=OD，
在Axy 平面中，如图2 所示，A(0，0)，B(√2，0)，C(√2，2)，D(0，1+√3)，作线段CD 的垂直平分线，分
别交y 轴，CD 于点E，F，
∴线段CD 的中点F 的坐标为(
√2
2 ，√3+3
2 )，
直线CD 的斜率k1=1+√3-2
0-√2 =-√3-1
√2
，
∴线段CD 的垂直平分线EF 的斜率k2= √2
√3-1=√6+√2
2
，
∴直线EF 的方程为y-√3+3
2
=√6+√2
2 (x - √2
2 )，
即y=√6+√2
2 (x - √2
2 )+√3+3
2
，
又线段BC 的垂直平分线的方程为y=1，
则将y=1 代入直线EF 的方程得，1=√6+√2
2 (x - √2
2 )+√3+3
2
，解得x=0，
∴在Axy 平面中，△BCD 外接圆的圆心坐标为(0，1)，
故可设在上述空间直角坐标系中，O(0，1，z)，
则由OP=OB，可得√0
2+1
2+( z -√2)
2=√(-√2)
2+1
2+ z
2，解得z=0，即O(0，1，0)，
∴点O 在平面ABCD 内.
方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，设球心O(x，y，z)，
由OB=OC=OD=OP，可得{
y
2=( y -2)
2,
( x -√2)
2+ y
2+ z
2= x
2+( y -√3-1)
2+ z
2,
( x -√2)
2+ y
2+ z
2= x
2+ y
2+( z -√2)
2,
解得{
y =1,
x = z =0,显然点O(0，1，0)在平面ABCD 内.
方法三 ∵P，B，C，D 在同一个球面上，
∴球心到四个点的距离相等，
在△BCD 中，到三角形三个顶点距离相等的点是该三角形的外心，
作出BC 和CD 的垂直平分线，如图3 所示，设BC 的垂直平分线交AD 于点O1，
由几何知识得，O1E=AB=√2，BE=CE=AO1=GO1=1
2BC=1，O1D=AD-AO1=√3，
BO1=CO1=√1
2+(√2)
2=√3，
∴O1D=BO1=CO1，
∴点O1是△BCD 的外心，
如图4，在Rt△AO1P 中，AP⊥AO1，AP=√2，AO1=1，
由勾股定理得，PO1=√A P
2+ A O1
2=√(√2)
2+1
2=√3，
∴PO1=BO1=CO1=O1D=√3，
∴点O1即为球心O，
此时点O 在线段AD 上，AD⊂平面ABCD，
∴点O 在平面ABCD 内.
(ⅱ)解 方法一 建立如图5 所示的空间直角坐标系，由(2)(ⅰ)得，⃗AC=(√2，2，0)，⃗PO=(0，1，-√2)，
设直线AC 与PO 所成的角为θ，
∴cos θ=|⃗AC ·⃗PO|
|⃗AC ||⃗PO|
=|0+2×1+0|
√(√2)
2+2
2+0×√0+1
2+(-√2)
2=√2
3 .
方法二 由(2)(ⅰ)得PO=√3，
∵AB⊥AD，BC∥AD，
∴AB⊥BC，
在Rt△ABC 中，AB=√2，BC=2，由勾股定理得，AC=√A B
2+ BC
2=√(√2)
2+2
2=√6，
如图6，过点O 作AC 的平行线，交BC 的延长线于点C1，连接AC1，PC1，
则OC1=AC=√6，CC1=OA=1，直线AC 与PO 所成的角即为∠POC1或其补角.
∵PA⊥平面ABCD，AC1⊂平面ABCD，∴PA⊥AC1，
在Rt△ABC1中，AB=√2，BC1=BC+CC1=2+1=3，
由勾股定理得，AC1=√A B
2+ BC1
2=√(√2)
2+3
2=√11，
在Rt△APC1中，PA=√2，由勾股定理得，PC1=√P A
2+ A C1
2=√(√2)
2+(√11)
2=√13，
在△POC1中，由余弦定理得，PC1
2=PO2+OC1
2-2PO·OC1cos∠POC1，
即(√13)
2=(√3)
2+(√6)
2-2√3×√6cos∠POC1，
解得cos∠POC1=-√2
3 ，
∴直线AC 与PO 所成角的余弦值为|cos ∠POC1|=√2
3 .
18.已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为2√2
3 ，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=√10.
(1)求C 的方程；
(2)已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足|AP|·|AR|=3.
(ⅰ)设P(m，n)，求R 的坐标(用m，n 表示)；
(ⅱ)设O 为坐标原点，Q 是C 上的动点，直线OR 的斜率是直线OP 的斜率的3 倍，求|PQ|的最大值.
解 (1)由题意可知，A(0，-b)，B(a，0)，所以{
√a
2+b
2=√10,
e = c
a = 2√2
3
,
c
2=a
2-b
2,
解得{
a
2=9,
b
2=1,
c
2=8,
故C 的方程为x
2
9 +y2=1.
(2)(ⅰ)设R(x0，y0)，易知m≠0，
方法一 所以kAP=n+1
m ，kAR= y0+1
x0
，
故
y0+1
x0
=n+1
m ，且mx0>0.
因为A(0，-1)，|AP|·|AR|=3，所以√m
2+(n+1)
2×√x0
2+( y0+1)
2=3，
即[1+(
n+1
m )
2
]x0m=3，解得x0=
3m
m
2+(n+1)
2，所以y0=n+2-m
2-n
2
m
2+(n+1)
2 ，
所以R 的坐标为(
3m
m
2+(n+1)
2 ，n+2-m
2-n
2
m
2+(n+1)
2 ).
方法二 设⃗AR=λ⃗AP，λ>0，则|⃗AR|=λ|⃗AP|，又⃗AP=(m，n+1)，所以|AP|·|AR|=λ|⃗AP|2=3，
即λ[m
2+(n+1)
2]=3，所以λ=
3
m
2+(n+1)
2，
所以⃗AR=λ⃗AP=λ(m，n+1)=(
3m
m
2+(n+1)
2 ，
3(n+1)
m
2+(n+1)
2)，
又A(0，-1)，故R 的坐标为(
3m
m
2+(n+1)
2 ，n+2-m
2-n
2
m
2+(n+1)
2 ).
(ⅱ)因为kOR=
n+2-m
2-n
2
m
2+(n+1)
2
3m
m
2+(n+1)
2
=n+2-m
2-n
2
3m
，kOP= n
m，
由kOR=3kOP，可得n+2-m
2-n
2
3m
=3n
m ，化简得m2+n2+8n-2=0，即m2+(n+4)2=18(m≠0)，
所以点P 在以N(0，-4)为圆心，3√2为半径的圆上(除去与y 轴的交点)，
|PQ|max为点Q 到圆心N 的距离加上半径，
方法一 设Q(xQ，yQ)，则xQ
2
9
+yQ
2 =1，即xQ
2 =9-9yQ
2 ，
所以|QN|2=xQ
2 +( yQ+ 4)
2=9-9yQ
2 +yQ
2 +8yQ+16=-8yQ
2 +8yQ+25
=-8( yQ- 1
2)
2
+27≤27，当且仅当yQ=1
2，即Q(± 3√3
2
，1
2)时取等号，
故|PQ|max=√27+3√2=3(√3+√2).
方法二 设Q(3cos θ，sin θ)，
所以|QN|2=(3cos θ)2+(sin θ+4)2=9cos2θ+sin2θ+8sin θ+16
=9(1-sin2θ)+sin2θ+8sin θ+16=-8sin2θ+8sin θ+25=-8(sinθ - 1
2)
2
+27≤27，
当且仅当sin θ=1
2，即Q(± 3√3
2
，1
2)时取等号，
所以|PQ|max=√27+3√2=3(√3+√2).
19.(1)求函数f(x)=5cos x-cos 5x 在区间[0，π
4]的最大值；
(2)给定θ∈(0，π)和a∈R，证明：存在y∈[a-θ，a+θ]使得cos y≤cos θ；
(3)设b∈R，若存在φ∈R 使得5cos x-cos(5x+φ)≤b 对x∈R 恒成立，求b 的最小值.
(1)解 方法一 f'(x)=5(sin 5x-sin x)=5[sin(3x+2x)-sin(3x-2x)]=10cos 3xsin 2x，
令f'(x)=0，因为x∈[0，π
4]，解得x=0 或x=π
6 ，
当x∈(0，π
6)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(
π
6 ，π
4)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
故当x=π
6 时，f(x)取得极大值即最大值，f(x)在[0，π
4]上的最大值为f(
π
6)=3√3.
方法二 由和差化积公式f'(x)=-5sin x+5sin 5x=10cos 3xsin 2x，
因为当x∈(0，π
4)时，2x∈(0，π
2)，故sin 2x>0，
又当0<x<π
6 时，3x∈(0，π
2)，则cos 3x>0，即f'(x)>0，
当π
6 <x<π
4 时，3x∈(
π
2 ，3 π
4 )，则cos 3x<0，即f'(x)<0，
故f(x)在(0，π
6)上单调递增，在(
π
6 ，π
4)上单调递减，
故f(x)在[0，π
4]上的最大值为f (
π
6)=5cos π
6 -cos 5 π
6 =3√3.
方法三 f'(x)=-5sin x+5sin 5x，
令f'(x)=0，得sin 5x=sin x，
因为x∈[0，π
4]，
所以5x∈[0，5 π
4 ]，
所以5x=x 或5x+x=π，
所以x=0 或x=π
6 ，
因为f(0)=4，f (
π
6)=3√3，f (
π
4)=3√2，
所以当x∈[0，π
4]时，f(x)max=f (
π
6)=3√3.
(2)证明 方法一 由余弦函数的性质得cos y≤cos θ 的解集为[2kπ+θ，2kπ+2π-θ]，k∈Z，
若任意[2kπ+θ，2kπ+2π-θ]，k∈Z 与[a-θ，a+θ]的交集为空集，
则a-θ>2kπ+2π-θ 且a+θ<2kπ+2π+θ，此时a 无解，
矛盾，故存在k∈Z，使得[2k π +θ，2k π +2π -θ]∩[a-θ，a+θ]≠⌀.
即存在y∈[a-θ，a+θ]，使得cos y≤cos θ.
方法二 由余弦函数的性质知cos y≤cos θ 的解集为[2k π +θ，2(k +1)π -θ](k∈Z)，
若每个[2kπ+θ，2(k+1)π-θ](k∈Z)与[a-θ，a+θ]的交集都为空集，
则对每个k∈Z，必有2(k+1)π-θ<a-θ 或2kπ+θ>a+θ 之一成立.
可得k< a
2π -1 或k> a
2π ，但长度为1 的闭区间[
a
2π -1，a
2π]上必有一整数k，该整数k 不满足条件，矛盾.
故存在y∈[a-θ，a+θ]，使得cos y≤cos θ.
方法三 假设结论不成立，即对任意y∈[a-θ，a+θ]，均有cos y>cos θ，
而cos y>cos θ⇔y∈(2kπ-θ，2kπ+θ)，k∈Z，
即对任意y∈[a-θ，a+θ]，y∈(2kπ-θ，2kπ+θ)，k∈Z，
所以[a-θ，a+θ]⊆(2kπ-θ，2kπ+θ)，k∈Z，
故存在整数k，使得2kπ-θ<a-θ<a+θ<2kπ+θ，所以2kπ<a<2kπ，
与a 的存在性矛盾，故假设不成立，原命题得证.
(3)解 方法一 记h(x)=5cos x-cos(5x+φ)，
因为h(x+2π)=5cos(x+2π)-cos(5x+10π+φ)=5cos x-cos(5x+φ)=h(x)，
故h(x)为周期函数且一个周期为2π，故只需讨论x∈[0，2π]，φ∈[0，π]的情况.
当φ=π 时，h(x)=5cos x-cos(5x+π)=5cos x+cos 5x≤6，当且仅当x=0 或x=2π 时，等号成立；
当φ=0 时，h(x)=5cos x-cos 5x，
此时h'(x)=-5sin x+5sin 5x=10cos 3xsin 2x，x∈[0，2π]，
令h'(x)=0，则x=0，π
6 ，π
2 ，5 π
6 ，π，7 π
6 ，3 π
2 ，11π
6 ，2π，
而h(
π
6)=h(
11π
6 )=3√3，h(
π
2)=h(
3 π
2 )=0，h(
5 π
6 )=h(
7 π
6 )=-3√3，h(π)=-4，
h(0)=h(2π)=4，故h(x)max=h(
π
6)=h(
11π
6 )=3√3；
当φ∈(0，π)时，由(2)得，取a=φ，则存在y∈[φ-θ，φ+θ]，使得cos y≤cos θ，令5x+φ=y，
取θ=5 π
6 ，则cos(5x+φ)=cos y≤-√3
2 ，x= y -φ
5
∈[- π
6 ，π
6]，
故5cos x≥5√3
2 ，故5cos x-cos(5x+φ)≥3√3，
综上，b≥3√3，可取x=π
6 ，φ=0 使得等号成立.
所以bmin=3√3.
方法二 设gφ(x)=5cos x-cos(5x+φ).
①若存在φ，使得gφ(x)=5cos x-cos(5x+φ)≤b 对x∈R 恒成立，则对这样的φ，同样有gφ(x)=-gφ(x+π)≥-b.
所以|gφ(x)|≤b 对x∈R 恒成立，这直接得到b≥0.
设φ
6 -π
6 =m，则根据|gφ(x)|≤b 恒成立，有
b≥|gφ(- φ
6 + π
6)|=|5cos(- φ
6 + π
6)-cos(
φ
6 + 5 π
6 )|=|5cos(
φ
6 - π
6)+cos(
φ
6 - π
6)|=|6cos(
φ
6 - π
6)|=6|cos
m|，
b≥|gφ(- φ
6 - π
6)|=|5cos(- φ
6 - π
6)-cos(
φ
6 - 5 π
6 )|=|5cos(
φ
6 + π
6)+cos(
φ
6 + π
6)|=|6cos(
φ
6 + π
6)|=6
|cos(m+ π
3)|，
b≥|gφ(- φ
6 + π
2)|=|5cos(- φ
6 + π
2)-cos(
φ
6 + 5 π
2 )|=|5cos(
φ
6 - π
2)+cos(
φ
6 - π
2)|=|6cos(
φ
6 - π
2)|=6
|cos(m- π
3)|，
所以|cos m|，|cos(m+ π
3)|，|cos(m- π
3)|均不超过b
6，
再结合cos 2x=2|cos x|2-1，
就得到cos 2m，cos(2m+ 2π
3 )，cos(2m- 2π
3 )均不超过2(
b
6)
2
-1= b
2
18-1.
假设b<3√3，则b
2
18-1<(3√3)
2
18
-1=1
2，
故cos 2m，cos(2m+ 2π
3 )，cos(2m- 2π
3 )∈[-1，1
2).
但这是不可能的，因为三个角2m，2m+2π
3 ，2m-2π
3 的终边(始边相同)和单位圆的交点将单位圆三等分，
这三个点不可能都在直线x=1
2左侧.
所以假设不成立，这意味着b≥3√3.
②若b=3√3，则由(1)可得f(x)≤3√3，
则存在φ=0，使得对x∈R，都有5cos x-cos(5x+φ)=5cos x-cos 5x=f(x)≤3√3=b.
从而b=3√3满足题目要求.
综上，b 的最小值是3√3.
方法三 由余弦函数的周期性可令φ∈[0，2π)，
取x=π -φ
6
∈(- π
6 ，π
6]，
则5cos x-cos(5x+φ)=5cos π -φ
6
-cos 5 π +φ
6
=5cos π -φ
6
-cos 6 π - π +φ
6
=5cos π -φ
6
+cos π -φ
6
=6cos π -φ
6
=6cos x≥3√3，
所以b 的最小值为3√3.
